In der abstrakten Algebra ist eine alternative Algebra eine Algebra, in der Multiplikation nicht assoziativ, nur alternativ zu sein braucht. D. h. man muss haben

für den ganzen x und y in der Algebra. Jede assoziative Algebra ist offensichtlich alternativ, aber ist so auch einige ausschließlich nichtassoziative Algebra wie der octonions. Die sedenions sind andererseits nicht alternativ.

Der associator

Alternative Algebra werden so genannt, weil sie genau die Algebra sind, für die der associator abwechselt. Der associator ist eine durch gegebene Trilinear-Karte

Definitionsgemäß wechselt eine mehrgeradlinige Karte ab, wenn sie verschwindet, wann auch immer zwei davon Argumente gleich sind. Der verlassene und die richtige alternative Identität für eine Algebra sind zu gleichwertig

Beide dieser Identität deutet zusammen an, dass der associator ist, völlig verdrehen - symmetrisch. Das, ist

für jede Versetzung σ. Hieraus folgt dass

für den ganzen x und y. Das ist zur so genannten flexiblen Identität gleichwertig

Der associator einer alternativen Algebra wechselt deshalb ab. Umgekehrt ist jede Algebra, deren associator abwechselt, klar alternativ. Durch die Symmetrie, jede Algebra, die irgendwelche zwei befriedigt:

• verlassene alternative Identität:
• richtige alternative Identität:
• flexible Identität:

alternativ und befriedigt deshalb die ganze drei Identität.

Ein Wechseln associator ist immer völlig verdrehen - symmetrisch. Das gegenteilige hält, so lange die Eigenschaft des Grundfeldes nicht 2 ist.

Eigenschaften

Der Lehrsatz von Artin stellt fest, dass in einer alternativen Algebra die durch irgendwelche zwei Elemente erzeugte Subalgebra assoziativ ist. Umgekehrt ist jede Algebra, für die das wahr ist, klar alternativ. Hieraus folgt dass Ausdrücke, die nur zwei Variablen einschließen, ohne Parenthese eindeutig in einer alternativen Algebra geschrieben werden können. Eine Generalisation des Lehrsatzes von Artin stellt dass wann auch immer drei Elemente in einem alternativen Algebra-Partner fest (d. h.). die durch jene Elemente erzeugte Subalgebra ist assoziativ.

Eine Folgeerscheinung des Lehrsatzes von Artin ist, dass alternative Algebra mit der Macht assoziativ sind, d. h. ist die durch ein einzelnes Element erzeugte Subalgebra assoziativ. Das gegenteilige braucht nicht zu halten: Die sedenions sind mit der Macht assoziativ, aber nicht alternativ.

Die Moufang Identität

halten Sie in jeder alternativen Algebra.

In einer unital alternativen Algebra, multiplicative Gegenteile sind einzigartig, wann auch immer sie bestehen. Außerdem für jedes invertible Element und alle hat man

Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass der associator für ganz verschwindet und. Wenn und invertible sind, dann ist auch invertible mit dem Gegenteil. Der Satz aller invertible Elemente wird deshalb unter der Multiplikation geschlossen und bildet eine Schleife von Moufang. Diese Schleife von Einheiten in einem alternativen Ring oder Algebra ist der Gruppe von Einheiten in einem assoziativen Ring oder Algebra analog.

Anwendungen

Das projektive Flugzeug über jeden alternativen Abteilungsring ist ein Flugzeug von Moufang.

Die nahe Beziehung von alternativen Algebra und Zusammensetzungsalgebra wurde von Guy Roos 2008 gegeben: Er zeigt (Seite 162) die Beziehung für eine Algebra mit dem Einheitselement e und einem involutive anti-automorphism solch, dass + a* und aa* auf der Linie sind, die durch e für alle in A abgemessen ist. Verwenden Sie die Notation n (a) = aa*. Dann, wenn n ist ins Feld von A nichtsingulär kartografisch darzustellen, und A alternativ ist, dann (A, n) ist eine Zusammensetzungsalgebra.

Siehe auch

• Zorn rufen an
• Algebra von Maltsev
• Guy Roos (2008) "Außergewöhnliche symmetrische Gebiete", §1: Algebra von Cayley, in Symmetries in der Komplizierten Analyse durch Bruce Gilligan & Guy Roos, Band 468 der Zeitgenössischen Mathematik, amerikanischer Mathematischer Gesellschaft.

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