In der Zahlentheorie, wie man sagt, ist ein Zweig der Mathematik, zwei ganze Zahlen a und b coprime (auch hat co-prime buchstabiert), oder relativ erst, wenn die einzige positive ganze Zahl, die gleichmäßig sie beide teilt, 1 Jahr alt ist. Das ist dasselbe Ding wie ihr größter allgemeiner Teiler, der 1 ist. Zusätzlich zu und die Notation wird ein b manchmal verwendet, um anzuzeigen, dass a und b relativ erst sind.

Zum Beispiel, 14 und 15 sind coprime, durch nur 1 allgemein teilbar seiend, aber 14 und 21 sind nicht, weil sie beide durch 7 teilbar sind. Die Nummern 1 und 1 sind coprime zu jeder ganzen Zahl, und sie sind die einzigen ganzen Zahlen, um coprime mit 0 zu sein.

Eine schnelle Weise zu bestimmen, ob zwei Zahlen coprime sind, wird durch den Euklidischen Algorithmus gegeben.

Die Zahl von ganzen Zahlen coprime zu einer positiven ganzen Zahl n, zwischen 1 und n, wird durch die Totient-Funktion von Euler (oder die Phi-Funktion von Euler) φ (n) gegeben.

Eigenschaften

Es gibt mehrere Bedingungen, die zu a und b gleichwertig sind, der coprime ist:

• Keine Primzahl teilt sowohl a als auch b.
• Dort bestehen Sie ganze Zahlen x und solcher y dass Axt + durch = 1 (sieh die Identität von Bézout).
• Die ganze Zahl b hat ein multiplicative Gegenteil modulo a: Dort besteht eine ganze Zahl y solch das durch  1 (mod a). Mit anderen Worten ist b eine Einheit im Ring Z/aZ von ganzen Zahlen modulo a.
• Jedes Paar von Kongruenz-Beziehungen für eine unbekannte ganze Zahl x, der Form x ≡ k (mod a) und x ≡ l (mod b), hat eine Lösung, wie festgesetzt, durch den chinesischen Rest-Lehrsatz; tatsächlich werden die Lösungen durch eine einzelne Kongruenz-Beziehung modulo ab beschrieben.

Demzufolge des dritten Punkts, wenn a und b coprime und br &equiv sind; Bakkalaureus der Naturwissenschaften (mod a), dann r ≡ s (mod a) (weil wir uns durch b "teilen können", wenn wir modulo a arbeiten). Außerdem, wenn b und b beide coprime mit a sind, dann auch ist ihr Produkt bb (modulo es ist ein Produkt von invertible Elementen, und deshalb invertible); das folgt auch aus dem ersten Punkt durch das Lemma von Euklid, das dass feststellt, wenn eine Primzahl p ein Produkt bc teilt, dann teilt p mindestens einen der Faktoren b, c.

Demzufolge des ersten Punkts, wenn a und b coprime sind, dann auch sind irgendwelche Mächte a und b.

Wenn a und b coprime und ein Teilen des Produktes bc, dann ein Teilen c sind. Das kann als eine Generalisation des Lemmas von Euklid angesehen werden.

Die zwei ganzen Zahlen a und b sind coprime, wenn, und nur wenn der Punkt mit Koordinaten (a, b) in einem Kartesianischen Koordinatensystem vom Ursprung (0,0), im Sinn "sichtbar" ist, dass es nichts mit Koordinaten der ganzen Zahl zwischen dem Ursprung und (a, b) gibt. (Sieh Abbildung 1.)

Gewissermaßen kann das genau gemacht werden, die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte ganze Zahlen coprime sind, ist 6/π (sieh Pi), der ungefähr 61 % ist. Sieh unten.

Zwei natürliche Zahlen a und b sind coprime wenn und nur wenn die Zahlen 2 − 1 und 2 − 1 sind coprime. Als eine Generalisation davon, im Anschluss an leicht vom Euklidischen Algorithmus in der Basis n> 1:

Böse Notation, Gruppe

Wenn n1 und eine ganze Zahl ist, bilden die Zahlen coprime zu n, genommener modulo n, eine Gruppe mit der Multiplikation als Operation; es wird als (Z/nZ) oder Z geschrieben.

Generalisationen

Zwei Ideale A und B im Ersatzring R werden coprime (oder comaximal) wenn + B = R genannt. Das verallgemeinert die Identität von Bézout: Mit dieser Definition sind zwei Hauptideale (a) und (b) im Ring von ganzen Zahlen Z coprime, wenn, und nur wenn a und b coprime sind.

Wenn die Ideale A und B von R coprime, dann AB = AB sind; außerdem, wenn C ein drittes solches Ideal ist, dass A v. Chr. enthält, dann enthält A C. Der chinesische Rest-Lehrsatz ist eine wichtige Behauptung über coprime Ideale.

Das Konzept, relativ erst zu sein, kann auch zu jedem begrenzten Satz von ganzen Zahlen S = {a, a....} erweitert werden, um zu bedeuten, dass der größte allgemeine Teiler der Elemente des Satzes 1 ist. Wenn jedes Paar in (begrenzt oder unendlich) der Satz von ganzen Zahlen relativ erst ist, dann wird der Satz pairwise relativ erst genannt.

Jeder pairwise relativ erste begrenzte Satz ist relativ erst; jedoch ist das gegenteilige nicht wahr: {6, 10, 15} ist relativ erst, aber nicht pairwise Verhältnisblüte (hat jedes Paar von ganzen Zahlen im Satz einen nichttrivialen gemeinsamen Faktor).

Wahrscheinlichkeiten

In Anbetracht zwei zufällig gewählter ganzer Zahlen und ist es angemessen zu fragen, wie wahrscheinlich es ist, dass und coprime sind. In diesem Entschluss ist es günstig, die Charakterisierung das zu verwenden, und ist coprime, wenn, und nur wenn keine Primzahl sie beide teilt (sieh Hauptsatz der Arithmetik).

Intuitiv ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Zahl durch eine Blüte (oder jede ganze Zahl) teilbar ist, (zum Beispiel, jede 7. ganze Zahl ist durch 7 teilbar.) Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen durch diese Blüte sowohl teilbar sind, als auch die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein von ihnen nicht sind, ist. Jetzt, für die verschiedene Blüte, sind diese Teilbarkeitsereignisse gegenseitig unabhängig. (Das würde im Allgemeinen nicht wahr sein, wenn sie nicht erst wären.) (Für den Fall von zwei Ereignissen ist eine Zahl durch p und q teilbar, wenn, und nur wenn es durch pq teilbar ist; der Letztere hat Wahrscheinlichkeit 1/pq.) So wird die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen coprime sind, durch ein Produkt über die ganze Blüte, gegeben

Hier ζ verweist dem Riemann zeta Funktion, die Identität, die das Produkt über die Blüte zu &zeta verbindet; (2) ist ein Beispiel eines Produktes von Euler und die Einschätzung ζ (2) als π/6 ist das Baseler Problem, das von Leonhard Euler 1735 behoben ist. Im Allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit von k zufällig gewählte ganze Zahlen, die coprime sind, 1/ζ (k).

Es gibt häufig Verwirrung darüber, wie eine "zufällig gewählte ganze Zahl" ist. Eine Weise, das zu verstehen, ist anzunehmen, dass die ganzen Zahlen zufällig zwischen 1 und eine ganze Zahl N gewählt werden. Dann, für jeden ober hat N gebunden, es gibt eine Wahrscheinlichkeit P, dass zwei zufällig gewählte Zahlen coprime sind. Das wird genau, aber in der Grenze als nie sein.

Das Erzeugen aller coprime Paare

Alle Paare von coprime Zahlen können in Elternteil-3 Kinder 9 Enkel... Stammbaum erzeugt werden, der von (für gleich-sonderbare oder sonderbar-gleiche Paare) oder von (für sonderbar-sonderbare Paare) mit drei Zweigen von jedem Knoten anfängt. Die Zweige werden wie folgt erzeugt:

Zweig 1: und

Zweig 2: und

Zweig 3: und

Dieser Stammbaum ist erschöpfend und ohne ungültige Mitglieder nichtüberflüssig.

Weiterführende Literatur