In der Mathematik, mehr spezifisch in der abstrakten Algebra, stellt Theorie von Galois, genannt nach Évariste Galois, eine Verbindung zwischen Feldtheorie und Gruppentheorie zur Verfügung. Mit der Galois Theorie können bestimmte Probleme in der Feldtheorie auf die Gruppentheorie reduziert werden, die in einem Sinn einfacher und besser verstanden ist.

Ursprünglich hat Galois Versetzungsgruppen verwendet, um zu beschreiben, wie die verschiedenen Wurzeln einer gegebenen polynomischen Gleichung mit einander verbunden sind. Die moderne Annäherung an die Theorie von Galois, die von Richard Dedekind, Leopold Kronecker und Emil Artin, unter anderen entwickelt ist, ist mit dem Studieren automorphisms Felderweiterungen verbunden.

Die weitere Abstraktion der Theorie von Galois wird durch die Theorie von Verbindungen von Galois erreicht.

Anwendung auf klassische Probleme

Die Geburt der Theorie von Galois wurde durch die folgende Frage ursprünglich motiviert, deren Antwort als der Lehrsatz von Abel-Ruffini bekannt ist.

:Why ist dort keine Formel für die Wurzeln eines fünften (oder höher) Grad-Polynom-Gleichung in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms, mit nur die üblichen algebraischen Operationen (Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung) und Anwendung von Radikalen (Quadratwurzeln, Würfel-Wurzeln, usw.)?

Theorie von Galois stellt nicht nur eine schöne Antwort auf diese Frage zur Verfügung, sie erklärt auch im Detail, warum es möglich ist, Gleichungen des Grads vier oder tiefer auf die obengenannte Weise zu lösen, und warum ihre Lösungen die Form annehmen, die sie tun. Weiter gibt es begrifflich klar, und häufig praktisch, Mittel des Erzählens, wenn eine besondere Gleichung des höheren Grads auf diese Weise gelöst werden kann.

Theorie von Galois gibt auch eine klare Scharfsinnigkeit in Fragen bezüglich Probleme im Kompass und Haarlineal-Aufbau.

Es gibt eine elegante Charakterisierung der Verhältnisse von Längen, die mit dieser Methode gebaut werden können.

Damit wird es relativ leicht, auf solche klassischen Probleme der Geometrie als zu antworten

:Which regelmäßige Vielecke sind constructible Vielecke?

:Why ist es nicht möglich, jeden Winkel mit einem Kompass und Haarlineal dreimal zu teilen?

Geschichte

Theorie von Galois, die in der Studie von symmetrischen Funktionen - die Koeffizienten eines monic Polynoms hervorgebracht ist, ist (bis zum Zeichen) die elementaren symmetrischen Polynome in den Wurzeln. Zum Beispiel, wo 1, und ab die elementaren Polynome des Grads 0, 1 und 2 in zwei Variablen sind.

Das wurde zuerst vom französischen Mathematiker des 16. Jahrhunderts François Viète in den Formeln von Viète für den Fall von positiven echten Wurzeln formalisiert. Nach der Meinung vom britischen Mathematiker des 18. Jahrhunderts Charles Hutton wurde der Ausdruck von Koeffizienten eines Polynoms in Bezug auf die Wurzeln (nicht nur für positive Wurzeln) zuerst vom französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts Albert Girard verstanden; Hutton schreibt:

In dieser Ader ist der discriminant eine symmetrische Funktion in den Wurzeln, die Eigenschaften der Wurzeln widerspiegelt - ist es Null, wenn, und nur wenn das Polynom eine vielfache Wurzel, und für quadratische und kubische Polynome hat, es positiv ist, wenn, und nur wenn alle Wurzeln echt und verschieden, und negativ sind, wenn, und nur wenn es ein Paar von verschiedenen komplizierten verbundenen Wurzeln gibt. Sieh Discriminant: Natur der Wurzeln für Details.

Das kubische wurde zuerst vom 15./16. italienischen Jahrhundertmathematiker Scipione del Ferro teilweise gelöst, der seine Ergebnisse nicht jedoch veröffentlicht hat; diese Methode hat nur eine von drei Klassen, als andere beteiligte Einnahme-Quadratwurzeln von negativen Zahlen gelöst, und komplexe Zahlen waren zurzeit nicht bekannt. Diese Lösung wurde dann unabhängig 1535 von Niccolò Fontana Tartaglia wieder entdeckt, der sie mit Gerolamo Cardano geteilt hat, ihn bittend, sie nicht zu veröffentlichen. Cardano hat dann das zu den anderen zwei Fällen mit Quadratwurzeln von Negativen als Zwischenstufen erweitert; sieh Details an der Methode von Cardano. Nach der Entdeckung der Arbeit von Ferro hat er gefunden, dass die Methode von Tartaglia nicht mehr heimlich war, und so er seine vollständige Lösung in seinen 1545 Ars Magna veröffentlicht hat. Sein Student Lodovico Ferrari hat das quartic Polynom gelöst, welche Lösung Cardano auch in Ars Magna eingeschlossen hat.

Ein weiterer Schritt war das 1770-Papier Réflexions sur la résolution algébrique des équations durch den französisch-italienischen Mathematiker Joseph Louis Lagrange in seiner Methode von Wiederlösungsmitteln von Lagrange, wo er die Lösung von Cardano und Ferrarris von cubics und quartics analysiert hat, indem er sie in Bezug auf Versetzungen der Wurzeln gedacht hat, die ein Hilfspolynom des niedrigeren Grads nachgegeben haben, ein vereinigtes Verstehen der Lösungen und des Legens des Grundsteins für die Gruppentheorie und Theorie von Galois zur Verfügung stellend. Entscheidend, jedoch, hat er Zusammensetzung von Versetzungen nicht gedacht. Die Methode von Lagrange hat sich bis zu quintic Gleichungen oder höher nicht ausgestreckt, weil das Wiederlösungsmittel höheren Grad hatte.

Wie man

fast bewies, hatte der quintic keine allgemeinen Lösungen durch Radikale durch Paolo Ruffini 1799, dessen Schlüsselscharfsinnigkeit Versetzungsgruppen, nicht nur eine einzelne Versetzung verwenden sollte. Seine Lösung hat eine Lücke enthalten, die Cauchy als gering betrachtet hat, obwohl das bis zur Arbeit des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel nicht geflickt wurde, der einen Beweis 1824 veröffentlicht hat, so den Lehrsatz von Abel-Ruffini einsetzend.

Während Ruffini und Abel festgestellt haben, dass der allgemeine quintic nicht gelöst werden konnte, kann ein besonderer quintics, solcher als gelöst werden (x − 1) =0, und das genaue Kriterium, durch das ein gegebener quintic oder höheres Polynom beschlossen werden konnten, lösbar zu sein, oder nicht von Évariste Galois gegeben wurden, der dass gezeigt hat, ob ein Polynom lösbar war oder nicht dazu gleichwertig war, ob die Versetzungsgruppe seiner Wurzeln - in modernen Begriffen, seiner Gruppe von Galois - eine bestimmte Struktur - in modernen Begriffen hatte, ob es eine lösbare Gruppe war. Diese Gruppe war immer für Polynome des Grads vier oder weniger, aber nicht immer so für Polynome des Grads fünf lösbar und größer, der erklärt, warum es keine allgemeine Lösung im höheren Grad gibt.

Versetzungsgruppe nähert sich der Theorie von Galois

In Anbetracht eines Polynoms kann es sein, dass einige der Wurzeln durch verschiedene algebraische Gleichungen verbunden werden. Zum Beispiel kann es sein, dass für zwei der Wurzeln, A und B, dass sagen Sie. Die Hauptidee von der Theorie von Galois ist, jene Versetzungen (oder Neuordnungen) der Wurzeln zu denken, die das Eigentum haben, dass jede algebraische durch die Wurzeln zufriedene Gleichung noch zufrieden ist, nachdem die Wurzeln permutiert worden sind. Eine wichtige Bedingung besteht darin, dass wir uns zu algebraischen Gleichungen einschränken, deren Koeffizienten rationale Zahlen sind. (Man könnte stattdessen ein bestimmtes Feld angeben, in dem die Koeffizienten liegen sollten, aber, für die einfachen Beispiele unten, werden wir uns zum Feld von rationalen Zahlen einschränken.)

Diese Versetzungen bilden zusammen eine Versetzungsgruppe, auch genannt die Gruppe von Galois des Polynoms (über die rationalen Zahlen). Um diesen Punkt zu illustrieren, denken Sie die folgenden Beispiele:

Das erste Beispiel: eine quadratische Gleichung

Denken Sie die quadratische Gleichung

:Indem

wir die quadratische Formel verwenden, finden wir, dass die zwei Wurzeln sind

::

Beispiele von algebraischen Gleichungen, die durch A und B zufrieden sind, schließen ein

:und:

Offensichtlich, in jeder dieser Gleichungen, wenn wir A und B austauschen, erhalten wir eine andere wahre Behauptung. Zum Beispiel wird die Gleichung + B = 4 einfach B + = 4. Außerdem ist es wahr, aber viel weniger offensichtlich, dass das für jede mögliche algebraische Gleichung mit vernünftigen Koeffizienten zufrieden durch die Wurzeln A und B hält; das zu beweisen, verlangt die Theorie von symmetrischen Polynomen.

Wir beschließen dass die Gruppe von Galois des Polynoms x − 4x + 1 besteht aus zwei Versetzungen: Die Identitätsversetzung, die A und B unberührt, und die Umstellungsversetzung verlässt, die A und B austauscht. Es ist eine zyklische Gruppe der Ordnung zwei, und deshalb isomorph zu Z/2Z.

Man könnte einwenden, dass A und B durch noch eine andere algebraische Gleichung, verbunden sind

:

der wahr nicht bleibt, wenn A und B ausgetauscht werden. Jedoch betrifft diese Gleichung uns nicht, weil sie vernünftige Koeffizienten nicht hat; insbesondere ist nicht vernünftig.

Eine ähnliche Diskussion gilt für jede quadratische polynomische Axt + bx + c, wo a, b und c rationale Zahlen sind.

• Wenn das Polynom nur eine Wurzel, zum Beispiel x &minus hat; 4x + 4 = (x−2) dann ist die Gruppe von Galois trivial; d. h. es enthält nur die Identitätsversetzung.
• Wenn es zwei verschiedene vernünftige Wurzeln, zum Beispiel x &minus hat; 3x + 2 = (x−2) (x−1) ist die Gruppe von Galois wieder trivial.
• Wenn es zwei irrationale Wurzeln hat (einschließlich des Falls, wo die Wurzeln kompliziert sind), dann enthält die Gruppe von Galois zwei Versetzungen, ebenso im obengenannten Beispiel.

Das zweite Beispiel

Denken Sie das Polynom

:

der auch als geschrieben werden kann

:

Wir möchten die Gruppe von Galois dieses Polynoms wieder über das Feld von rationalen Zahlen beschreiben. Das Polynom hat vier Wurzeln:

::::

Es gibt 24 mögliche Weisen, diese vier Wurzeln zu permutieren, aber nicht alle diese Versetzungen sind Mitglieder der Gruppe von Galois. Die Mitglieder der Gruppe von Galois müssen jede algebraische Gleichung mit vernünftigen Koeffizienten bewahren, die A, B, C und D einschließen. Eine solche Gleichung ist

:

Jedoch, seitdem

:

die Versetzung

: (A, B, C, D)  (A, B, D, C)

wird nicht erlaubt (weil es die gültige Gleichung + D = 0 in die ungültige Gleichung + C = 0 umgestaltet).

Eine andere Gleichung, die die Wurzeln befriedigen, ist

:

Das wird weitere Versetzungen wie ausschließen

: (A, B, C, D)  (A, C, B, D).

Auf diese Weise weitermachend, finden wir, dass die einzigen Versetzungen (beide Gleichungen gleichzeitig befriedigend), restlich sind

: (A, B, C, D)  (A, B, C, D)

: (A, B, C, D)  (C, D, A, B)

: (A, B, C, D)  (B, A, D, C)

: (A, B, C, D)  (D, C, B, A),

und die Gruppe von Galois ist dem vier-Gruppen-Klein isomorph.

Moderne Annäherung durch die Feldtheorie

In der modernen Annäherung fängt man mit einer Felderweiterung L/K an (gelesen: L K), und untersucht die Gruppe des Feldes automorphisms L/K (das ist mappings α: L  L mit α (x) = x für den ganzen x in K). Sieh den Artikel über Gruppen von Galois für die weitere Erklärung und Beispiele.

Die Verbindung zwischen den zwei Annäherungen ist wie folgt. Die Koeffizienten des fraglichen Polynoms sollten aus dem Grundfeld K gewählt werden. Das oberste Feld L sollte das erhaltene Feld durch das Angrenzen an die Wurzeln des fraglichen Polynoms zum Grundfeld sein. Jede Versetzung der Wurzeln, die algebraische Gleichungen, wie beschrieben, oben respektiert, verursacht einen automorphism von L/K, und umgekehrt.

Im ersten Beispiel oben studierten wir die Erweiterung Q (3)/Q, wo Q das Feld von rationalen Zahlen ist, und Q (3) das bei Q erhaltene Feld durch das Angrenzen 3 ist. Im zweiten Beispiel studierten wir die Erweiterung Q (A, B, C, D)/Q.

Es gibt mehrere Vorteile für die moderne Annäherung über die Versetzungsgruppenannäherung.

• Es erlaubt eine viel einfachere Behauptung des Hauptsatzes der Theorie von Galois.
• Der Gebrauch von Grundfeldern außer Q ist in vielen Gebieten der Mathematik entscheidend. Zum Beispiel, in der Theorie der algebraischen Zahl, tut man häufig Theorie von Galois mit numerischen Feldern, begrenzten Feldern oder lokalen Feldern als das Grundfeld.
• Es erlaubt demjenigen, leichter unendliche Erweiterungen zu studieren. Wieder ist das in der Theorie der algebraischen Zahl wichtig, wo zum Beispiel man häufig die absolute Gruppe von Galois von Q, definiert bespricht, um die Gruppe von Galois von K/Q zu sein, wo K ein algebraischer Verschluss von Q ist.
• Es berücksichtigt Rücksicht von untrennbaren Erweiterungen. Dieses Problem entsteht im klassischen Fachwerk nicht, seitdem es immer implizit angenommen wurde, dass Arithmetik in der charakteristischen Null stattgefunden hat, aber Nichtnulleigenschaft entsteht oft in der Zahlentheorie und in der algebraischen Geometrie.
• Es entfernt das ziemlich künstliche Vertrauen auf dem Verfolgen Wurzeln von Polynomen. D. h. verschiedene Polynome können dieselben Erweiterungsfelder nachgeben, und die moderne Annäherung erkennt die Verbindung zwischen diesen Polynomen an.

Lösbare Gruppen und Lösung durch Radikale

Der Begriff einer lösbaren Gruppe in der Gruppentheorie erlaubt zu bestimmen, ob ein Polynom in Radikalen je nachdem lösbar ist, ob seine Gruppe von Galois das Eigentum der Lösbarkeit hat. Hauptsächlich entspricht jede Felderweiterung L/K einer Faktor-Gruppe in einer Zusammensetzungsreihe der Gruppe von Galois. Wenn eine Faktor-Gruppe in der Zusammensetzungsreihe vom Auftrag n zyklisch ist, und wenn in der entsprechenden Felderweiterung L/K Feld K bereits eine primitive n-te Wurzel der Einheit enthält, dann ist es eine radikale Erweiterung, und die Elemente von L können dann mit der n-ten Wurzel von einem Element von K ausgedrückt werden.

Wenn alle Faktor-Gruppen in seiner Zusammensetzungsreihe zyklisch sind, wird die Gruppe von Galois lösbar genannt, und alle Elemente des entsprechenden Feldes können durch die wiederholte Einnahme von Wurzeln, Produkten und Summen von Elementen vom Grundfeld (gewöhnlich Q) gefunden werden.

Einer der großen Triumphe der Galois Theorie war der Beweis, dass für jeden n> 4, dort Polynome des Grads n bestehen Sie, die durch Radikale - der Lehrsatz von Abel-Ruffini nicht lösbar sind. Das ist auf Grund dessen, dass für n> 4 die symmetrische Gruppe S eine einfache, nichtzyklische, normale Untergruppe, nämlich A enthält.

Ein nichtlösbares quintic Beispiel

Van der Waerden zitiert das Polynom. Durch den vernünftigen Wurzellehrsatz hat das keine vernünftigen Nullen. Weder es hat geradlinige Faktoren modulo 2 oder 3.

Die Galois Gruppe von modulo 2 ist vom Auftrag 6, weil Faktoren modulo 2 in und ein Kubikpolynom zyklisch.

hat keinen geradlinigen oder quadratischen Faktor modulo 3, und ist folglich nicht zu vereinfachender modulo 3. So enthält seine Gruppe von Galois modulo 3 ein Element des Auftrags 5.

Es ist bekannt, dass eine Gruppe von Galois modulo eine Blüte zu einer Untergruppe der Gruppe von Galois über den rationals isomorph ist. Eine Versetzungsgruppe auf 5 Gegenständen mit Elementen von Aufträgen 6 und 5 muss die symmetrische Gruppe sein, die deshalb die Gruppe von Galois dessen ist. Das ist eines der einfachsten Beispiele eines nichtlösbaren quintic Polynoms. Serge Lang hat gesagt, dass Emil Artin dieses Beispiel gefunden hat.

Galois umgekehrtes Problem

Alle begrenzten Gruppen kommen wirklich als Gruppen von Galois vor. Es ist leicht, Felderweiterungen mit jeder gegebenen begrenzten Gruppe als Gruppe von Galois zu bauen, so lange man das Boden-Feld nicht auch angibt.

Dafür, wählen Sie Feld K, und ein begrenzter Gruppenlehrsatz von G. Cayley sagt, dass G (bis zum Isomorphismus) eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S auf den Elementen von G ist. Wählen Sie indeterminates {x}, ein für jedes Element α G, und grenzen Sie an sie K an, um Feld F = K ({x}) zu bekommen. Enthalten innerhalb von F ist Feld L von symmetrischen vernünftigen Funktionen in {x}. Die Galois Gruppe von F/L ist S durch ein grundlegendes Ergebnis von Emil Artin. G folgt F durch die Beschränkung der Handlung von S. Wenn das feste Feld dieser Handlung M ist, dann, durch den Hauptsatz der Theorie von Galois, ist die Gruppe von Galois von F/M G.

Es ist ein offenes Problem, die Existenz einer Felderweiterung des vernünftigen Feldes Q mit einer gegebenen begrenzten Gruppe als Gruppe von Galois zu beweisen. Hilbert hat eine Rolle im Beheben des Problems für alle symmetrischen und abwechselnden Gruppen gespielt. Igor Shafarevich hat bewiesen, dass jede lösbare begrenzte Gruppe die Gruppe von Galois von etwas Erweiterung von Q ist. Verschiedene Leute haben das umgekehrte Problem von Galois für ausgewählte non-abelian einfache Gruppen behoben. Die Existenz von Lösungen ist für alle außer vielleicht ein (Gruppe von Mathieu M) der 26 sporadischen einfachen Gruppen gezeigt worden. Es gibt sogar ein Polynom mit integrierten Koeffizienten, deren Gruppe von Galois die Ungeheuer-Gruppe ist.

Siehe auch

• Fehlerkorrektur des Rohres-Solomon
• Galois Differenzialtheorie
• Die Galois Theorie von Grothendieck

Zeichen

• (Neudruck der zweiten verbesserten Auflage von 1944, Der Universität von Notre Dame Press).

• .

• (Das ursprüngliche Papier von Galois, mit dem umfassenden Hintergrund und Kommentar.)

• (Kapitel 4 gibt eine Einführung in die feldtheoretische Annäherung an die Theorie von Galois.)

• (Dieses Buch stellt den Leser in die Theorie von Galois von Grothendieck und einige Verallgemeinerungen vor, zu Galois groupoids führend.)
• . Englische Übersetzung (der 2. verbesserten Auflage): (Später neu veröffentlicht in Englisch durch den Springer laut des Titels "Algebra".)

Links

Einige Online-Tutorenkurse auf der Theorie von Galois erscheinen an:

http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422 http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Online-Lehrbücher auf Französisch, Deutsch, Italienisch und Englisch können gefunden werden an:

• http://www.galois-group.net /