In der Mathematik der Begriff bezieht sich globales Feld auf jeden des folgenden:

• ein Feld der algebraischen Zahl, d. h., eine begrenzte Erweiterung von Q oder
• ein globales Funktionsfeld, d. h., das Funktionsfeld einer algebraischen Kurve über ein begrenztes Feld, gleichwertig, eine begrenzte Erweiterung von F (T), das Feld von vernünftigen Funktionen in einer Variable über das begrenzte Feld mit q Elementen.

Eine axiomatische Charakterisierung dieser Felder über die Schätzungstheorie wurde von Emil Artin und George Whaples in den 1940er Jahren gegeben.

Es gibt mehrere formelle Ähnlichkeiten zwischen den zwei Arten von Feldern. Ein Feld jedes Typs hat das Eigentum, dass alle seine Vollziehungen lokal kompakte Felder sind (sieh lokale Felder). Jedes Feld jedes Typs kann als das Feld von Bruchteilen eines Gebiets von Dedekind begriffen werden, in dem jedes Nichtnullideal des begrenzten Index ist. In jedem Fall hat man die Produktformel für Nichtnullelemente x:

Die Analogie zwischen den zwei Arten von Feldern ist eine starke Motivieren-Kraft in der Theorie der algebraischen Zahl gewesen. Die Idee von einer Analogie zwischen numerischen Feldern und Oberflächen von Riemann geht Richard Dedekind und Heinrich M. Weber im neunzehnten Jahrhundert zurück. Die strengere Analogie, die durch die 'globale' Feldidee ausgedrückt ist, in der ein Oberflächenaspekt von Riemann weil algebraische Kurve zu über ein begrenztes Feld definierten Kurven kartografisch dargestellt wird, wurde während der 1930er Jahre aufgebaut, in der Hypothese von Riemann für lokale Zeta-Funktionen kulminierend, die von André Weil 1940 gesetzt sind. Die Fachsprache kann wegen Weils sein, der seine Grundlegende Zahlentheorie (1967) teilweise geschrieben hat, um den Parallelismus auszuarbeiten.

Es ist gewöhnlich leichter, im Funktionsfeldfall zu arbeiten und dann zu versuchen, parallele Techniken auf der Seite des numerischen Feldes zu entwickeln. Die Entwicklung der Theorie von Arakelov und seiner Ausnutzung durch Gerd Faltings in seinem Beweis der Vermutung von Mordell ist ein dramatisches Beispiel.

Referenzen

• J.W.S. Cassels, "Globale Felder", in J.W.S. Cassels und A. Frohlich (edd), Theorie der Algebraischen Zahl, Akademischer Presse, 1973. Junge. II, Seiten 45-84.
• J.W.S. Cassels, "Lokale Felder", Universität von Cambridge Presse, 1986, internationale Standardbuchnummer 0-521-31525-5. P.56.