Logik von Intuitionistic oder konstruktive Logik, ist ein symbolisches Logiksystem, das sich von der klassischen Logik in seiner Definition der Bedeutung einer Behauptung unterscheidet, die wahr ist. In der klassischen Logik, wie man annimmt, sind alle gut gebildeten Behauptungen entweder wahr oder falsch, selbst wenn wir keinen Beweis auch haben. In der konstruktiven Logik ist eine Behauptung nur 'wahr', wenn es einen konstruktiven Beweis gibt, dass es wahr, und nur 'falsch ist', wenn es einen konstruktiven Beweis gibt, dass es falsch ist. Operationen in der konstruktiven Logikkonserve-Rechtfertigung, aber nicht Wahrheit.

Syntaktisch, intuitionistic Logik ist eine Beschränkung der klassischen Logik, in der das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und doppelten Ablehnungsbeseitigung nicht Axiome des Systems ist und nicht bewiesen werden kann. Es gibt mehrere allgemein verwendete Semantik. Semantik-Spiegel klassische GeBoolean-schätzte Semantik, aber Gebrauch Algebra von Heyting im Platz von Algebra von Boolean. Eine andere Semantik verwendet Modelle von Kripke.

Konstruktive Logik ist praktisch nützlich, weil seine Beschränkungen Beweise erzeugen, die das Existenz-Eigentum haben, sie auch passend für andere Formen von mathematischem constructivism machend. Informell bedeutet das, dass gegeben ein konstruktiver Beweis, dass ein Gegenstand dann besteht, dass konstruktiver Beweis in einen Algorithmus verwandelt werden kann, für ein Beispiel davon zu erzeugen.

Formalisierte intuitionistic Logik wurde von Arend Heyting ursprünglich entwickelt, um eine formelle Grundlage für das Programm von Brouwer von intuitionism zu schaffen.

Syntax

Die Syntax von Formeln der intuitionistic Logik ist der Satzlogik oder Logik der ersten Ordnung ähnlich. Jedoch, intuitionistic Bindewörter sind in Bezug auf einander ebenso als in der klassischen Logik, folglich ihre auserlesenen Sachen nicht definierbar. In der intuitionistic Satzlogik ist es üblich, um , , ,  als die grundlegenden Bindewörter zu verwenden, ¬ als eine Abkürzung dafür behandelnd. In der intuitionistic Logik der ersten Ordnung beide sind quantifiers ,  erforderlich.

Viele Tautologie der klassischen Logik kann innerhalb der intuitionistic Logik nicht mehr bewiesen werden. Beispiele schließen nicht nur das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, sondern auch das Gesetz von Peirce ein, und verdoppeln sogar Ablehnungsbeseitigung. In der klassischen Logik, beiden und sind auch Lehrsätze. In der intuitionistic Logik ist nur der erstere ein Lehrsatz: Doppelte Ablehnung kann eingeführt werden, aber sie kann nicht beseitigt werden. Zurückweisung kann sonderbar denjenigen scheinen, die mit der klassischen Logik vertrauter sind, aber Beweis dieser Behauptung in der konstruktiven Logik würde das Produzieren eines Beweises für die Wahrheit oder Unehrlichkeit aller möglichen Behauptungen verlangen, die für eine Vielfalt von Gründen unmöglich ist.

Weil viele klassisch gültige Tautologie nicht ist, sind Lehrsätze der intuitionistic Logik, aber alle Lehrsätze der intuitionistic Logik klassisch gültig, intuitionistic Logik kann als eine Schwächung der klassischen Logik, obgleich ein mit vielen nützlichen Eigenschaften angesehen werden.

Folgende Rechnung

Gentzen hat entdeckt, dass eine einfache Beschränkung seines Systems LK (seine folgende Rechnung für die klassische Logik) läuft auf ein System hinaus, das gesund und in Bezug auf die intuitionistic Logik abgeschlossen ist. Er hat dieses System LJ genannt. In LK wird jeder Zahl von Formeln erlaubt, auf der Beschluss-Seite einer Folge zu erscheinen; im Gegensatz erlaubt LJ höchstens eine Formel in dieser Position.

Andere Ableitungen von LK werden auf intuitionstic Abstammungen beschränkt, aber erlauben noch vielfache Beschlüsse in einer Folge. LJ' ist ein Beispiel.

Hilbert-artige Rechnung

Logik von Intuitionistic kann mit der folgenden Hilbert-artigen Rechnung definiert werden. Vergleichen Sie sich mit dem Abzug-System am Satz-calculus#Alternative Rechnung.

In der Satzlogik ist die Interferenzregel Modus ponens

• Abgeordneter: Davon und leiten ab

und die Axiome sind

• DANN 1:
• DANN 2:
• UND 1:
• UND 2:
• UND 3:
• ODER 1:
• ODER 2:
• ODER 3:
• FALSCH:

Um das ein System der Prädikat-Logik der ersten Ordnung zu machen, herrscht die Generalisation

über

• - INFORMATION: Davon leiten ab, wenn in nicht frei

ist - INFORMATION: Davon leiten ab, wenn in nicht frei ist

werden zusammen mit den Axiomen hinzugefügt

• PRED-1: wenn der Begriff t für den Ersatz für die Variable x darin frei ist (d. h., wenn kein Ereignis einer Variable in t bestimmt in wird)
• PRED-2: mit derselben Beschränkung bezüglich PRED-1

Fakultative Bindewörter

Ablehnung

Wenn man ein Bindewort für die Ablehnung einschließen aber nicht es als eine Abkürzung dafür betrachten möchte, ist es genug beizutragen:

• NICHT 1':
• NICHT 2':

Es gibt mehrere verfügbare Alternativen, wenn man das (falsche) Bindewort weglassen möchte. Zum Beispiel kann man die drei Axiome FALSCH, NICHT 1', und NICHT 2' mit den zwei Axiomen ersetzen

• NICHT 1:
• NICHT 2:

als am Satz-calculus#Axioms. Alternativen zu NICHT 1 sind oder.

Gleichwertigkeit

Das Bindewort für die Gleichwertigkeit kann als eine Abkürzung mit dem Eintreten behandelt werden. Wechselweise kann man die Axiome hinzufügen

• IFF-1:
• IFF-2:
• IFF-3:

IFF-1 und IFF-2, wenn gewünscht, können in ein einzelnes Axiom mit der Verbindung verbunden werden.

Beziehung zur klassischen Logik

Das System der klassischen Logik wird durch das Hinzufügen von irgendwelchen der folgenden Axiome erhalten:

• (Gesetz der ausgeschlossenen Mitte. Mai, auch als formuliert werden.)

• (Doppelte Ablehnungsbeseitigung)

• (Das Gesetz von Peirce)

Im Allgemeinen kann man als das Extraaxiom jede klassische Tautologie nehmen, die im Zwei-Elemente-Rahmen von Kripke nicht gültig ist (mit anderen Worten, der in die Logik von Smetanich nicht eingeschlossen wird).

Eine andere Beziehung wird durch die Gödel-Gentzen negative Übersetzung gegeben, die ein Einbetten der klassischen Logik der ersten Ordnung in die intuitionistic Logik zur Verfügung stellt: Eine Formel der ersten Ordnung ist in der klassischen Logik nachweisbar, wenn, und nur wenn seine Gödel-Gentzen Übersetzung nachweisbarer intuitionistically ist. Deshalb kann Intuitionistic-Logik stattdessen als ein Mittel gesehen werden, klassische Logik mit der konstruktiven Semantik zu erweitern.

1932 hat Kurt Gödel ein System des Logikzwischengliedes von Gödel zwischen der klassischen und intuitionistic Logik definiert; solche Logik ist als Zwischenlogik bekannt.

Beziehung zur vielgeschätzten Logik

Kurt Gödel 1932 hat gezeigt, dass intuitionistic Logik nicht eine begrenzt noch viel geschätzte Logik ist. (Sieh, dass die Abteilung Algebra-Semantik von Heyting unten für eine Art "ungeheuer noch viel geschätzte" Logikinterpretation der intuitionistic Logik betitelt hat.)

Non-interdefinability von Maschinenbedienern

In der klassischen Satzlogik ist es möglich, eine der Verbindung, Trennung oder Implikation so primitiv zu nehmen, und die anderen zwei in Bezug darauf zusammen mit der Ablehnung, solcher zu definieren, wie in Łukasiewicz's drei Axiome der Satzlogik. Es ist sogar möglich, alle vier in Bezug auf einen alleinigen genügend Maschinenbediener wie der Pfeil von Peirce (NOCH) oder Schlag von Sheffer (NAND) zu definieren. Ähnlich in der klassischen Logik der ersten Ordnung kann einer der quantifiers in Bezug auf den anderen und Ablehnung definiert werden.

Das sind im Wesentlichen Folgen des Gesetzes von bivalence, der alle diese Bindewörter bloß Funktionen von Boolean macht. Das Gesetz von bivalence hält in der intuitionistic Logik, nur das Gesetz des Nichtwiderspruchs nicht. Infolgedessen kann auf keines der grundlegenden Bindewörter verzichtet werden, und die obengenannten Axiome sind alle notwendig. Der grösste Teil der klassischen Identität ist nur Lehrsätze der intuitionistic Logik in einer Richtung, obwohl einige Lehrsätze in beiden Richtungen sind. Sie sind wie folgt:

Verbindung gegen die Trennung:

Verbindung gegen die Implikation:

Trennung gegen die Implikation:

Universal gegen die existenzielle Quantifizierung:

Also, zum Beispiel "sind a oder b" eine stärkere Behauptung als "wenn nicht a, dann b", wohingegen diese klassisch austauschbar sind. Andererseits, "nicht (a oder b)" ist zu "nicht a, und auch nicht b" gleichwertig.

Wenn wir Gleichwertigkeit in die Liste von Bindewörtern einschließen, werden einige der Bindewörter definierbar von anderen:

Insbesondere {, , } und {, , ¬} sind ganze Basen von intuitionistic Bindewörtern.

Wie gezeigt, durch Alexander Kuznetsov ist jedes der folgenden Bindewörter - des ersten dreifältig, das zweite quinar - allein funktionell abgeschlossen: Jeder kann der Rolle eines alleinigen genügend Maschinenbedieners für die intuitionistic Satzlogik dienen, so ein Analogon des Schlags von Sheffer von der klassischen Satzlogik bildend:

Semantik

Die Semantik ist eher mehr kompliziert als für den klassischen Fall. Eine Mustertheorie kann durch Algebra von Heyting oder gleichwertig durch die Semantik von Kripke gegeben werden.

Algebra-Semantik von Heyting

In der klassischen Logik besprechen wir häufig die Wahrheitswerte, die eine Formel nehmen kann. Die Werte werden gewöhnlich als die Mitglieder einer Algebra von Boolean gewählt. Das Entsprechen und schließt sich Operationen bei der Algebra von Boolean an werden mit dem  und den  logischen Bindewörtern identifiziert, so dass der Wert einer Formel der Form Ein  B das Entsprechen des Werts von A und des Werts von B in der Algebra von Boolean ist. Dann haben wir den nützlichen Lehrsatz, dass eine Formel ein gültiger Satz der klassischen Logik ist, wenn, und nur wenn sein Wert 1 für jede Schätzung — d. h. für jede Anweisung von Werten zu seinen Variablen ist.

Ein entsprechender Lehrsatz ist für die intuitionistic Logik wahr, aber anstatt jede Formel ein Wert von einer Algebra von Boolean zuzuteilen, verwendet man Werte von einer Algebra von Heyting, deren Algebra von Boolean ein spezieller Fall sind.

Eine Formel ist in der intuitionistic Logik gültig, wenn, und nur wenn es den Wert des Spitzenelements für jede Schätzung auf jeder Algebra von Heyting erhält.

Es kann gezeigt werden, dass, um gültige Formeln anzuerkennen, es genügend ist, eine einzelne Algebra von Heyting zu denken, deren Elemente die offenen Teilmengen der echten Linie R sind. In dieser Algebra entsprechen der  und die  Operationen zur Satz-Kreuzung und Vereinigung und dem einer Formel zugeteilten Wert Ein  B ist interne Nummer (Ein  B), das Interieur der Vereinigung des Werts von B und der Ergänzung des Werts von A. Das unterste Element ist der leere Satz , und das Spitzenelement ist die komplette Linie R. Die Ablehnung ¬ einer Formel A wird (wie gewöhnlich) definiert, um Ein   zu sein. Der Wert von ¬ nimmt dann zur internen Nummer (A), das Interieur der Ergänzung des Werts von A, auch bekannt als des Äußeren von A ab. Mit diesen Anweisungen, intuitionistically gültige Formeln sind genau diejenigen, die der Wert der kompletten Linie zugeteilt werden.

Zum Beispiel ist die Formel ¬ (Ein  ¬ A) gültig, weil, egal was gesetzt X als der Wert der Formel A gewählt wird, wie man zeigen kann, der Wert von ¬ (Ein  ¬ A) die komplette Linie ist:

: Wert (¬ (Ein  ¬ A)) =

: interne Nummer ((Wert (Ein  ¬ A))) =

: interne Nummer ((Wert (A)  Wert (¬ A))) =

: interne Nummer ((X  interne Nummer ((Wert (A))))) =

: interne Nummer ((X  interne Nummer (X)))

Ein Lehrsatz der Topologie sagt uns, dass interne Nummer (X) eine Teilmenge X ist, so ist die Kreuzung leer, abreisend:

: interne Nummer () = interne Nummer (R) = R

So ist die Schätzung dieser Formel wahr, und tatsächlich die Formel gültig ist.

Aber, wie man zeigen kann, ist das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, Ein  ¬ A, ungültig, indem es den Wert von A {y sein lässt: y > 0\. Dann ist der Wert von ¬ A das Interieur {y: y  0\, der ist

{y: y < 0\, und ist der Wert der Formel die Vereinigung von

{y: y > 0 }\

und

{y: y < 0\, der {y ist: y  0\, nicht die komplette Linie.

Die Interpretation jeder intuitionistically gültigen Formel in der unendlichen Algebra von Heyting, die oben beschrieben ist, läuft auf das Spitzenelement hinaus, wahr, als die Schätzung der Formel, unabhängig davon vertretend, welche Werte von der Algebra den Variablen der Formel zugeteilt werden. Umgekehrt, für jede ungültige Formel, gibt es eine Anweisung von Werten zu den Variablen, die eine Schätzung nachgibt, die sich vom Spitzenelement unterscheidet. Keine begrenzte Algebra von Heyting hat beide diese Eigenschaften.

Semantik von Kripke

Nach seiner Arbeit an der Semantik der modalen Logik bauend, hat Saul Kripke eine andere Semantik für die intuitionistic Logik geschaffen, die als Semantik von Kripke oder Verwandtschaftssemantik bekannt ist.

Beziehung zu anderer Logik

Logik von Intutionistic ist durch die Dualität mit einer parakonsequenten Logik verbunden, die als Brasilianer, anti-intuitionistic oder Doppel-Intuitionistic-Logik bekannt ist.

Das Subsystem der intuitionistic Logik mit dem FALSCHEN entfernten Axiom ist als minimale Logik bekannt.

Siehe auch

• BHK Interpretation
• Intuitionistic Typ-Theorie
• Zwischenlogik
• Geradlinige Logik
• Konstruktiver Beweis
• Ähnlichkeit des Currys-Howard
• Berechenbarkeitslogik
• Spielsemantik
• Glätten Sie unendlich kleine Analyse

Referenzen

• Van Dalen, Dirk, 2001, "Intuitionistic Logik", in Goble, Lou, Hrsg., Dem Handbuch von Blackwell zur Philosophischen Logik. Blackwell.
• Morten H. Sørensen, Paweł Urzyczyn, 2006, Vorträge auf dem Isomorphismus des Currys-Howard (Kapitel 2: "Intuitionistic Logik"). Studien in der Logik und den Fundamenten der Mathematik vol. 149, Elsevier.
• W. A. Carnielli (mit A. B.M. Brunner). "Anti-intuitionism und Parakonsistenz". Zeitschrift des Angewandten Logikbands 3, der Ausgabe 1, März 2005, Seiten 161-184.

Links

• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie: "Intuitionistic Logik" - durch Joan Moschovakis.