In der Spieltheorie ist der Wert von Shapley, der zu Ehren von Lloyd Shapley genannt ist, der es 1953 eingeführt hat, ein Lösungskonzept in der kooperativen Spieltheorie. Zu jedem kooperativen Spiel teilt es einen einzigartigen Vertrieb (unter den Spielern) eines von der Koalition aller Spieler erzeugten Gesamtüberschusses zu. Der Wert von Shapley wird durch eine Sammlung von wünschenswerten Eigenschaften oder Axiomen charakterisiert, die unten beschrieben sind.

Die Einstellung ist wie folgt: Eine Koalition von Spielern arbeitet zusammen, und erhält einen bestimmten gesamten Gewinn von dieser Zusammenarbeit. Da einige Spieler mehr zur Koalition beitragen können als andere oder verschiedene handelnde Macht besitzen können (zum Beispiel drohend, den ganzen Überschuss zu zerstören), welcher Endvertrieb des erzeugten Überschusses unter den Spielern sollten wir annehmen, in einem besonderem Spiel zu entstehen? Oder ausgedrückt verschieden: Wie wichtig ist jeder Spieler zur gesamten Zusammenarbeit, und welche Belohnung kann er oder sie vernünftig erwarten? Der Shapley-Wert stellt eine mögliche Antwort auf diese Frage zur Verfügung.

Formelle Definition

Um diese Situation zu formalisieren, verwenden wir den Begriff eines coalitional Spiels:

wir brechen mit einem Satz N (von n Spielern) und eine Funktion damit auf, wo den leeren Satz anzeigt. Die Funktion, die Teilmengen von Spielern zu reals kartografisch darstellt, wird eine charakteristische Funktion genannt.

Die Funktion hat die folgende Bedeutung: Wenn S eine Koalition von Spielern ist, dann beschreibt v (S), genannt den Wert der Koalition S, die erwartete Gesamtsumme von Belohnungen, die die Mitglieder dessen durch die Zusammenarbeit erhalten können.

Der Shapley-Wert ist eine Weise, die Gesamtgewinne den Spielern zu verteilen, annehmend, dass sie alle zusammenarbeiten. Es ist ein "schöner" Vertrieb im Sinn, dass es der einzige Vertrieb mit bestimmten wünschenswerten Eigenschaften ist, unten verzeichnet zu werden. Gemäß dem Shapley-Wert ist der Betrag, dass Spieler mir ein coalitional Spiel gegeben wird

:

\{I\}} \frac

:

Durch ein Symmetrie-Argument kann ihm das gezeigt werden

:

Wegen des Leistungsfähigkeitsaxioms wissen wir, dass die Summe aller Werte von Shapley 1 gleich ist, was das bedeutet

:

Eigenschaften

Der Shapley-Wert hat die folgenden wünschenswerten Eigenschaften:

1. Leistungsfähigkeit: Der Gesamtgewinn wird verteilt:

:

2. Symmetrie: Wenn ich und j zwei Schauspieler sind, die im Sinn das gleichwertig

sind:

für jede Teilmenge S N, der weder mich noch j, dann φ (v) = φ (v) enthält.

3. Additivität: Wenn wir zwei Koalitionsspiele verbinden, die durch Gewinn-Funktionen v und w beschrieben sind, dann sollten die verteilten Gewinne den Gewinnen entsprechen ist auf v zurückzuführen gewesen, und die Gewinne sind auf w zurückzuführen gewesen:

:

für jeden ich in N.

4. Nullspieler (Ungültiger Spieler): Der Shapley Wert eines ungültigen Spielers i in einem Spiel v ist Null. Ein Spieler ist in wenn für alle Koalitionen ungültig.

Tatsächlich, in Anbetracht eines Spielers setzt N, der Wert von Shapley ist die einzige Karte vom Satz aller Spiele zu Belohnungsvektoren, der alle vier Eigenschaften 1, 2, 3, und 4 von oben befriedigt.

Nachtrag-Definitionen

1. Anonym: Wenn ich und j zwei Schauspieler sind, und w die Gewinn-Funktion ist, die gerade wie v handelt, außer dass die Rollen von mir und j, dann φ (v) = φ (w) ausgetauscht worden sind. Hauptsächlich bedeutet das, dass das Beschriften der Schauspieler keine Rolle in der Anweisung ihrer Gewinne spielt. Wie man sagt, ist solch eine Funktion anonym.

2. Marginalism: Der Wert von Shapley kann als eine Funktion definiert werden, die nur die Randbeiträge des Spielers i als die Argumente verwendet.

Aumann-Shapley Wert

In ihrem 1974-Buch haben sich Shapley und Robert Aumann ausgestreckt das Konzept vom Shapley schätzen zu unendlichen Spielen (definiert in Bezug auf ein Nichtatommaß), die diagonale Formel schaffend. Das wurde später von Jean-François Mertens und Abraham Neyman erweitert.

Lassen Sie uns intuitiv sehen, wie man an einen Wert darin aufgestellt denkt, dafür verlassen wir uns schwer auf die Verweisung von Jean-François Mertens unten.

Wie gesehen, oben vereinigt der Wert eines N-Person-Spiels jedem Spieler die Erwartung

seines Beitrags zum Wert oder der Koalition oder den Spielern vor ihm in einem

zufällige Einrichtung aller Spieler. Wenn es viele Spieler und jeden individuellen gibt

Spiele nur eine geringe Rolle, der Satz aller Spieler, die einem gegebenen vorangehen, werden als eine gute Probe der Spieler so dass der Wert eines gegebenen unendlich kleinen Spielers ringsherum als "sein" Beitrag zum Wert einer "vollkommenen" Probe der Bevölkerung aller Spieler heuristisch gedacht.

Symbolisch, wenn das coalitional werte der Funktion ist, die zu gemessenen Teilmenge jeder Koalition einer messbaren Menge verkehrt, die als ohne Verlust der Allgemeinheit gedacht werden kann.

(Sv) (ds) = \int_0^1 (v (tI + ds) - v (tI)) dt.

</Mathematik>

wo den Wert von Shapley des unendlich kleinen Spielers im Spiel anzeigt, ist eine vollkommene Probe des Vollspieler-Satzes, der ein Verhältnis aller Spieler und enthält

ist die erhaltene Koalition, nachdem sich anschließt. Das ist die heuristische Form der diagonalen Formel.

Wenn man

eine Regelmäßigkeit des werten der Funktion annimmt, kann zum Beispiel das Annehmen als differentiable Funktion eines Nichtatommaßes auf, mit der Dichte-Funktion, mit (die charakteristische Funktion) vertreten werden. Unter solchen Bedingungen

</Mathematik>,

wie durch das Approximieren der Dichte durch eine Schritt-Funktion und das Halten des Verhältnisses für jedes Niveau der Dichte-Funktion und gezeigt werden kann

v (tI + ds) =f (t\mu (I)) +f' (t\mu (I)) \mu (ds)

. </Mathematik>

Die diagonale Formel hat dann die Form, die von Aumann und Shapley (1974) entwickelt ist

(Sv) (ds) = \int_0^1 f' _ {t\mu (I)} (\mu (ds)) dt

</Mathematik>

Oben kann geschätzter Vektor sein (als lange, weil die Funktion definiert wird und differentiable auf der Reihe dessen, hat die obengenannte Formel Sinn).

Im Argument oben, wenn das Maß Atome enthält, ist nicht mehr wahr - das ist, warum die diagonale Formel größtenteils für Nichtatomspiele gilt.

Zwei Annäherungen wurden aufmarschiert, um diese diagonale Formel zu erweitern, wenn die Funktion nicht mehr differentiable ist. Mertens geht zur ursprünglichen Formel zurück und nimmt die Ableitung nach dem integrale, der dadurch aus der Glanzschleifen-Wirkung einen Nutzen zieht. Neyman hat eine verschiedene Annäherung genommen.

Siehe auch

• Flughafenproblem
• Macht-Index von Banzhaf
• Shapley-Shubik Macht-Index
• Robert J. Aumann, Lloyd S. Shapley. Werte von Nichtatomspielen, Princeton Univ. Presse, Pinceton, 1974.
• Sergiu Hart, Shapley Wert, Der Neue Palgrave: Spieltheorie, J. Eatwell, M. Milgate und P. Newman (Redakteure), Norton, Seiten 210-216, 1989.
• Mertens, Jean-François, 1980. "Werte und Ableitungen," Mathematik der Operationsforschung, 5: 523-552.

http://www.jstor.org/stable/10.2307/3689325

• Mertens, Jean-François, 1988. Der Shapley-Wert im Differentiable Nicht Fall," Internationale Zeitschrift der Spieltheorie, 17: 1-65.

http://www.springerlink.com/content/rl111x278677k461/

• Lloyd S. Shapley. "Ein Wert für N-Person-Spiele". In Beiträgen zur Theorie von Spielen, Band II, durch H.W. Kuhn und A.W. Tucker, Redakteure. Annalen von Mathematischen Studien v. 28, Seiten 307-317. Universität von Princeton Presse, 1953.
• Alvin E. Roth (Redakteur). Der Wert von Shapley, die Aufsätze zu Ehren von Lloyd S. Shapley. Universität von Cambridge Presse, Cambridge, 1988.

Links

• http://www.ma.huji.ac.il/~hart/value.html - eine Bibliografie von kooperativen Spielen: Werttheorie von Sergiu Hart