In der Quant-Mechanik beschreibt die Partikel in einem Kasten-Modell (auch bekannt als das unendliche Potenzial gut oder das unendliche Quadrat gut) eine Partikel, die in einem kleinen durch undurchdringliche Barrieren umgebenen Raum bewegungsfrei ist. Das Modell wird als ein hypothetisches Beispiel hauptsächlich verwendet, um die Unterschiede zwischen klassischem und Quant-Systemen zu illustrieren. In klassischen Systemen zum Beispiel kann sich ein Ball, der innerhalb eines schweren Kastens, die Partikel gefangen ist, mit jeder Geschwindigkeit innerhalb des Kastens bewegen, und es ist nicht mehr wahrscheinlich, an einer Position gefunden zu werden, als ein anderer. Jedoch, wenn gut sehr schmal wird (auf der Skala von einigen Nanometern), werden Quant-Effekten wichtig. Die Partikel kann nur bestimmte positive Energieniveaus besetzen. Ebenfalls kann es Nullenergie nie haben, bedeutend, dass die Partikel nie "stillsitzen" kann. Zusätzlich wird es mit größerer Wahrscheinlichkeit an bestimmten Positionen gefunden als an anderen abhängig von seinem Energieniveau. Die Partikel darf an bestimmten Positionen nie entdeckt werden, die als Raumknoten bekannt sind.

Die Partikel in einem Kasten-Modell stellt eines der sehr wenigen Probleme in der Quant-Mechanik zur Verfügung, die analytisch ohne Annäherungen gelöst werden kann. Das bedeutet, dass die erkennbaren Eigenschaften der Partikel (wie seine Energie und Position) mit der Masse der Partikel und der Breite gut durch einfache mathematische Ausdrücke verbunden sind. Wegen seiner Einfachheit erlaubt das Modell Scharfsinnigkeit in Quant-Effekten ohne das Bedürfnis nach der komplizierten Mathematik. Es ist eines der ersten Quant-Mechanik-Probleme, die in Studentenphysik-Kursen unterrichtet sind, und es wird als eine Annäherung für mehr komplizierte Quant-Systeme allgemein verwendet. Siehe auch: die Geschichte der Quant-Mechanik.

Eindimensionale Lösung

Die einfachste Form der Partikel in einem Kasten-Modell denkt ein eindimensionales System. Hier kann sich die Partikel nur umgekehrt und vorwärts entlang einer Gerade mit undurchdringlichen Barrieren an jedem Ende bewegen.

Die Wände eines eindimensionalen Kastens können als Gebiete des Raums mit einer ungeheuer großen potenziellen Energie vergegenwärtigt werden. Umgekehrt hat das Interieur des Kastens eine unveränderliche, potenzielle Nullenergie. Das bedeutet, dass keine Kräfte nach der Partikel innerhalb des Kastens handeln und es sich frei in diesem Gebiet bewegen kann. Jedoch treiben ungeheuer große Kräfte die Partikel zurück, wenn sie die Wände des Kastens berührt, es davon abhaltend, zu flüchten. Die potenzielle Energie in diesem Modell wird als gegeben

:

\begin {Fälle }\

0, & 0

wo die Länge des Kastens ist und die Position der Partikel innerhalb des Kastens ist.

Wavefunctions

In der Quant-Mechanik gibt der wavefunction die grundsätzlichste Beschreibung des Verhaltens einer Partikel; die messbaren Eigenschaften der Partikel (wie seine Position, Schwung und Energie) können alle aus dem wavefunction abgeleitet werden.

Der wavefunction kann durch das Lösen der Gleichung von Schrödinger für das System gefunden werden

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wo der reduzierte unveränderliche Planck ist, die Masse der Partikel ist, die imaginäre Einheit ist und Zeit ist.

Innerhalb des Kastens handeln keine Kräfte nach der Partikel, was bedeutet, dass der Teil des wavefunction innerhalb des Kastens durch die Zeit und Raum mit derselben Form wie eine freie Partikel schwingt:

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wo und willkürliche komplexe Zahlen sind. Die Frequenz der Schwingungen durch die Zeit und Raum wird durch den wavenumber und die winkelige Frequenz beziehungsweise gegeben. Diese werden beide mit der Gesamtenergie der Partikel durch den Ausdruck verbunden

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der als die Streuungsbeziehung für eine freie Partikel bekannt ist.

Die Größe (oder Umfang) des wavefunction an einer gegebenen Position ist mit der Wahrscheinlichkeit verbunden, eine Partikel dort dadurch zu finden. Der wavefunction muss deshalb überall außer den Rändern des Kastens verschwinden. Außerdem kann der Umfang des wavefunction nicht plötzlich von einem Punkt bis das folgende "springen". Diese zwei Bedingungen sind nur durch wavefunctions mit der Form zufrieden

:\begin {Fälle }\

Ein \sin (k_n x) \mathrm {e} ^ {-\mathrm {ich }\\omega_n t}, & 0

wo eine positive, ganze Zahl ist. Der wavenumber wird auf bestimmte, spezifische durch gegebene Werte eingeschränkt

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wo die Größe des Kastens ist. Negative Werte dessen werden vernachlässigt, da sie wavefunctions identisch zu den positiven Lösungen abgesehen von einer physisch unwichtigen Zeichen-Änderung geben.

Schließlich kann die unbekannte Konstante durch das Normalisieren des wavefunction gefunden werden, so dass die Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte, die Partikel im System zu finden, 1 ist. Hieraus folgt dass

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So kann A jede komplexe Zahl mit dem absoluten Wert  (2/L) sein; diese verschiedenen Werte Eines Ertrags derselbe physische Staat, so =  kann (2/L) ausgewählt werden, um zu vereinfachen.

Der Schwung wavefunction ist dem Fourier proportional verwandeln sich von der Position wavefunction. Mit und,

:

\sqrt {\\frac {\\Pi L\{\\hbar} }\\, \, \frac {n\left (1-(-1) ^ne^ {-ikL }\\Recht) e^ {-i \omega_n t}} {\\Pi ^2 n^2-k^2 L^2} </Mathematik>

Position und Schwung

In der klassischen Physik kann die Partikel überall im Kasten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit entdeckt werden. In der Quant-Mechanik, jedoch, wird die Wahrscheinlichkeitsdichte, für eine Partikel an einer gegebenen Position zu finden, aus dem wavefunction bezüglich der Partikel in einem Kasten, der Wahrscheinlichkeitsdichte abgeleitet für zu finden, dass die Partikel an einer gegebenen Position von seinem Staat abhängt, und durch gegeben wird

:\begin {Fälle }\

\frac {2} {L }\\sin^2\left (\frac {n\pi x} {L }\\Recht); & 0

So, für jeden Wert von n, der größer ist als einer, gibt es Gebiete innerhalb des Kastens, für den, dass anzeigend, Raumknoten bestehen, an dem die Partikel nicht gefunden werden kann.

In der Quant-Mechanik, dem Durchschnitt oder Erwartungswert der Position einer Partikel wird durch gegeben

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Für die unveränderliche Zustandpartikel in einem Kasten kann es gezeigt werden, dass die durchschnittliche Position immer unabhängig vom Staat der Partikel ist. Für eine Überlagerung von Staaten wird sich der Erwartungswert der Position gestützt zum bösen Begriff ändern, der dazu proportional ist.

Die Abweichung in der Position ist ein Maß der Unklarheit in der Position der Partikel:

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Die Wahrscheinlichkeitsdichte, für eine Partikel mit einem gegebenen Schwung zu finden, wird aus dem wavefunction als abgeleitet. Als mit der Position hängt die Wahrscheinlichkeitsdichte, für die Partikel an einer gegebenen Position zu finden, von seinem Staat ab, und wird durch gegeben

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wo, wieder. Der Erwartungswert für den Schwung wird dann berechnet, um Null zu sein, und die Abweichung im Schwung wird berechnet, um zu sein:

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Die Unklarheiten in der Position und dem Schwung (und) werden definiert als, gleich der Quadratwurzel ihrer jeweiligen Abweichungen, so dass zu sein:

:

Dieses Produkt nimmt mit der Erhöhung n zu, einen minimalen Wert für n=1 habend. Der Wert dieses Produktes für n=1 ist über den gleichen 0.568, der dem Unklarheitsgrundsatz von Heisenberg folgt, der feststellt, dass das Produkt größer oder gleich sein wird

Energieniveaus

Die Energien, die jedem der erlaubten wavenumbers entsprechen, können als geschrieben werden

:.

Die Energieniveaus nehmen zu mit, bedeutend, dass hohe Energieniveaus von einander durch einen größeren Betrag getrennt werden, als niedrige Energieniveaus sind. Die niedrigstmögliche Energie für die Partikel (seine Nullpunktsenergie) wird in staatlichem 1 gefunden, der durch gegeben wird

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Die Partikel hat deshalb immer eine positive Energie. Das hebt sich von klassischen Systemen ab, wo die Partikel Nullenergie durch das Bleiben unbeweglich an der Unterseite vom Kasten haben kann. Das kann in Bezug auf den Unklarheitsgrundsatz erklärt werden, der feststellt, dass das Produkt der Unklarheiten in der Position und dem Schwung einer Partikel durch beschränkt wird

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Es kann gezeigt werden, dass die Unklarheit in der Position der Partikel zur Breite des Kastens proportional ist. So ist die Unklarheit im Schwung zur Breite des Kastens grob umgekehrt proportional. Durch die kinetische Energie einer Partikel wird gegeben, und folglich ist die minimale kinetische Energie der Partikel in einem Kasten zur Masse und dem Quadrat gut Breite in der qualitativen Abmachung mit der Berechnung oben umgekehrt proportional.

Hoch-dimensionale Kästen

Wenn eine Partikel in einem zweidimensionalen Kasten gefangen wird, kann sie sich in und - Richtungen zwischen Barrieren frei bewegen, die durch Längen und beziehungsweise getrennt sind. Mit einer ähnlichen Annäherung an diesen des eindimensionalen Kastens kann es gezeigt werden, dass der wavefunctions und die Energien beziehungsweise durch gegeben werden

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wo der zweidimensionale wavevector durch gegeben wird

:.

Für einen dreidimensionalen Kasten sind die Lösungen

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wo der dreidimensionale wavevector durch gegeben wird

:.

Im Allgemeinen für einen n-dimensional Kasten sind die Lösungen

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Eine interessante Eigenschaft der obengenannten Lösungen ist das, wenn zwei oder mehr der Längen dasselbe (z.B) sind., es gibt vielfachen wavefunctions entsprechend derselben Gesamtenergie. Zum Beispiel hat der wavefunction damit dieselbe Energie wie der wavefunction damit. Diese Situation wird Entartung und nach dem Fall genannt, wo genau zwei degenerierte wavefunctions dieselbe Energie haben, dass, wie man sagt, Energieniveau doppelt degeneriert ist. Entartung ergibt sich aus Symmetrie im System. Für den obengenannten Fall sind zwei der Längen gleich, so ist das System in Bezug auf eine 90 ° Folge symmetrisch.

Anwendungen

Wegen seiner mathematischen Einfachheit wird die Partikel in einem Kasten-Modell verwendet, um ungefähre Lösungen für kompliziertere physische Systeme zu finden, in denen eine Partikel in einem schmalen Gebiet des niedrigen elektrischen Potenzials zwischen zwei hohen potenziellen Barrieren gefangen wird. Diese Quant gut sind Systeme in optoelectronics besonders wichtig, und werden in Geräten wie das Quant gut Laser, das Quant gut infraroter Photoentdecker und der Quant-beschränkte Steife Wirkungsmodulator verwendet.

Relativistische Effekten

Die Wahrscheinlichkeitsdichte geht zur Null an den Knoten nicht, wenn relativistische Effekten in Betracht gezogen werden.

Siehe auch

• Begrenztes Potenzial gut
• Delta-Funktionspotenzial
• Benzin in einem Kasten
• Partikel in einem Ring
• Partikel in einem kugelförmig symmetrischen Potenzial
• Quant harmonischer Oszillator
• Delta-Potenzial gut (QM)
• Halbkreis-Potenzial gut
• Konfiguration integriert (statistische Mechanik)

Bibliografie

Links

• Scienceworld (unendliches Potenzial gut)
• 1-D-Quant-Mechanik Java applet täuscht Partikel in einem Kasten, sowie andere 1-dimensionale Fälle vor.
• 2. Partikel in einem Kasten applet