In der Rechnung ist die Kettenregel eine Formel, für die Ableitung der Zusammensetzung von zwei oder mehr Funktionen zu schätzen. D. h. wenn f eine Funktion ist und g eine Funktion ist, dann drückt die Kettenregel die Ableitung der zerlegbaren Funktion in Bezug auf die Ableitungen von f und g aus.

In der Integration ist die Kopie zur Kettenregel die Ersatz-Regel.

Geschichte

Die Kettenregel scheint, zuerst von Leibniz verwendet worden zu sein. Er hat es verwendet, um die Ableitung als die Zusammensetzung der Quadratwurzel-Funktion und der Funktion zu berechnen. Er hat es zuerst in einer Biografie mit verschiedenen Fehlern darin erwähnt. Die allgemeine Notation der Kettenregel ist wegen Leibniz. L'Hôpital verwendet die Kettenregel implizit in seinem Analyse des infiniment petits sondern auch setzt es ausführlich nicht fest. Die Kettenregel erscheint in keinem der Analyse-Bücher von Leonhard Euler, wenn auch sie mehr als hundert Jahre nach der Entdeckung von Leibniz geschrieben wurden.

Die Kettenregel in einer Dimension

: Hier zeigt die Notation die Zusammensetzung von Funktionen f und g an.

Das erste Beispiel

Nehmen Sie an, dass ein skydiver von einem Flugzeug springt. Nehmen Sie an, dass t Sekunden nach seinem Sprung, seine Höhe über dem Meeresspiegel in Metern durch g (t) = 4000 &minus gegeben wird; 4.9t. Ein Modell für den atmosphärischen Druck an einer Höhe h ist f (h) = e. Diese zwei Gleichungen können unterschieden und auf verschiedene Weisen verbunden werden, die folgenden Daten zu erzeugen:

• g′ (t) = −9.8t ist die Geschwindigkeit des skydiver in der Zeit t.
• f′ (h) = −10.1325e ist die Rate der Änderung im atmosphärischen Druck in Bezug auf die Höhe an der Höhe h und ist zur schwimmenden Kraft auf dem skydiver an h Metern über dem Meeresspiegel proportional. (Die wahre schwimmende Kraft hängt vom Volumen des skydiver ab.)
• ist der atmosphärische Druck der skydiver erfährt t Sekunden nach seinem Sprung.
• ist die Rate der Änderung im atmosphärischen Druck in Bezug auf die Zeit in t Sekunden nach dem Sprung des skydiver und ist zur schwimmenden Kraft auf dem skydiver in t Sekunden nach seinem Sprung proportional.

Die Kettenregel gibt eine Methode, um in Bezug auf zu rechnen, und. Während es immer möglich ist, die Definition der Ableitung direkt anzuwenden, um die Ableitung einer zerlegbaren Funktion zu schätzen, ist das gewöhnlich sehr schwierig. Das Dienstprogramm der Kettenregel ist, dass sie eine komplizierte Ableitung in mehrere leichte Ableitungen verwandelt.

Die Kettenregel stellt dass, unter passenden Bedingungen, fest

:

In diesem Beispiel kommt das gleich

:

In der Behauptung der Kettenregel spielen f und g ein bisschen verschiedene Rollen weil f′ wird an g (t) wohingegen g&prime bewertet; wird an t bewertet. Das ist notwendig, um die Einheitsarbeit richtig auszumachen. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass wir die Rate der Änderung im atmosphärischen Druck zehn Sekunden schätzen wollen, nachdem der skydiver springt. Das ist und hat Einheiten von Pascals pro Sekunde. Der Faktor g′ (10) in der Kettenregel ist die Geschwindigkeit des skydiver zehn Sekunden nach seinem Sprung, und es wird in Metern pro Sekunde ausgedrückt. f′ (g (10)) ist die Änderung im Druck in Bezug auf die Höhe an der Höhe g (10) und wird in Pascals pro Meter ausgedrückt. Das Produkt f′ (g (10)) und g′ (10) hat deshalb die richtigen Einheiten von Pascals pro Sekunde. Es ist nicht möglich, f irgendwo anders zu bewerten. Zum Beispiel, weil die 10 im Problem zehn Sekunden, der Ausdruck f&prime vertreten; (10) vertritt die Änderung im Druck an einer Höhe von zehn Sekunden, die Quatsch ist. Ähnlich, weil Meter pro Sekunde, der Ausdruck f′ (g′ (10)) vertritt die Änderung im Druck an einer Höhe −98 Meter pro Sekunde, der auch Quatsch ist. Jedoch, g (10) ist um 3020 Meter über dem Meeresspiegel, der Höhe des skydiver zehn Sekunden nach seinem Sprung. Das hat die richtigen Einheiten für einen Eingang zu f.

Behauptung der Regel

Die einfachste Form der Kettenregel ist für reellwertige Funktionen einer echter Variable. Es sagt dass, wenn g eine Funktion ist, die differentiable an einem Punkt c ist (d. h. die Ableitung g′ (c) besteht), und f ist eine Funktion, die differentiable an g (c) ist, dann ist die zerlegbare Funktion f  g differentiable an c, und die Ableitung ist

:

Die Regel wird manchmal als abgekürzt

:

Wenn y = f (u) und u = g (x), dann wird diese abgekürzte Form in der Notation von Leibniz als geschrieben:

:

Die Punkte, wo die Ableitungen bewertet werden, können auch ausführlich festgesetzt werden:

:

Weitere Beispiele

Die Kettenregel ohne Formeln

Es kann möglich sein, die Kettenregel anzuwenden, selbst wenn es keine Formeln für die Funktionen gibt, die unterschieden werden. Das kann geschehen, wenn die Ableitungen direkt gemessen werden. Nehmen Sie an, dass ein Auto einen hohen Berg in die Höhe treibt. Das Tachometer des Autos misst seine Geschwindigkeit direkt. Wenn der Rang bekannt ist, dann kann die Rate des Aufstiegs mit der Trigonometrie berechnet werden. Nehmen Sie an, dass das Auto an 2.5 kph steigt. Standardmodelle für die Atmosphäre der Erde deuten an, dass die Temperatur fällt, sind ungefähr 6.5 °C pro Kilometer gestiegen (sieh Versehen-Rate). Um den Temperaturfall pro Stunde zu finden, wenden wir die Kettenregel an. Lassen Sie die Funktion g (t) die Höhe des Autos in der Zeit t sein, und die Funktion f (h) die Temperatur h Kilometer über dem Meeresspiegel sein zu lassen. f und g sind genau nicht bekannt: Zum Beispiel ist die Höhe, wo das Auto anfängt, nicht bekannt, und die Temperatur auf dem Berg ist nicht bekannt. Jedoch sind ihre Ableitungen bekannt: f′ ist −6.5 °C/km, und g′ ist 2.5 kph. Die Kettenregel sagt, dass die Ableitung der zerlegbaren Funktion das Produkt der Ableitung von f und der Ableitung von g ist. Das ist −6.5 °C/km · 2.5 kph = −16.25 °C/h.

Einer der Gründe, warum diese Berechnung möglich ist, ist weil f′ ist eine unveränderliche Funktion. Das ist, weil das obengenannte Modell sehr einfach ist. Eine genauere Beschreibung dessen, wie sich die Temperatur in der Nähe vom Auto mit der Zeit ändert, würde ein genaues Modell dessen verlangen, wie sich die Temperatur an verschiedenen Höhen ändert. Dieses Modell kann keine unveränderliche Ableitung haben. Um die Temperaturänderung in solch einem Modell zu schätzen, würde es notwendig sein, g und nicht nur g&prime zu wissen; weil, ohne g zu wissen, es nicht möglich ist zu wissen, wo man f′. bewertet

Zusammensetzungen von mehr als zwei Funktionen

Die Kettenregel kann auf Zusammensetzungen von mehr als zwei Funktionen angewandt werden. Um die Ableitung einer Zusammensetzung von mehr als zwei Funktionen zu nehmen, bemerken Sie, dass die Zusammensetzung von f, g, und h (in dieser Ordnung) die Zusammensetzung von f damit sind. Die Kettenregel sagt, dass, um die Ableitung zu schätzen, es genügend ist, die Ableitung von f und die Ableitung dessen zu schätzen. Die Ableitung von f kann direkt berechnet werden, und die Ableitung dessen kann durch die Verwendung der Kettenregel wieder berechnet werden.

Für die Greifbarkeit, denken Sie die Funktion

:

Das kann als die Zusammensetzung von drei Funktionen zersetzt werden:

:

y &= f (u) = e^u, \\

u &= g (v) = \sin v, \\

v &= h (x) = x^2.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Ihre Ableitungen sind:

:

\frac {dy} {du} &= f' (u) = e^u, \\

\frac {du} {dv} &= g' (v) = \cos v, \\

\frac {dv} {dx} &= h' (x) = 2x.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Kettenregel sagt dass die Ableitung ihrer Zusammensetzung am Punkt x = zu sein:

:

In der Notation von Leibniz ist das:

:

oder für den kurzen,

:

Die abgeleitete Funktion ist deshalb:

:

Eine andere Weise, diese Ableitung zu schätzen, soll die zerlegbare Funktion als die Zusammensetzung und h ansehen. Die Verwendung der Kettenregel zu dieser Situation gibt:

:

Das ist dasselbe als, was oben geschätzt wurde. Das sollte weil erwartet werden.

Die Quotientenregel

Die Kettenregel kann verwendet werden, um einige wohl bekannte Unterscheidungsregeln abzuleiten. Zum Beispiel ist die Quotientenregel eine Folge der Kettenregel und der Produktregel. Um das zu sehen, schreiben Sie die Funktion f (x)/g (x) als das Produkt. Wenden Sie zuerst die Produktregel an:

:

\frac {d} {dx }\\ist (\frac {f (x)} {g (x) }\\Recht) abgereist

&= \frac {d} {dx }\\verlassen (f (x) \cdot\frac {1} {g (x) }\\Recht) \\

&= f' (x) \cdot\frac {1} {g (x)} + f (x) ist \cdot\frac {d} {dx }\\(\frac {1} {g (x) }\\Recht) abgereist.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Um die Ableitung von 1/g (x) zu schätzen, bemerken Sie, dass es die Zusammensetzung von g mit der gegenseitigen Funktion, d. h. die Funktion ist, die x an 1/x sendet. Die Ableitung der gegenseitigen Funktion ist &minus;1/x. Durch die Verwendung der Kettenregel wird der letzte Ausdruck:

:

\frac {f' (x) g (x) - f (x) g' (x)} {g (x) ^2}, </Mathematik>

der die übliche Formel für die Quotientenregel ist.

Ableitungen von umgekehrten Funktionen

Nehmen Sie an, dass y = g (x) eine umgekehrte Funktion hat. Nennen Sie seine umgekehrte Funktion f, so dass wir x = f (y) haben. Es gibt eine Formel für die Ableitung von f in Bezug auf die Ableitung von g. Um das zu sehen, bemerken Sie, dass f und g die Formel befriedigen

:

Weil die Funktionen f (g (x)) und x gleich sind, müssen ihre Ableitungen gleich sein. Die Ableitung von x ist die unveränderliche Funktion mit dem Wert 1, und die Ableitung von f (g (x)) wird durch die Kettenregel bestimmt. Deshalb haben wir:

:

f&prime auszudrücken; als eine Funktion einer unabhängigen Variable y setzen wir f (y) für x ein, wo auch immer es erscheint. Dann können wir für f&prime;. lösen

:

f' (g (f (y))) g' (f (y)) &= 1 \\

f' (y) g' (f (y)) &= 1 \\

f' (y) = \frac {1} {g' (f (y))}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Denken Sie zum Beispiel die Funktion g (x) = e. Es hat ein Gegenteil, das f (y) = ln y angezeigt wird. Weil g&prime; (x) = e sagt die obengenannte Formel das

:

Diese Formel ist wahr, wann auch immer g differentiable ist und sein Gegenteil f auch differentiable ist. Diese Formel kann scheitern, wenn eine dieser Bedingungen nicht wahr ist. Denken Sie zum Beispiel g (x) = x. Sein Gegenteil ist f (y) = y, der nicht differentiable an der Null ist. Wenn wir versuchen, die obengenannte Formel zu verwenden, um die Ableitung von f an der Null zu schätzen, dann müssen wir 1/g&prime bewerten; (f (0)). f (0) = 0 und g&prime; (0) = 0, so müssen wir 1/0 bewerten, der unbestimmt ist. Deshalb scheitert die Formel in diesem Fall. Das ist nicht überraschend, weil f nicht differentiable an der Null ist.

Höhere Ableitungen

Die Formel von Faà di Bruno verallgemeinert die Kettenregel zu höheren Ableitungen. Die ersten paar Ableitungen sind

::

\frac {d^2 (f \circ g)} {d x^2 }\

= \frac {d^2 f} {d g^2 }\\ist (\frac {dg} {dx }\\Recht) ^2 abgereist

+ \frac {df} {dg }\\frac {d^2 g} {dx^2 }\

</Mathematik>:

\frac {d^3 (f \circ g)} {d x^3 }\

= \frac {d^3 f} {d g^3} \left (\frac {dg} {dx }\\Recht) ^3

+ 3 \frac {d^2 f} {d g^2} \frac {dg} {dx} \frac {d^2 g} {d x^2 }\

+ \frac {df} {dg} \frac {d^3 g} {d x^3 }\

</Mathematik>:

\frac {d^4 (f \circ g)} {d x^4 }\

= \frac {d^4 f} {Dg^4} \left (\frac {dg} {dx }\\Recht) ^4

+ 6 \frac {d^3 f} {d g^3} \left (\frac {dg} {dx }\\Recht) ^2 \frac {d^2 g} {d x^2 }\

+ \frac {d^2 f} {d g^2} \left\{4 \frac {dg} {dx} \frac {d^3 g} {dx^3} + 3\left (\frac {d^2 g} {dx^2 }\\Recht) ^2\right\}\

+ \frac {df} {dg }\\frac {d^4 g} {dx^4}.

</Mathematik>

Beweise der Kettenregel

Der erste Beweis

Ein Beweis der Kettenregel beginnt mit der Definition der Ableitung:

:

Nehmen Sie im Augenblick an, dass g (x) g (a) für keinen x nahe a gleichkommt. Dann ist der vorherige Ausdruck dem Produkt von zwei Faktoren gleich:

:

Wenn g nahe a schwingt, dann könnte es geschehen, dass, egal wie nahe man zu a kommt, es immer einen noch näheren solchen x gibt, dass g (x) g (a) gleichkommt. Zum Beispiel das für die Nähe der Punkt zufällig. Wann auch immer das geschieht, ist der obengenannte Ausdruck unbestimmt, weil er Abteilung durch die Null einschließt. Um darum zu arbeiten, führen Sie eine Funktion Q wie folgt ein:

:

\frac {f (y) - f (g (a))} {y - g (a)}, & y \neq g (a), \\

f' (g (a)), & y = g (a).

\end {Fälle} </Mathematik>

Wir werden zeigen, dass der Unterschied-Quotient dafür immer gleich ist:

:

Wann auch immer g (x) g (a) nicht gleich ist, ist das klar, weil die Faktoren dessen annullieren. Wenn g (x) g (a) gleichkommt, dann ist der Unterschied-Quotient dafür Null, weil f (g (x)) f (g (a)) gleichkommt, und das obengenannte Produkt Null ist, weil es f&prime gleich ist; (g (a)) Zeitnull. So ist das obengenannte Produkt immer dem Unterschied-Quotienten gleich, und zu zeigen, dass die Ableitung bei einem Bestehen und seinen Wert zu bestimmen, wir nur zeigen müssen, dass die Grenze als x zu des obengenannten Produktes geht, besteht, und bestimmen Sie seinen Wert.

Um das zu tun, rufen Sie zurück, dass die Grenze eines Produktes besteht, wenn die Grenzen seiner Faktoren bestehen. Wenn das geschieht, wird die Grenze des Produktes dieser zwei Faktoren dem Produkt der Grenzen der Faktoren gleichkommen. Die zwei Faktoren sind Q (g (x)) und. Der Letztere ist der Unterschied-Quotient für g an a, und weil g differentiable an durch die Annahme, seine Grenze ist, weil x zu einem Bestehen neigt und g&prime gleich ist; (a).

Es muss, Q (g (x)) zu studieren. Q wird definiert, wo auch immer f ist. Außerdem, weil f differentiable an g (a) durch die Annahme ist, ist Q an g (a) dauernd. g ist an dauernd, weil es differentiable an a ist, und deshalb an a dauernd ist. So seine Grenze weil geht x zu einem Bestehen und kommt Q gleich (g (a)), der f&prime ist; (g (a)).

Das zeigt, dass die Grenzen von beiden Faktoren bestehen, und dass sie f&prime gleich sind; (g (a)) und g&prime; (a), beziehungsweise. Deshalb ist die Ableitung bei einem Bestehen und f&prime gleich; (g (a)) g&prime; (a).

Der zweite Beweis

Eine andere Weise, die Kettenregel zu beweisen, ist, den Fehler in der geradlinigen durch die Ableitung bestimmten Annäherung zu messen. Dieser Beweis hat den Vorteil, den er zu mehreren Variablen verallgemeinert. Es verlässt sich auf die folgende gleichwertige Definition von differentiability an einem Punkt: Eine Funktion g ist differentiable an, wenn dort eine reelle Zahl g&prime besteht; (a) und eine Funktion ε (h), der zur Null neigt, weil neigt h zur Null, und außerdem

:

Hier vertritt die linke Seite den wahren Unterschied zwischen dem Wert von g an a und daran, wohingegen die Rechte die Annäherung vertritt, die durch die Ableitung plus ein Fehlerbegriff bestimmt ist.

In der Situation der Kettenregel besteht solch eine Funktion ε, weil, wie man annimmt, g differentiable an a ist. Wieder durch die Annahme besteht eine ähnliche Funktion auch für f an g (a). Diese Funktion η nennend, haben wir

:

Die obengenannte Definition erlegt keine Einschränkungen auf η (0) auf, wenn auch es angenommen wird, dass η (k) zur Null neigt, wie k zur Null neigt. Wenn wir untergehen, dann ist η an 0 dauernd.

Beweis des Lehrsatzes verlangt das Studieren des Unterschieds, weil h zur Null neigt. Der erste Schritt ist auszuwechseln, die Definition von differentiability von g an a zu verwenden:

:

Der nächste Schritt soll die Definition von differentiability von f an g (a) verwenden. Das verlangt einen Begriff der Form für einen k. In der obengenannten Gleichung ändert sich der richtige k mit h. Satz und die rechte Seite werden. Die Verwendung der Definition der Ableitung gibt:

:

Um das Verhalten dieses Ausdrucks als zu studieren, neigt h zur Null, breiten Sie k aus. Nach der Umgruppierung der Begriffe wird die Rechte:

:

Weil und zur Null neigen, wie h zur Null neigt, neigen die eingeklammerten Begriffe zur Null, wie h zur Null neigt. Weil der obengenannte Ausdruck dem Unterschied gleich ist, durch die Definition der Ableitung ist differentiable an a, und seine Ableitung ist f&prime; (g (a)) g&prime; (a).

Die Rolle von Q im ersten Beweis wird durch η in diesem Beweis gespielt. Sie sind durch die Gleichung verbunden:

:

Das Bedürfnis, Q an g (a) zu definieren, ist dem Bedürfnis analog, η an der Null zu definieren. Jedoch sind die Beweise nicht genau gleichwertig. Der erste Beweis verlässt sich auf einen Lehrsatz über Produkte von Grenzen, um zu zeigen, dass die Ableitung besteht. Der zweite Beweis braucht das nicht, weil die Vertretung, dass der Fehlerbegriff verschwindet, die Existenz der Grenze direkt beweist.

Die Kettenregel in höheren Dimensionen

Die einfachste Generalisation der Kettenregel zu höheren Dimensionen verwendet die Gesamtableitung. Die Gesamtableitung ist eine geradlinige Transformation, die gewinnt, wie sich die Funktion in allen Richtungen ändert. Lassen Sie und seien Sie Differentiable-Funktionen, und lassen Sie D der abgeleitete Gesamtmaschinenbediener sein. Wenn eines Punkts in R zu sein, dann sagt die höhere dimensionale Kettenregel dass:

:oder für den kurzen,:

In Bezug auf Jacobian matrices sagt die Regel

:

D. h. Jacobian der zerlegbaren Funktion ist das Produkt von Jacobians der gelassenen Funktionen. Die hoch-dimensionale Kettenregel kann verwendend einer Technik bewiesen werden, die dem zweiten Beweis ähnlich ist, der oben gegeben ist.

Die hoch-dimensionale Kettenregel ist eine Generalisation der eindimensionalen Kettenregel. Wenn k, M und n 1 sind, so dass und, dann sind Jacobian matrices von f und g. Spezifisch sind sie:

:

J_a (g) &= \begin {pmatrix} g' (a) \end {pmatrix}, \\

J_ {g (a)} (f) &= \begin {pmatrix} f' (g (a)) \end {pmatrix}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der Jacobian von f  g ist das Produkt dieser matrices, so ist es, wie erwartet, aus der eindimensionalen Kettenregel. Auf der Sprache von geradlinigen Transformationen D ist (g) die Funktion, die einen Vektoren durch einen Faktor g&prime erklettert; (a) und D ist (f) die Funktion, die einen Vektoren durch einen Faktor f&prime erklettert; (g (a)). Die Kettenregel sagt, dass die Zusammensetzung dieser zwei geradlinigen Transformationen die geradlinige Transformation ist, und deshalb es die Funktion ist, die einen Vektoren durch f&prime erklettert; (g (a)) g&prime; (a).

Eine andere Weise, die Kettenregel zu schreiben, wird verwendet, wenn f und g in Bezug auf ihre Bestandteile als y = f (u) = (f (u)..., f (u)) und u = g (x) = (g (x)..., g (x)) ausgedrückt werden. In diesem Fall wird die obengenannte Regel für Jacobian matrices gewöhnlich als geschrieben:

:

Die Kettenregel für Gesamtableitungen bezieht eine Kettenregel für partielle Ableitungen ein. Rufen Sie zurück, dass, wenn die Gesamtableitung besteht, die partielle Ableitung in der Ith-Koordinatenrichtung durch das Multiplizieren der Matrix von Jacobian durch den ith Basisvektoren gefunden wird. Auf diese Weise zur Formel oben finden wir:

:

Da die Einträge der Matrix von Jacobian partielle Ableitungen sind, können wir die obengenannte Formel vereinfachen, um zu kommen:

:

Mehr begrifflich drückt diese Regel die Tatsache aus, dass eine Änderung in der x Richtung alle g durch g ändern kann, und einige dieser Änderungen f betreffen kann.

Im speziellen Fall, wo k = 1, so dass f eine reellwertige Funktion, dann diese Formel ist, noch weiter vereinfacht:

:

Beispiel

Gegeben wo und, bestimmen Sie den Wert und das Verwenden der Kettenregel.

:und::

Höhere Ableitungen von mehrvariablen Funktionen

Die Formel von Faà di Bruno für höherwertige Ableitungen von einzeln-variablen Funktionen verallgemeinert zum mehrvariablen Fall. Wenn f eine Funktion als oben ist, dann ist die zweite Ableitung dessen:

:

Weitere Generalisationen

Alle Erweiterungen der Rechnung haben eine Kettenregel. In den meisten von diesen bleibt die Formel dasselbe, obwohl die Bedeutung dieser Formel gewaltig verschieden sein kann.

Eine Generalisation ist zu Sammelleitungen. In dieser Situation vertritt die Kettenregel die Tatsache, dass die Ableitung dessen die Zusammensetzung der Ableitung von f und der Ableitung von g ist. Dieser Lehrsatz ist eine unmittelbare Folge der höheren dimensionalen Kettenregel, die oben gegeben ist, und es hat genau dieselbe Formel.

Die Kettenregel ist auch für Ableitungen von Fréchet in Banachräumen gültig. Dieselbe Formel hält wie zuvor. Dieser Fall und der vorherige lassen eine gleichzeitige Generalisation zu Sammelleitungen von Banach zu.

In der abstrakten Algebra wird die Ableitung als ein morphism von Modulen von Differenzialen von Kähler interpretiert. Ein Ringhomomorphismus von Ersatzringen bestimmt einen morphism von Differenzialen von Kähler, der einem Element Dr an d (f (r)), das Außendifferenzial von f (r) sendet. Die Formel D (f  g) = Df  Dg hält in diesem Zusammenhang ebenso.

Das gemeinsame Merkmal dieser Beispiele ist, dass sie Ausdrücke der Idee sind, dass die Ableitung ein Teil eines functor ist. Ein functor ist eine Operation auf Räumen und Funktionen zwischen ihnen. Es vereinigt zu jedem Raum einen neuen Raum und zu jeder Funktion zwischen zwei Räumen eine neue Funktion zwischen den entsprechenden neuen Räumen. In jedem der obengenannten Fälle sendet der functor jeden Raum an sein Tangente-Bündel, und es sendet jede Funktion an seine Ableitung. Es gibt eine Voraussetzung für solch eine Operation, um ein functor nämlich zu sein, dass die Ableitung einer Zusammensetzung die Zusammensetzung der Ableitungen ist. Das ist genau die Formel D (f  g) = Df  g+Dg  f.

Es gibt auch Kettenregeln in der stochastischen Rechnung. Einer von diesen, Itō's Lemma, drückt die Zusammensetzung eines Itō-Prozesses (oder mehr allgemein ein Halbmartingal) dX mit zweimal-differentiable Funktion f aus. Im Itō's Lemma hängt die Ableitung der zerlegbaren Funktion nicht nur von dX und der Ableitung von f sondern auch auf der zweiten Ableitung von f ab. Die Abhängigkeit von der zweiten Ableitung ist eine Folge der quadratischen Nichtnullschwankung des stochastischen Prozesses, der ganz allgemein gesprochen bedeutet, dass sich der Prozess oben und unten auf eine sehr raue Weise bewegen kann. Diese Variante der Kettenregel ist nicht ein Beispiel eines functor, weil die zwei Funktionen, die zusammensetzen werden, verschiedener Typen sind.

Siehe auch

• Integration durch den Ersatz
• Quotientenregel
• Dreifache Produktregel
• Leibniz integrierte Regel

Links

• Khan-Akademie-Lehre 1 Lehre 3

http://calculusapplets.com/chainrule.html

• Die Kettenregel hat erklärt