Der Fourier verwandelt sich ist eine mathematische Operation mit vielen Anwendungen in der Physik und Technik, die eine mathematische Funktion der Zeit als eine Funktion der Frequenz ausdrückt, die als sein Frequenzspektrum bekannt ist; der Lehrsatz von Fourier versichert, dass das immer getan werden kann. Zum Beispiel ist das Umgestalten eines Musikakkords, der aus reinen Zeichen (ohne Obertöne) zusammengesetzt ist, ausgedrückt als Umfang als eine Funktion der Zeit, eine mathematische Darstellung der Umfänge und Phasen der individuellen Zeichen, die es zusammensetzen. Die Funktion der Zeit wird häufig die Zeitabschnitt-Darstellung und das Frequenzspektrum die Frequenzbereichsdarstellung genannt. Das Gegenteil, das Fourier umgestaltet, drückt eine Frequenzbereichsfunktion im Zeitabschnitt aus. Jeder Wert der Funktion wird gewöhnlich als eine komplexe Zahl ausgedrückt (genannt komplizierten Umfang), der als ein Umfang und ein Phase-Bestandteil interpretiert werden kann. Der Begriff "umgestaltest von Fourier" bezieht sich sowohl auf die umgestalten Operation als auch auf die Komplex-geschätzte Funktion, die es erzeugt.

Im Fall von einer periodischen Funktion, solcher als ein dauernder, aber nicht notwendigerweise sinusförmiger, musikalischer Ton, verwandelt sich der Fourier kann zur Berechnung eines getrennten Satzes von komplizierten Umfängen, genannt Reihe-Koeffizienten von Fourier vereinfacht werden. Außerdem, wenn eine Zeitabschnitt-Funktion probiert wird, um Lagerung oder Computerverarbeitung zu erleichtern, ist es noch möglich, eine Version des ursprünglichen Fouriers zu erfrischen, verwandeln sich gemäß der Summierungsformel von Poisson, auch bekannt als diskrete Zeit, die Fourier umgestaltet. Diese Themen werden in getrennten Artikeln gerichtet. Für eine Übersicht von denjenigen und anderen zusammenhängenden Operationen, beziehen Sie sich auf die Analyse von Fourier, oder die Liste von Fourier-zusammenhängenden verwandelt sich.

Definition

Es gibt mehrere allgemeine Vereinbarung, für den Fourier zu definieren, verwandeln sich von einer Integrable-Funktion. Dieser Artikel wird die Definition verwenden:

: für jede reelle Zahl ξ.

Wenn die unabhängige Variable x Zeit vertritt (mit der SI-Einheit von Sekunden), vertritt die umgestalten Variable ξ Frequenz (im Hertz). Unter passenden Bedingungen kann ƒ von durch das Gegenteil wieder aufgebaut werden verwandeln Sie sich:

: für jede reelle Zahl x.

Für andere allgemeine Vereinbarung und Notationen, einschließlich des Verwendens der winkeligen Frequenz ω statt der Frequenz ξ, sieh Andere Vereinbarung und Andere Notationen unten. Der Fourier verwandelt sich auf dem Euklidischen Raum wird getrennt behandelt, in dem die Variable x häufig Position und ξ Schwung vertritt.

Einführung

Die Motivation für den Fourier verwandelt sich kommt aus der Studie der Reihe von Fourier. In der Studie der Reihe von Fourier werden komplizierte Funktionen als die Summe von einfachen Wellen geschrieben, die mathematisch durch Sinus und Kosinus vertreten sind. Wegen der Eigenschaften des Sinus und Kosinus ist es möglich, den Umfang jeder Welle in der Summe durch ein Integral wieder zu erlangen. In vielen Fällen ist es wünschenswert, die Formel von Euler zu verwenden, die feststellt, dass e =, weil 2πθ + ich 2πθ sündige, um Reihe von Fourier in Bezug auf die grundlegenden Wellen e zu schreiben. Das ist im Vorteil, viele der Formeln beteiligt zu vereinfachen, und stellt eine Formulierung für die Reihe von Fourier zur Verfügung, die näher der in diesem Artikel gefolgten Definition ähnelt. Wenn er Sinus und Kosinus als Komplex umschreibt, macht exponentials es notwendig für die Koeffizienten von Fourier, geschätzt zu sein kompliziert. Die übliche Interpretation dieser komplexen Zahl ist, dass sie beiden den Umfang (oder Größe) von der Welle-Gegenwart in der Funktion und der Phase (oder der anfängliche Winkel) von der Welle gibt. Diese Komplex exponentials enthalten manchmal negative "Frequenzen". Wenn θ in Sekunden gemessen wird, dann vollenden die Wellen e und e beide einen Zyklus pro Sekunde, aber sie vertreten verschiedene Frequenzen im Fourier verwandeln sich. Folglich misst Frequenz nicht mehr die Zahl von Zyklen pro Einheitszeit, aber ist noch nah verbunden.

Es gibt eine nahe Verbindung zwischen der Definition der Reihe von Fourier, und der Fourier verwandeln sich für Funktions-ƒ, die Null außerhalb eines Zwischenraums sind. Für solch eine Funktion können wir seine Reihe von Fourier auf jedem Zwischenraum berechnen, der die Punkte einschließt, wo ƒ nicht identisch Null-ist. Der Fourier verwandelt sich wird auch für solch eine Funktion definiert. Da wir die Länge des Zwischenraums vergrößern, auf dem wir die Reihe von Fourier berechnen, dann beginnen die Reihe-Koeffizienten von Fourier auszusehen, dass sich der Fourier verwandelt und die Summe der Reihe von Fourier von ƒ beginnt, wie das Gegenteil auszusehen, das Fourier umgestaltet. Um das genauer zu erklären, nehmen Sie an, dass T groß genug ist, so dass der Zwischenraum [T/2, T/2] den Zwischenraum enthält, auf dem ƒ nicht identisch Null-ist. Dann wird durch den n-ten Reihe-Koeffizienten c gegeben:

:

Das Vergleichen davon zur Definition des Fouriers verwandelt sich, hieraus folgt dass, da (x) ƒ Null draußen [T/2, T/2] sind. So sind die Koeffizienten von Fourier gerade die Werte vom Fourier verwandeln sich probiert auf einem Bratrost der Breite 1/T. Als T zunimmt, vertreten die Koeffizienten von Fourier näher den Fourier verwandeln sich der Funktion.

Unter passenden Bedingungen wird die Summe der Reihe von Fourier von ƒ dem Funktions-ƒ gleichkommen. Mit anderen Worten kann ƒ geschrieben werden:

:

wo die letzte Summe einfach die erste umgeschriebene Summe mit den Definitionen ξ = n/T, und Δξ = (n + 1)/T  n/T = 1/T ist.

Diese zweite Summe ist eine Summe von Riemann, und so durch das Lassen T   wird sie zum Integral für das Gegenteil zusammenlaufen, verwandelt sich Fourier gegeben in der Definitionsabteilung. Unter passenden Bedingungen kann dieses Argument genau gemacht werden.

In der Studie der Reihe von Fourier konnte von den Zahlen c als der "Betrag" der Welle-Gegenwart in der Reihe von Fourier von ƒ gedacht werden. Ähnlich so gesehen oben verwandelt sich der Fourier kann gedacht werden wie eine Funktion, die misst, wie viel jeder individuellen Frequenz in unserem Funktions-ƒ da ist, und wir diese Wellen wiederverbinden können, indem wir ein Integral (oder "dauernde Summe") verwenden, um die ursprüngliche Funktion wieder hervorzubringen.

Beispiel

Die folgenden Images stellen eine Sehillustration dessen zur Verfügung, wie der Fourier Maßnahmen umgestaltet, ob eine Frequenz in einer besonderen Funktion da ist. Die gezeichnete Funktion schwingt an 3 Hertz (wenn T-Maßnahme-Sekunden), und neigt schnell zu 0. (Bemerken Sie: Der zweite Faktor in dieser Gleichung ist eine Umschlag-Funktion, die den dauernden sinusoid in einen kurzen Puls gestaltet. Seine allgemeine Form ist eine Funktion von Gaussian). Diese Funktion wurde besonders gewählt, um sich einen echten Fourier verwandeln zu lassen, der leicht geplant werden kann. Das erste Image enthält seinen Graphen. Um zu berechnen

wir müssen eƒ (t) integrieren. Das zweite Image zeigt den Anschlag der echten und imaginären Teile dieser Funktion. Der echte Teil des integrand ist fast immer positiv, weil, wenn ƒ (t) negativ ist, der echte Teil von e ebenso negativ ist. Weil sie an derselben Rate schwingen, wenn ƒ (t) positiv ist, auch ist der echte Teil von e. Das Ergebnis besteht darin, dass, wenn Sie den echten Teil des integrand integrieren, Sie eine relativ hohe Zahl (in diesem Fall 0.5) bekommen. Andererseits, wenn Sie versuchen, eine Frequenz zu messen, die, als im Fall nicht da ist, wenn wir darauf schauen, schwingt der integrand genug, so dass das Integral sehr klein ist. Die allgemeine Situation kann ein bisschen mehr kompliziert sein als das, aber das im Geist ist, wie der Fourier Maßnahmen umgestaltet, wie viel einer individuellen Frequenz in einem Funktions-ƒ (t) da ist.

Image:Function ocsillating an Funktion von 3 Hertz svg|Original, Schwingung 3 Hertz zeigend.

Image:Onfreq.svg | Echte und imaginäre Teile von integrand für Fourier verwandeln sich an 3 Hertz

Image:Offfreq.svg | Echte und imaginäre Teile von integrand für Fourier verwandeln sich an 5 Hertz

Image:Fourier verwandeln sich davon, function.svg | in Schwingungen zu versetzen, Fourier verwandelt sich mit 3 und 5 etikettiertem Hertz.

</Galerie>

Eigenschaften des Fouriers verwandeln sich

Hier nehmen wir f (x), g (x) an, und h (x) sind Integrable-Funktionen, sind auf der echten Linie Lebesgue-messbar und befriedigen:

:

Wir zeigen an, dass sich der Fourier von diesen Funktionen durch, und beziehungsweise verwandelt.

Grundlegende Eigenschaften

Der Fourier verwandelt sich hat die folgenden grundlegenden Eigenschaften:.

Linearität

: Für irgendwelche komplexen Zahlen a und b, wenn h (x) = (x) aƒ + bg (x), then 

Übersetzung

: Für jede reelle Zahl x, wenn h (x) = ƒ (x  x), then 

Modulation

: Für jede reelle Zahl ξ, wenn h (x) = (x) eƒ, then .

Schuppen

: Für eine reelle Nichtnullzahl a, wenn h (x) = ƒ (Axt), then . der Fall = 1 führt zum Zeitumkehrungseigentum, das festsetzt: wenn h (x) = ƒ (x), then .

Konjugation

: Wenn, then 

Besonderer:In, wenn &fnof; ist echt, dann hat man die Wirklichkeit condition 

:And wenn &fnof; ist then&thinsp rein imaginär;

Dualität

: Wenn then 

Gehirnwindung

: Wenn, then 

Gleichförmige Kontinuität und das Lemma von Riemann-Lebesgue

Der Fourier verwandelt sich kann in einigen Fällen für Non-Integrable-Funktionen definiert werden, aber der Fourier verwandelt sich von Integrable-Funktionen haben mehrere starke Eigenschaften.

Der Fourier verwandelt sich von jedem Integrable-Funktions-ƒ ist gleichförmig dauernd und. Durch das Lemma von Riemann-Lebesgue,

:

Außerdem, wird begrenzt und dauernd, aber braucht nicht integrable zu sein. Zum Beispiel, der Fourier verwandeln sich der rechteckigen Funktion, die integrable ist, ist die Sinc-Funktion, die nicht Lebesgue integrable ist, weil sich seine unpassenden Integrale analog zur harmonischen Wechselreihe im Zusammenlaufen zu einer Summe benehmen, ohne absolut konvergent zu sein.

Es ist nicht allgemein möglich zu schreiben, dass sich das Gegenteil als integrierter Lebesgue verwandelt. Jedoch, wenn sowohl ƒ als auch integrable, die umgekehrte Gleichheit sind

:

hält fast überall. D. h. der Fourier verwandeln sich ist injective auf L(R).

(Aber wenn ƒ dauernd ist, dann hält Gleichheit für jeden x.)

Lehrsatz von Plancherel und der Lehrsatz von Parseval

Lassen Sie f (x), und g (x), integrable sein, und zu lassen und ihr Fourier zu sein, verwandelt sich. Wenn f (x) und g (x) auch Quadrat-Integrable sind, dann haben wir den Lehrsatz von Parseval:

:

wo die Bar komplizierte Konjugation anzeigt.

Der Plancherel Lehrsatz, der zum Lehrsatz von Parseval, Staaten gleichwertig ist:

:

Der Plancherel Lehrsatz macht er möglich, den Fourier zu definieren, verwandelt sich für Funktionen in L(R), wie beschrieben, in Generalisationen unten. Der Plancherel Lehrsatz hat die Interpretation in den Wissenschaften, die der Fourier umgestaltet, bewahrt die Energie der ursprünglichen Menge. Es sollte bemerkt werden, dass abhängig vom Autor entweder dieser Lehrsätze den Lehrsatz von Plancherel oder als der Lehrsatz von Parseval genannt werden könnte.

Sieh Pontryagin Dualität für eine allgemeine Formulierung dieses Konzepts im Zusammenhang lokal kompakter abelian Gruppen.

Summierungsformel von Poisson

Die Summierungsformel von Poisson (PSF) ist eine Gleichung, die sich bezieht, verwandeln sich die Reihe-Koeffizienten von Fourier der periodischen Summierung einer Funktion zu Werten dauernden Fouriers der Funktion. Es hat eine Vielfalt von nützlichen Formen, die aus dem grundlegenden durch die Anwendung des Transform'S-Schuppens von Fourier und der zeitauswechselnden Eigenschaften abgeleitet werden. Das des normalen PSF Doppel-Frequenzgebiet wird auch diskrete Zeit genannt, die Fourier umgestaltet, der direkt führt zu:

• eine populäre, grafische, Frequenzgebiet-Darstellung des Phänomenes von aliasing und
• ein Beweis des Abtasttheorems von Nyquist-Shannon.

Gehirnwindungslehrsatz

Der Fourier verwandelt sich übersetzt zwischen Gehirnwindung und Multiplikation von Funktionen. Wenn (x) ƒ und g (x) Integrable-Funktionen mit Fourier sind, verwandelt sich und beziehungsweise, dann verwandelt sich der Fourier der Gehirnwindung wird durch das Produkt des Fouriers gegeben verwandelt sich, und (unter anderer Vereinbarung für die Definition des Fouriers verwandeln sich ein unveränderlicher Faktor kann erscheinen).

Das bedeutet das wenn:

:

wo  die Gehirnwindungsoperation dann anzeigt:

:

In der Systemtheorie der geradlinigen Zeit invariant (LTI) ist es üblich, g (x) als die Impuls-Antwort eines LTI Systems mit dem Eingang zu interpretieren (x) ƒ und Produktion h (x), seit dem Auswechseln gegen den Einheitsimpuls für (x) ƒ gibt h (x) = g (x) nach. Darin case,    vertritt die Frequenzantwort des Systems.

Umgekehrt, wenn (x) ƒ als das Produkt von zwei Quadrat integrable Funktionen p (x) und q (x) zersetzt werden können, dann verwandelt sich der Fourier von (x) ƒ wird durch die Gehirnwindung des jeweiligen Fouriers gegeben verwandelt sich und.

Quer-Korrelationslehrsatz

Auf eine analoge Weise kann es das gezeigt werden, wenn h (x) die Quer-Korrelation von (x) ƒ und g (x) ist:

:

dann verwandelt sich der Fourier von h (x) ist:

:

Als ein spezieller Fall ist die Autokorrelation der Funktion (x) ƒ:

:

für den

:

Eigenfunctions

Eine wichtige Wahl einer orthonormalen Basis für L(R) wird durch die Funktionen von Hermite gegeben

:

wo die Polynome von Hermite des "probabilist" sind, die durch definiert sind

:

Laut dieser Tagung für den Fourier verwandeln sich, wir haben das

:

Mit anderen Worten formen sich die Funktionen von Hermite ein ganzes orthonormales System von eigenfunctions für den Fourier verwandeln sich auf L(R). Jedoch ist diese Wahl von eigenfunctions nicht einzigartig. Es gibt nur vier verschiedene eigenvalues des Fouriers verwandeln sich (±1 und ±i), und jede geradlinige Kombination von eigenfunctions mit demselben eigenvalue gibt einen anderen eigenfunction. Demzufolge dessen ist es möglich, L(R) als eine direkte Summe von vier Räumen H zu zersetzen, H H, und folgt H, wo sich der Fourier verwandeln, Ihm einfach durch die Multiplikation durch mich. Diese Annäherung, um den Fourier zu definieren, verwandelt sich ist wegen N. Wieners. Unter anderen Eigenschaften nehmen Funktionen von Hermite exponential schnell sowohl in der Frequenz als auch in den Zeitabschnitten ab, und sie werden verwendet, um eine Generalisation des Fouriers zu definieren, verwandeln sich, nämlich der unbedeutende Fourier verwandelt sich verwendet in der Zeitfrequenz-Analyse.

Fourier verwandelt sich auf dem Euklidischen Raum

Der Fourier verwandelt sich kann in jeder beliebigen Zahl von Dimensionen n sein. Als mit dem eindimensionalen Fall gibt es viele Vereinbarung. Für eine Integrable-Funktion (x) ƒ nimmt dieser Artikel die Definition:

:

wo x und ξ n-dimensional Vektoren sind, und das Punktprodukt der Vektoren ist. Das Punktprodukt wird manchmal als geschrieben.

Alle grundlegenden Eigenschaften, die oben verzeichnet sind, halten für den n-dimensional Fourier verwandeln sich, wie den Lehrsatz von Plancherel und Parsevals tun. Wenn die Funktion integrable ist, der Fourier verwandeln sich, ist noch gleichförmig dauernd, und das Lemma von Riemann-Lebesgue hält.

Unklarheitsgrundsatz

Im Allgemeinen, je konzentrierterer f (x) ist, desto sich mehr ausgedehnt sein Fourier &thinsp verwandeln; muss sein. Insbesondere das kletternde Eigentum des Fouriers verwandeln sich, kann sagend, gesehen werden: Wenn wir eine Funktion in x "drücken", sein Fourier verwandeln sich "streckt" in ξ "aus". Es ist nicht möglich, sowohl eine Funktion als auch seinen Fourier willkürlich zu konzentrieren, verwandeln sich.

Der Umtausch zwischen dem compaction einer Funktion und seinem Fourier verwandelt sich kann in der Form eines Unklarheitsgrundsatzes durch die Betrachtung einer Funktion formalisiert werden, und sein Fourier verwandeln sich als verbundene Variablen in Bezug auf die Symplectic-Form auf dem Zeitfrequenz-Gebiet: Aus dem Gesichtswinkel von der geradlinigen kanonischen Transformation verwandelt sich der Fourier ist Folge durch 90 ° im Zeitfrequenz-Gebiet, und bewahrt die Symplectic-Form.

Nehmen Sie an, dass (x) ƒ ein integrable und Quadrat-Integrable-Funktion sind. Ohne Verlust der Allgemeinheit, nehmen Sie an, dass (x) ƒ normalisiert werden:

:

Es folgt aus dem Lehrsatz von Plancherel das   wird auch normalisiert.

Die Ausbreitung um x = 0 kann durch die Streuung über die durch definierte Null gemessen werden

:

In Wahrscheinlichkeitsbegriffen ist das der zweite Moment ungefähr der Null.

Der Unklarheitsgrundsatz stellt das fest, wenn (x) ƒ absolut dauernd sind und die Funktionen x · (X) ƒ und ƒ  (x) sind quadratischer integrable, dann

:.

Die Gleichheit wird nur im Fall (folglich) erreicht, wo σ> 0 willkürlich ist und C solch ist, dass ƒ L-normalized ist. Mit anderen Worten, wo ƒ eine (normalisierte) Funktion von Gaussian mit der Abweichung σ, in den Mittelpunkt gestellt an der Null ist, und sich sein Fourier verwandelt, ist eine Funktion von Gaussian mit der Abweichung 1/σ.

Tatsächlich deutet diese Ungleichheit dass an:

:

für irgendwelchen in R.

In der Quant-Mechanik sind der Schwung und die Positionswelle-Funktionen Fourier gestalten Paare, zu innerhalb eines Faktors der Konstante von Planck um. Mit dieser richtig in Betracht gezogenen Konstante wird die Ungleichheit oben die Behauptung des Unklarheitsgrundsatzes von Heisenberg.

Ein stärkerer Unklarheitsgrundsatz ist der Unklarheitsgrundsatz von Hirschman, der als ausgedrückt wird:

:

wo H (p) das Differenzialwärmegewicht der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion p (x) ist:

:

wo die Logarithmen in jeder Basis sein können, die entspricht. Die Gleichheit wird für Gaussian, als im vorherigen Fall erreicht.

Kugelförmige Obertöne

Lassen Sie den Satz von homogenen harmonischen Polynomen des Grads k auf R durch A angezeigt werden. Der Satz A besteht aus den festen kugelförmigen Obertönen des Grads k. Die festen kugelförmigen Obertöne spielen eine ähnliche Rolle in höheren Dimensionen zu den Polynomen von Hermite in der Dimension ein. Spezifisch, wenn f (x) = eP (x) für einen P (x) in A, dann. Lassen Sie den Satz H der Verschluss in L(R) von geradlinigen Kombinationen von Funktionen der Form f (|x) P (x) sein, wo P (x) in A ist. RaumL(R) ist dann eine direkte Summe der Räume H, und der Fourier verwandeln sich stellt jeden Raum H zu sich kartografisch dar und ist möglich, die Handlung des Fouriers zu charakterisieren, verwandeln sich auf jedem Raum H. Lassen Sie (x) ƒ = ƒ (|x) P (x) (mit P (x) in A), dann wo

:

Hier zeigt J die Funktion von Bessel der ersten Art mit der Ordnung (n + 2k  2)/2 an. Wenn k = 0 das eine nützliche Formel für den Fourier gibt, verwandeln sich einer radialen Funktion.

Beschränkungsprobleme

In höheren Dimensionen wird es interessant zu studieren Beschränkungsprobleme für den Fourier verwandeln sich. Der Fourier verwandelt sich einer Integrable-Funktion ist dauernd, und die Beschränkung dieser Funktion zu jedem Satz wird definiert. Aber für eine Quadrat-Integrable-Funktion verwandelt sich der Fourier konnte eine allgemeine Klasse des Quadrats integrable Funktionen sein. Als solcher verwandelt sich die Beschränkung des Fouriers einer L(R) Funktion kann auf Sätzen des Maßes 0 nicht definiert werden. Es ist noch ein aktives Gebiet der Studie, um Beschränkungsprobleme in L für 1 &lt zu verstehen; p &lt; 2. Überraschend ist es in einigen Fällen möglich, die Beschränkung eines Fouriers zu definieren, verwandeln sich zu einem Satz S, hat S zur Verfügung gestellt hat Nichtnullkrümmung. Der Fall, wenn S der Einheitsbereich in R ist, ist von besonderem Interesse. In diesem Fall stellt der Tomas-Bierkrug-Beschränkungslehrsatz fest, dass sich die Beschränkung des Fouriers zum Einheitsbereich in R verwandelt, ist ein begrenzter Maschinenbediener auf L zur Verfügung gestellt 1  p .

Ein bemerkenswerter Unterschied zwischen dem Fourier gestaltet in 1 Dimension gegen höhere Dimensionssorgen den teilweisen Summe-Maschinenbediener um. Betrachten Sie eine zunehmende Sammlung von messbaren Mengen E als mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch R  (0, ): Solcher als Bälle des Radius hat R am Ursprung oder Würfeln der Seite 2R im Mittelpunkt gestanden. Für einen gegebenen Integrable-Funktions-ƒ, betrachten Sie den Funktions-ƒ als definiert durch:

:

Nehmen Sie außerdem an, dass ƒ in L(R) ist. Für n = 1 und