wessen Säulen die Kräfte sind, die, und Gesichter des Würfels folgen.]]

Tensor ist geometrische Gegenstände, die geradlinige Beziehungen zwischen Vektoren, Skalaren und anderem Tensor beschreiben. Elementare Beispiele solcher Beziehungen schließen das Punktprodukt, das Kreuzprodukt und die geradlinigen Karten ein. Vektoren und Skalare selbst sind auch Tensor. Ein Tensor kann als eine mehrdimensionale Reihe von numerischen Werten vertreten werden. Die Ordnung (auch Grad oder Reihe) eines Tensor ist der dimensionality der Reihe musste es, oder gleichwertig vertreten, die Zahl von Indizes musste einen Bestandteil dieser Reihe etikettieren. Zum Beispiel kann eine geradlinige Karte durch eine Matrix, eine 2-dimensionale Reihe vertreten werden, und ist deshalb ein Tensor der 2. Ordnung. Ein Vektor kann als eine 1-dimensionale Reihe vertreten werden und ist ein Tensor der 1. Ordnung. Skalare sind einzelne Zahlen und sind so Zeroth-Ordnungstensor.

Tensor wird verwendet, um Ähnlichkeiten zwischen Sätzen von geometrischen Vektoren zu vertreten. Zum Beispiel nimmt der Spannungstensor T eine Richtung v, wie eingegeben, und erzeugt die Betonung T auf der Oberfläche, die zu diesem Vektoren als Produktion normal ist, und drückt so eine Beziehung zwischen diesen zwei Vektoren aus. Weil sie eine Beziehung zwischen Vektoren ausdrücken, muss Tensor selbst einer besonderen Wahl des Koordinatensystems unabhängig sein. Die Einnahme einer Koordinatenbasis oder Bezugssystems und die Verwendung des Tensor dazu laufen auf eine organisierte mehrdimensionale Reihe hinaus, die den Tensor in dieser Basis vertritt, oder weil es von diesem Bezugssystem schaut. Die Koordinatenunabhängigkeit eines Tensor nimmt dann die Form eines "kovarianten" Transformationsgesetzes an, das die Reihe verbindet, die in einem Koordinatensystem dazu geschätzt ist, das in einem anderem geschätzt ist. Wie man betrachtet, wird dieses Transformationsgesetz in zum Begriff eines Tensor in einer geometrischen oder physischen Einstellung gebaut, und die genaue Form des Transformationsgesetzes bestimmt den Typ (oder Wertigkeit) vom Tensor.

Tensor ist in der Physik wichtig, weil sie ein kurzes mathematisches Fachwerk zur Verfügung stellen, um Physik-Probleme in Gebieten wie Elastizität, flüssige Mechanik und allgemeine Relativität zu formulieren und zu beheben. Tensor wurde zuerst von Tullio Levi-Civita und Gregorio Ricci-Curbastro konzipiert, der die frühere Arbeit von Bernhard Riemann und Elwin Bruno Christoffel und anderen als ein Teil der absoluten Differenzialrechnung fortgesetzt hat. Das Konzept hat eine alternative Formulierung der inneren Differenzialgeometrie einer Sammelleitung in der Form des Krümmungstensor von Riemann ermöglicht.

Geschichte

Die Konzepte der späteren Tensor-Analyse sind aus der Arbeit von Carl Friedrich Gauss in der Differenzialgeometrie entstanden, und die Formulierung war viel unter Einfluss der Theorie von algebraischen Formen und in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts entwickeltem invariants. Das Wort "Tensor" selbst wurde 1846 von William Rowan Hamilton eingeführt, um etwas anderes davon zu beschreiben, was jetzt durch einen Tensor gemeint wird. Der zeitgenössische Gebrauch wurde in von Woldemar Voigt 1898 gebracht.

Tensor-Rechnung wurde 1890 von Gregorio Ricci-Curbastro laut des Titels absolute Differenzialrechnung entwickelt, und ursprünglich von Ricci 1892 präsentiert. Es wurde zugänglich für viele Mathematiker durch die Veröffentlichung von Ricci und den 1900-Text des Klassikers von Tullio Levi-Civita Anwendungen von Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs (Methoden der absoluten Differenzialrechnung und ihrer Anwendungen) gemacht.

Im 20. Jahrhundert ist das Thema gekommen, um als Tensor-Analyse bekannt zu sein, und hat breitere Annahme mit der Einführung der Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität 1915 erreicht. Allgemeine Relativität wird völlig auf der Sprache des Tensor formuliert. Einstein hatte über sie mit der großen Schwierigkeit vom geometer Marcel Grossmann erfahren. Levi-Civita hat dann eine Ähnlichkeit mit Einstein begonnen, um zu korrigieren, irrt sich Einstein hatte in seinem Gebrauch der Tensor-Analyse gemacht. Die Ähnlichkeit hat 1915-17 gedauert, und wurde durch die gegenseitige Rücksicht mit Einstein charakterisiert, der einmal schreibt:

Wie man

auch fand, war Tensor in anderen Feldern wie Kontinuum-Mechanik nützlich. Einige wohl bekannte Beispiele des Tensor in der Differenzialgeometrie sind quadratische Formen wie metrischer Tensor und der Krümmungstensor von Riemann. Die Außenalgebra von Hermann Grassmann, von der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts, ist selbst eine Tensor-Theorie, und hoch geometrisch, aber es war eine Zeit, bevor es mit der Theorie von Differenzialformen, wie natürlich vereinigt, mit der Tensor-Rechnung gesehen wurde. Die Arbeit von Élie Cartan hat Differenzialform-eine der grundlegenden Arten des in der Mathematik verwendeten Tensor gemacht.

Von ungefähr den 1920er Jahren vorwärts wurde es begriffen, dass Tensor eine grundlegende Rolle in der algebraischen Topologie (zum Beispiel im Lehrsatz von Künneth) spielt. Entsprechend gibt es Typen des Tensor bei der Arbeit in vielen Zweigen der abstrakten Algebra, besonders in der homological Algebra und Darstellungstheorie. Mehrgeradlinige Algebra kann in der größeren Allgemeinheit entwickelt werden als für Skalare, die aus einem Feld kommen, aber die Theorie ist dann sicher, und Berechnung technischer und weniger algorithmisch weniger geometrisch. Tensor wird innerhalb der Kategorie-Theorie mittels des Konzepts der monoidal Kategorie von den 1960er Jahren verallgemeinert.

Definition

Es gibt mehrere Annäherungen an das Definieren des Tensor. Obwohl anscheinend verschieden, beschreiben die Annäherungen gerade dasselbe geometrische Konzept mit verschiedenen Sprachen und an verschiedenen Niveaus der Abstraktion.

Als mehrdimensionale Reihe

Da ein Skalar durch eine einzelne Zahl beschrieben wird, und ein Vektor in Bezug auf eine gegebene Basis durch eine Reihe beschrieben wird, wird jeder Tensor in Bezug auf eine Basis durch eine mehrdimensionale Reihe beschrieben. Die Zahlen in der Reihe sind als die Skalarbestandteile des Tensor oder einfach seine Bestandteile bekannt. Sie werden durch Indizes angezeigt, die ihre Position in der Reihe, in der Subschrift und dem Exponenten nach dem symbolischen Namen des Tensor geben. Die Gesamtzahl von Indizes, die erforderlich sind, jeden Bestandteil einzigartig anzugeben, ist der Dimension der Reihe gleich, und wird die Ordnung oder die Reihe des Tensor genannt. Zum Beispiel würden die Einträge eines Tensor des Auftrags 2 T T angezeigt, wo ich und j Indizes sind, die von 1 bis die Dimension des zusammenhängenden Vektorraums laufen.

Gerade wie die Bestandteile einer Vektor-Änderung, wenn wir die Basis des Vektorraums ändern, ändern sich die Einträge eines Tensor auch unter solch einer Transformation. Jeder Tensor kommt ausgestattet mit einem Transformationsgesetz, dass Details, wie die Bestandteile des Tensor auf eine Änderung der Basis antworten. Die Bestandteile eines Vektoren können auf zwei verschiedene Weisen zu einer Änderung der Basis antworten (sieh Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren),

:

wo R eine Matrix ist und im zweiten Ausdruck das Summierungszeichen unterdrückt wurde (eine notational Bequemlichkeit, die von Einstein eingeführt ist, der überall in diesem Artikel verwendet wird). Die Bestandteile, v, eines Stammkunden (oder Säule) Vektor, v, verwandeln sich mit dem Gegenteil der Matrix R,

:

wo der Hut die Bestandteile in der neuen Basis anzeigt. Während sich die Bestandteile, w, eines covector oder (Zeilenvektoren), w mit der Matrix R selbst, verwandeln

:

Die Bestandteile eines Tensor verwandeln sich auf eine ähnliche Weise mit einer Transformationsmatrix für jeden Index. Wenn sich ein Index wie ein Vektor mit dem Gegenteil der Basistransformation verwandelt, wird es Kontravariante genannt und wird mit einem oberen Index traditionell angezeigt, während ein Index, der sich mit der Basistransformation selbst verwandelt, kovariant genannt wird und mit einem niedrigeren Index angezeigt wird. Das Transformationsgesetz für eine Reihe M Tensor mit n kontravarianten Indizes und m−n kovariante Indizes wird so als, gegeben

:Wie man

sagt, ist solch ein Tensor von der Ordnung oder dem Typ.

Diese Diskussion motiviert die folgende formelle Definition:

Die Definition eines Tensor als eine mehrdimensionale Reihe, die ein Transformationsgesetz befriedigt, verfolgt zurück zur Arbeit von Ricci. Heutzutage wird diese Definition noch in der Physik und den Techniktextbüchern verwendet.

Tensor-Felder

In vielen Anwendungen, besonders in der Differenzialgeometrie und Physik, ist es natürlich zu denken, dass die Bestandteile eines Tensor Funktionen sind. Das, war tatsächlich, die Einstellung der ursprünglichen Arbeit von Ricci. In der modernen mathematischen Fachsprache wird solch ein Gegenstand ein Tensor-Feld genannt, aber sie werden häufig einfach Tensor selbst genannt.

In diesem Zusammenhang nimmt das Definieren-Transformationsgesetz eine verschiedene Form an. Die "Basis" für das Tensor-Feld wird durch die Koordinaten des zu Grunde liegenden Raums bestimmt, und das Definieren-Transformationsgesetz wird in Bezug auf partielle Ableitungen der Koordinatenfunktionen ausgedrückt, eine Koordinatentransformation, definierend

:

\frac {\\teilweiser \bar {x} ^ {i_1}} {\\teilweiser X^ {j_1} }\

\cdots

\frac {\\teilweiser \bar {x} ^ {i_n}} {\\teilweiser X^ {j_n} }\

\frac {\\teilweiser x^ {j_ {n+1}}} {\\teilweiser \bar {x} ^ {i_ {n+1}} }\

\cdots

\frac {\\teilweiser X^ {j_m}} {\\teilweiser \bar {x} ^ {i_m} }\

T^ {j_1\dots j_n} _ {j_ {n+1 }\\punktiert j_m} (x_1, \ldots, x_k).

</Mathematik>

Als mehrgeradlinige Karten

Eine Kehrseite zur Definition eines Tensor mit der mehrdimensionalen Reihe-Annäherung ist, dass es aus der Definition nicht offenbar ist, dass der definierte Gegenstand tatsächlich unabhängige Basis ist, wie von einem wirklich geometrischen Gegenstand erwartet wird. Obwohl es möglich ist zu zeigen, dass Transformationsgesetze tatsächlich Unabhängigkeit von der Basis sichern, manchmal wird eine mehr innere Definition bevorzugt. Eine Annäherung soll einen Tensor als eine mehrgeradlinige Karte definieren. In dieser Annäherung ein Typ (n m) wird Tensor T als eine Karte, definiert

:

\\& \text {n Kopien} & &\\Text {M Kopien} & & \end {Matrix} </Mathematik>

wo V ein Vektorraum ist und V* der entsprechende Doppelraum von covectors ist, der in jedem seiner Argumente geradlinig ist.

Durch die Verwendung einer mehrgeradlinigen Karte T des Typs (n, m) zu einer Basis {e} für V und ein kanonischer cobasis {ε} für V *,

:

eine n+m dimensionale Reihe von Bestandteilen kann erhalten werden. Eine verschiedene Wahl der Basis wird verschiedene Bestandteile nachgeben. Aber weil T in allen seinen Argumenten geradlinig ist, befriedigen die Bestandteile das in der mehrgeradlinigen Reihe-Definition verwendete Tensor-Transformationsgesetz. Die mehrdimensionale Reihe von Bestandteilen von T bildet so einen Tensor gemäß dieser Definition. Außerdem kann solch eine Reihe als die Bestandteile von einer mehrgeradlinigen Karte T begriffen werden. Das motiviert ansehende mehrgeradlinige Karten als die inneren Gegenstände, die Tensor unterliegen.

Diese Annäherung, Tensor als mehrgeradlinige Karten definierend, wird in modernen Differenzialgeometrie-Lehrbüchern und mathematischer aufgelegten Physik-Lehrbüchern verwendet.

Das Verwenden von Tensor-Produkten

Für einige mathematische Anwendungen ist eine abstraktere Annäherung manchmal nützlich. Das kann durch das Definieren des Tensor in Bezug auf Elemente von Tensor-Produkten von Vektorräumen erreicht werden, die der Reihe nach durch ein universales Eigentum definiert werden. Ein Typ (n, m) Tensor wird in diesem Zusammenhang als ein Element des Tensor-Produktes von Vektorräumen, definiert

:

\\& \text {n Kopien} & &\\Text {M Kopien} \end {Matrix} </Mathematik>

Wenn v eine Basis V ist und w eine Basis von W ist, dann hat das Tensor-Produkt eine natürliche Basis. Die Bestandteile eines Tensor T sind die Koeffizienten des Tensor in Bezug auf die Basis, die bei einer Basis {e} für V und sein Doppel-{ε} erhalten ist, d. h.

:

Mit den Eigenschaften des Tensor-Produktes kann es gezeigt werden, dass diese Bestandteile das Transformationsgesetz für einen Typ (M, n) Tensor befriedigen. Außerdem gibt das universale Eigentum des Tensor-Produktes 1 zu 1 Ähnlichkeit zwischen Tensor definiert auf diese Weise und als mehrgeradlinige Karten definiertem Tensor.

Beispiele

Dieser Tisch zeigt wichtige Beispiele des Tensor, einschließlich beides Tensor auf Vektorräumen und Tensor-Felder auf Sammelleitungen. Der Tensor wird gemäß ihrem Typ (n, m) klassifiziert. Zum Beispiel ist eine bilineare Form dasselbe Ding wie (0, 2) - Tensor; ein Skalarprodukt ist ein Beispiel (0, 2) - Tensor, aber nicht alle (0, 2) - Tensor ist Skalarprodukte. In (0 N) - zeigt der Zugang des Tisches, N die Dimension des zu Grunde liegenden Vektorraums oder der Sammelleitung an.

Einen Index auf (n m) erhebend - erzeugt Tensor (n + 1, M  1) - Tensor; das kann als steigend diagonal und nach rechts auf dem Tisch vergegenwärtigt werden. Symmetrisch kann das Senken eines Index als bewegend diagonal unten und nach links auf dem Tisch vergegenwärtigt werden. Sich (n m) zusammenziehend - erzeugt Tensor (n  1, M  1) - Tensor; das kann als steigend diagonal und nach links auf dem Tisch vergegenwärtigt werden.

Notation

Summierungstagung von Einstein

Summierung von Einstein ist eine Tagung, um Tensor zu schreiben, der auf das Schreiben von Summierungszeichen verzichtet, die Summierung implizit verlassend. Jedes wiederholte Index-Symbol wird summiert: Wenn der Index ich werde zweimal in einem gegebenen Begriff eines Tensor-Ausdrucks verwendet, es bedeutet, dass der Begriff für alles ich summiert werden soll. Mehrere verschiedene Paare von Indizes können dieser Weg summiert werden.

Abstrakte Index-Notation

Die abstrakte Index-Notation ist eine Weise, solchen Tensor zu schreiben, dass von den Indizes als numerisch nicht mehr gedacht wird, aber eher indeterminates ist. Die abstrakte Index-Notation gewinnt das Ausdrucksvolle von Indizes und die Basisunabhängigkeit der Notation ohne Indizes.

Operationen

Es gibt mehrere grundlegende Operationen, die auf dem Tensor geführt werden können, der wieder einen Tensor erzeugt. Die geradlinige Natur des Tensor deutet an, dass zwei Tensor desselben Typs zusammen hinzugefügt werden kann, und dass Tensor mit einem Skalar mit dem Schuppen eines Vektoren analogen Ergebnissen multipliziert werden kann. Auf Bestandteilen werden diese Operationen einfach Bestandteil für den Bestandteil durchgeführt. Diese Operationen ändern den Typ des Tensor nicht, jedoch dort bestehen auch Operationen, die den Typ des Tensor ändern.

Tensor-Produkt

Das Tensor-Produkt nimmt zwei Tensor, S und T, und erzeugt einen neuen Tensor, S  T, dessen Ordnung die Summe der Ordnungen des ursprünglichen Tensor ist. Wenn beschrieben, als mehrgeradlinige Karten multipliziert das Tensor-Produkt einfach den zwei Tensor, d. h.

:

der wieder eine Karte erzeugt, die in allen seinen Argumenten geradlinig ist. Auf Bestandteilen ist die Wirkung ähnlich, die Bestandteile des zwei Eingangstensor zu multiplizieren, d. h.

:

S^ {i_1\ldots i_l} _ {j_1\ldots j_k} T^ {i_ {l+1 }\\ldots i_ {l+m}} _ {j_ {k+1 }\\ldots j_ {k+n}}, </Mathematik>

Wenn S vom Typ ist (k, l) und T vom Typ ist (n, m), dann hat das Tensor-Produkt S  T Typ (k+n, l+m).

Zusammenziehung

Tensor-Zusammenziehung ist eine Operation, die den Gesamtbezug eines Tensor um zwei reduziert. Genauer reduziert es einen Typ (n, m) Tensor zu einem Typ (n1, m1) Tensor. In Bezug auf Bestandteile wird die Operation durch das Summieren über eine Kontravariante und einen kovarianten Index des Tensor erreicht. Zum Beispiel (1,1) - kann Tensor zu einem Skalar durch zusammengezogen werden

:.

Wo die Summierung wieder einbezogen wird. Wenn (1,1) - Tensor als eine geradlinige Karte interpretiert wird, ist diese Operation als die Spur bekannt.

Die Zusammenziehung wird häufig in Verbindung mit dem Tensor-Produkt verwendet, um einen Index von jedem Tensor zusammenzuziehen.

Die Zusammenziehung kann auch in Bezug auf die Definition eines Tensor als ein Element eines Tensor-Produktes von Kopien des Raums V mit dem Raum V durch das erste Zerlegen des Tensor in eine geradlinige Kombination des einfachen Tensor und dann der Verwendung eines Faktors von V bis einen Faktor von V verstanden werden. Zum Beispiel, ein Tensor

:

kann als eine geradlinige Kombination geschrieben werden

:

Die Zusammenziehung von T auf vor allen Dingen Ablagefächern ist dann der Vektor

:

Die Aufhebung oder das Senken eines Index

Wenn ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ausgestattet wird (oder metrisch, weil er häufig dieser Zusammenhang herbeigerufen wird), dort bestehen Sie Operationen, die einen kontravarianten (oberen) Index in einen kovarianten (niedrigeren) Index und umgekehrt umwandeln. Ein metrischer selbst ist (symmetrisch) (0,2) - Tensor, es ist so möglich, einen oberen Index eines Tensor mit einem von niedrigeren Indizes des metrischen zusammenzuziehen. Das erzeugt einen neuen Tensor mit derselben Index-Struktur wie das vorherige, aber mit dem niedrigeren Index in der Position des zusammengezogenen oberen Index. Diese Operation ist als das Senken eines Index ganz grafisch bekannt.

Umgekehrt hat ein metrischer ein Gegenteil, das (2,0) - Tensor ist. Dieses metrische Gegenteil kann mit einem niedrigeren Index zusammengezogen werden, um einen oberen Index zu erzeugen. Diese Operation wird genannt, einen Index erhebend.

Anwendungen

Kontinuum-Mechanik

Wichtige Beispiele werden durch die Kontinuum-Mechanik zur Verfügung gestellt. Die Betonungen innerhalb eines festen Körpers oder Flüssigkeit werden durch einen Tensor beschrieben. Der Spannungstensor und Deformationstensor sind sowohl der zweite Ordnungstensor, als auch sind in einem allgemeinen geradlinigen elastischen Material durch einen Elastizitätstensor der vierten Ordnung verbunden. Im Detail hat die Tensor-Quantitätsbestimmungsbetonung in einem 3-dimensionalen festen Gegenstand Bestandteile, die als 3×3 Reihe günstig vertreten werden können. Die drei Gesichter eines unendlich kleinen Volumen-Segmentes in der Form von des Würfels des Festkörpers sind jedes Thema einer gegebenen Kraft. Die Vektor-Bestandteile der Kraft sind auch drei in der Zahl. So, 3×3, oder 9 Bestandteile sind erforderlich, die Betonung bei diesem unendlich kleinen Segment in der Form von des Würfels zu beschreiben. Innerhalb der Grenzen dieses Festkörpers ist eine ganze Masse von unterschiedlichen Betonungsmengen, jeder, 9 Mengen verlangend, zu beschreiben. So ist ein zweiter Ordnungstensor erforderlich.

Wenn ein besonderes Oberflächenelement innerhalb des Materials ausgesucht wird, wird das Material auf einer Seite der Oberfläche eine Kraft auf der anderen Seite anwenden. Im Allgemeinen wird diese Kraft zur Oberfläche nicht orthogonal sein, aber es wird von der Orientierung der Oberfläche auf eine geradlinige Weise abhängen. Das wird durch einen Tensor des Typs (2,0), in der geradlinigen Elastizität, oder genauer durch ein Tensor-Feld des Typs (2,0) beschrieben, da sich die Betonungen vom Punkt bis Punkt ändern können.

Andere Beispiele von der Physik

Allgemeine Anwendungen schließen ein

• Elektromagnetischer Tensor (oder der Tensor von Faraday) im Elektromagnetismus
• Begrenzter Deformierungstensor, um Deformierungen und Deformationstensor für die Beanspruchung in der Kontinuum-Mechanik zu beschreiben
• Permittivity und elektrische Empfänglichkeit sind Tensor in anisotropic Medien
• Vier Tensor in der allgemeinen Relativität (z.B Betonungsenergie-Tensor), verwendet, um Schwung-Flüsse zu vertreten
• Kugelförmige Tensor-Maschinenbediener sind der eigenfunctions des Quants winkeliger Schwung-Maschinenbediener in kugelförmigen Koordinaten
• Verbreitungstensor, die Basis der Verbreitungstensor-Bildaufbereitung, vertritt Diffusionsgeschwindigkeiten in biologischen Umgebungen

Anwendungen des Tensor der Ordnung> 2

Das Konzept eines Tensor der Ordnung zwei wird häufig mit dieser einer Matrix verschmelzt. Der Tensor der höheren Ordnung gewinnt wirklich jedoch Ideen, die in der Wissenschaft und Technik wichtig sind, wie nacheinander in zahlreichen Gebieten gezeigt worden ist, wie sie sich entwickeln. Das geschieht zum Beispiel im Feld der Computervision mit dem trifocal Tensor, die grundsätzliche Matrix verallgemeinernd.

Das Feld der nichtlinearen Optik studiert die Änderungen zur materiellen Polarisationsdichte unter äußersten elektrischen Feldern. Die erzeugten Polarisationswellen sind mit den erzeugenden elektrischen Feldern durch den nichtlinearen Empfänglichkeitstensor verbunden. Wenn die Polarisation P nach dem elektrischen Feld E nicht linear proportional ist, wird das Medium nichtlinear genannt. Zu einer guten Annäherung (für genug schwache Felder, keine dauerhaften Dipolmomente annehmend, sind da), wird P durch eine Reihe von Taylor in E gegeben, dessen Koeffizienten die nichtlineare Empfänglichkeit sind:

:

Hier ist die geradlinige Empfänglichkeit, gibt die Wirkung von Pockels und die zweite harmonische Generation, und gibt die Wirkung von Kerr. Diese Vergrößerung zeigt die Weise, wie höherwertiger Tensor natürlich im Gegenstand entsteht.

Generalisationen

Tensor-Dichten

Es ist auch für ein Tensor-Feld möglich, eine "Dichte" zu haben. Ein Tensor mit der Dichte r verwandelt sich als ein gewöhnlicher Tensor unter Koordinatentransformationen, außer dass es auch mit der Determinante von Jacobian zur r Macht multipliziert wird. Invariantly, auf der Sprache der mehrgeradlinigen Algebra, kann man an Tensor-Dichten als mehrgeradlinige Karten denken, die ihre Werte in einem Dichte-Bündel wie der (1-dimensionale) Raum von N-Formen nehmen (wo n die Dimension des Raums ist), im Vergleich mit dem Annehmen ihrer Werte gerade R. Höhere "Gewichte" entsprechen dann gerade Einnahme von zusätzlichen Tensor-Produkten mit diesem Raum in der Reihe.

Auf der Sprache von Vektor-Bündeln ist das bestimmende Bündel des Tangente-Bündels ein Linienbündel, das verwendet werden kann, um andere Bündel r Zeiten 'zu drehen'. Während lokal das allgemeinere Transformationsgesetz tatsächlich verwendet werden kann, um diesen Tensor zu erkennen, gibt es eine globale Frage, die entsteht, widerspiegelnd, dass im Transformationsgesetz man entweder die Determinante von Jacobian oder seinen absoluten Wert schreiben kann. Nichtintegrierte Mächte der (positiven) Übergang-Funktionen des Bündels von Dichten haben Sinn, so dass das Gewicht einer Dichte, in diesem Sinn, auf Werte der ganzen Zahl nicht eingeschränkt wird.

Das Einschränken auf Änderungen von Koordinaten mit der positiven Determinante von Jacobian ist auf Orientable-Sammelleitungen möglich, weil es eine konsequente globale Weise gibt, minus Zeichen zu beseitigen; aber sonst sind das Linienbündel von Dichten und das Linienbündel von N-Formen verschieden. Für mehr auf der inneren Bedeutung, sieh Dichte auf einer Sammelleitung.)

Spinors

Mit einem orthonormalen Koordinatensystem anfangend, verwandelt sich ein Tensor auf eine bestimmte Weise, wenn eine Folge angewandt wird. Jedoch gibt es zusätzliche Struktur zur Gruppe von Folgen, die durch das Transformationsgesetz für den Tensor nicht ausgestellt wird: Sieh Orientierungsverwicklung und Teller-Trick. Mathematisch wird die Folge-Gruppe nicht einfach verbunden. Spinors sind mathematische Gegenstände, die das Transformationsgesetz für den Tensor in einem Weg verallgemeinern, der zu dieser Tatsache empfindlich ist.

Siehe auch

• Wörterverzeichnis der Tensor-Theorie

Notation

• Notation von Mandel
• Penrose grafische Notation
• Notation von Voigt
• Rechnung von Ricci

Foundational

• Faser-Bündel
• Mehrgeradliniger Vorsprung
• Eine Form
• Tensor-Produkt von Modulen

Anwendungen

• Anwendung der Tensor-Theorie in der Technik
• Kovariante Ableitung
• Krümmung
• Verbreitungstensor MRI
• Feldgleichungen von Einstein
• Flüssige Mechanik
• Mehrgeradliniger Subraum, der erfährt
• Geometrie von Riemannian
• Struktur-Tensor
• Tensor-Zergliederung
• Tensor-Ableitung
• Tensor-Software

Referenzen

Allgemeiner

• Munkres, James, Analyse auf Sammelleitungen, Westview Presse, 1991. Kapitel sechs gibt "von Kratzer" Einführung in den kovarianten Tensor.
• Schutz, Bernard, Geometrische Methoden der mathematischen Physik, Universität von Cambridge Presse, 1980.

Spezifischer

Links

• Einführung in Vektoren und Tensor, Vol 1: Geradlinige und Mehrgeradlinige Algebra durch Ray M. Bowen und C. C. Wang.
• Einführung in Vektoren und Tensor, Vol 2: Vektor und Tensor-Analyse durch Ray M. Bowen und C. C. Wang.
• Eine Einführung in den Tensor für Studenten der Physik und Technik durch Joseph C. Kolecki, der von NASA befreit ist
• Eine Diskussion der verschiedenen Annäherungen an den lehrenden Tensor und Empfehlungen von Lehrbüchern
• Eine schnelle Einführung in die Tensor-Analyse durch R. A. Sharipov.
• Einführung in den Tensor durch Joakim Strandberg.