In der Mathematik ist ein Skalarprodukt-Raum ein Vektorraum mit einer zusätzlichen Struktur genannt ein Skalarprodukt. Diese zusätzliche Struktur vereinigt jedes Paar von Vektoren im Raum mit einer als das Skalarprodukt der Vektoren bekannten Skalarmenge. Skalarprodukte erlauben die strenge Einführung von intuitiven geometrischen Begriffen wie die Länge eines Vektoren oder des Winkels zwischen zwei Vektoren. Sie stellen auch die Mittel zur Verfügung, orthogonality zwischen Vektoren (Nullskalarprodukt) zu definieren. Skalarprodukt-Räume verallgemeinern Euklidische Räume (in dem das Skalarprodukt das Punktprodukt, auch bekannt als das Skalarprodukt ist) zu Vektorräumen von irgendwelchem (vielleicht unendlich) Dimension, und in der Funktionsanalyse studiert werden.

Ein Skalarprodukt veranlasst natürlich eine verbundene Norm, so ist ein Skalarprodukt-Raum auch ein normed Vektorraum. Ein ganzer Raum mit einem Skalarprodukt wird einen Raum von Hilbert genannt. Ein unvollständiger Raum mit einem Skalarprodukt wird einen pre-Hilbert Raum genannt, da seine Vollziehung in Bezug auf die Norm, die durch das Skalarprodukt veranlasst ist, ein Raum von Hilbert wird. Skalarprodukt-Räume über das Feld von komplexen Zahlen werden manchmal einheitliche Räume genannt.

Definition

In diesem Artikel ist das Feld von angezeigten Skalaren irgendein

das Feld von reellen Zahlen oder das Feld von komplexen Zahlen.

Formell ist ein Skalarprodukt-Raum ein Vektorraum V über das Feld zusammen mit einem Skalarprodukt, d. h., mit einer Karte

:

das befriedigt die folgenden drei Axiome für alle Vektoren und alle Skalare:

• Verbundene Symmetrie:

::

Bemerken Sie, dass darin symmetrisch ist.

• Linearität im ersten Argument:

::::

• Positive Bestimmtheit:

:: mit der Gleichheit nur für

Bemerken Sie, dass verbundene Symmetrie andeutet, dass das für alle echt ist, da wir haben

Außerdem, sesquilinearity bezieht (sieh unten) das ein

Verbundene Symmetrie und Linearität in der ersten Variable geben

::

so ist ein Skalarprodukt eine Sesquilinear-Form.

Verbundene Symmetrie wird auch Symmetrie von Hermitian genannt, und eine verbundene symmetrische Sesquilinear-Form wird eine Form von Hermitian genannt.

Während die obengenannten Axiome mathematischer wirtschaftlich sind, ist eine wörtliche Kompaktdefinition eines Skalarprodukts eine positiv-bestimmte Form von Hermitian.

Im Fall von nimmt verbundene Symmetrie zur Symmetrie ab, und sesquilinear nimmt zum bilinearen ab.

Also, ein Skalarprodukt auf einem echten Vektorraum ist eine positiv-bestimmte symmetrische bilineare Form.

Vom Linearitätseigentum wird es abgeleitet, der einbezieht, während vom Axiom der positiven Bestimmtheit wir das gegenteilige erhalten, bezieht ein

Diese zwei verbindend, haben wir das Eigentum dass wenn und nur wenn

Das Kombinieren der Linearität des Skalarprodukts in seinem ersten Argument und der verbundenen Symmetrie gibt die folgende wichtige Generalisation der vertrauten Quadratvergrößerung:

::

Annehmend, dass das zu Grunde liegende Feld ist, wird das Skalarprodukt symmetrisch, und wir erhalten

::

oder ähnlich

::

Das Eigentum eines Skalarprodukt-Raums das

:: und

ist auch bekannt als Additivität.

Bemerkung: Einige Autoren, besonders in der Physik und Matrixalgebra, ziehen es vor, das Skalarprodukt und die Sesquilinear-Form mit der Linearität im zweiten Argument aber nicht dem ersten zu definieren. Dann wird das erste Argument verbunden geradlinig, aber nicht das zweite.

In jenen Disziplinen würden wir das Produkt als (die Notation des Büstenhalters-ket der Quant-Mechanik), beziehungsweise (Punktprodukt als ein Fall der Tagung schreiben, das Matrixprodukt AB als die Punktprodukte von Reihen mit Säulen von B zu bilden). Hier werden der kets und die Säulen mit den Vektoren V und die Büstenhalter und Reihen mit den Doppelvektoren oder geradlinigem functionals des Doppelraums V, mit mit der Dualität vereinigtem conjugacy identifiziert. Dieser Rückordnung wird jetzt gelegentlich in der abstrakteren Literatur, z.B, Emch [1972] gefolgt, nehmend, um geradlinig in x aber nicht y zu sein verbunden. Einige finden stattdessen einen Mittelgrund, indem sie beide und als verschiedene Notationen anerkennen, die sich nur unterscheiden, in dem Argument geradlinig verbunden ist.

Es gibt verschiedene technische Gründe, warum es notwendig ist, den basefield auf und in der Definition einzuschränken. Kurz muss der basefield ein bestelltes Teilfeld (in der Größenordnung von der Nichtnegativität enthalten, um Sinn zu haben), und muss deshalb Eigenschaft haben, die 0 gleich ist (da jedes bestellte Feld solche Eigenschaft haben muss). Das schließt sofort begrenzte Felder aus. Der basefield muss zusätzliche Struktur wie ein ausgezeichneter automorphism haben. Mehr allgemein jedes quadratisch geschlossene Teilfeld dessen oder wird für diesen Zweck, z.B, die algebraischen Zahlen genügen, aber wenn es ein richtiges Teilfeld ist (d. h., weder noch), werden sogar endlich-dimensionale Skalarprodukt-Räume scheitern, metrisch abgeschlossen zu sein. Im Gegensatz sind alle endlich-dimensionalen Skalarprodukt-Räume oder, wie diejenigen, die in der Quant-Berechnung verwendet sind, automatisch metrisch abgeschlossen und folglich Räume von Hilbert.

In einigen Fällen müssen wir nichtnegative halbbestimmte Sesquilinear-Formen denken. Das bedeutet, dass das nur erforderlich ist, nichtnegativ zu sein. Wir zeigen, wie man diese unten behandelt.

Beispiele

• Ein einfaches Beispiel ist die reellen Zahlen mit der Standardmultiplikation als das Skalarprodukt

::

:More allgemein jeder Euklidische Raum mit dem Punktprodukt ist ein Skalarprodukt-Raum

::

• Durch die allgemeine Form eines Skalarprodukts darauf wird gegeben:

::

:with M jeder Hermitian positiv-bestimmte Matrix und y das verbundene stellen von y um. Für den echten Fall entspricht das dem Punktprodukt der Ergebnisse des gerichtet unterschiedlichen Schuppens der zwei Vektoren, mit positiven Einteilungsfaktoren und orthogonalen Richtungen des Schuppens. Bis zu einer orthogonalen Transformation ist es eine Version der belasteten Summe des Punktproduktes mit positiven Gewichten.

• Der Artikel über den Raum von Hilbert hat mehrere Beispiele von Skalarprodukt-Räumen, worin das durch das Skalarprodukt veranlasste metrische einen ganzen metrischen Raum nachgibt. Ein Beispiel eines Skalarprodukts, das einen unvollständigen metrischen veranlasst, kommt mit dem Raum C [a vor, b] des dauernden Komplexes hat Funktionen auf dem Zwischenraum [a, b] geschätzt. Das Skalarprodukt ist

::

:This-Raum ist nicht abgeschlossen; ziehen Sie zum Beispiel, für den Zwischenraum [−1,1] die Folge von "Schritt"-Funktionen {f} wo in Betracht

:* f ist (t) 0 für t im Subzwischenraum [−1,0]

:* f ist (t) 1 für t im Subzwischenraum [1/k, 1]

:* f ist affine in (0, 1/k). D. h. f (t) = kt.

:This-Folge ist eine Cauchyfolge, die zu einer dauernden Funktion nicht zusammenläuft.

• Für zufällige Variablen X und Y, den erwarteten Wert ihres Produktes

::

:is ein Skalarprodukt. In diesem Fall,

• Für quadratischen echten matrices, damit stellen um, weil Konjugation ein Skalarprodukt ist.

Normen auf Skalarprodukt-Räumen

Ein geradliniger Raum mit einer Norm wie:

:

wo p  2 ein normed Raum, aber nicht ein Skalarprodukt-Raum ist, weil diese Norm die einer Norm erforderliche Parallelogramm-Gleichheit nicht befriedigt, ein Skalarprodukt damit vereinigen zu lassen.

Jedoch haben Skalarprodukt-Räume eine natürlich definierte Norm, die auf dem Skalarprodukt des Raums selbst gestützt ist, der wirklich die Parallelogramm-Gleichheit befriedigt:

:

Das wird durch das Nichtnegativitätsaxiom der Definition des Skalarprodukt-Raums gut definiert. Von der Norm wird als die Länge des Vektoren x gedacht.

Direkt von den Axiomen können wir den folgenden beweisen:

• Ungleichheit von Cauchy-Schwarz: für x, y Elemente von V

::

:with-Gleichheit wenn, und nur wenn x und y linear abhängig sind. Das ist eine der wichtigsten Ungleichheit in der Mathematik. Es ist auch in der russischen mathematischen Literatur als die Cauchy-Bunyakowski-Schwarz Ungleichheit bekannt.

:Because seiner Wichtigkeit, sein kurzer Beweis sollte bemerkt werden.

:: Es ist trivial, um die Ungleichheit zu beweisen, die im Fall y = 0 wahr ist. So nehmen wir an ist Nichtnull, uns den folgenden gebend:

::::

:: Der ganze Beweis kann durch das Multiplizieren dieses Ergebnisses erhalten werden.

• Orthogonality: Die geometrische Interpretation des Skalarprodukts in Bezug auf den Winkel und die Länge, motiviert viel von der geometrischen Fachsprache, die wir hinsichtlich dieser Räume verwenden. Tatsächlich ist eine unmittelbare Folge der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz, dass sie das Definieren des Winkels zwischen zwei Nichtnullvektoren x und y im Fall = durch die Identität rechtfertigt

:

:We nehmen an, dass der Wert des Winkels gewählt wird, um im Zwischenraum zu sein. Das ist in der Analogie zur Situation im zweidimensionalen Euklidischen Raum.

:In der Fall =, der Winkel im Zwischenraum wird normalerweise durch definiert

:

:Correspondingly, wir werden sagen, dass Nichtnullvektoren x und y V orthogonal sind, wenn, und nur wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

• Gleichartigkeit: für x ein Element V und r ein Skalar

::

:The-Gleichartigkeitseigentum ist völlig trivial, um sich zu erweisen.

• Dreieck-Ungleichheit: für x, y Elemente von V

::

:The, den letzte zwei Eigenschaften der definierten Funktion zeigen, ist tatsächlich eine Norm.

:Because der Dreieck-Ungleichheit und wegen des Axioms 2, wir sehen dass || · || ist eine Norm, die sich V in einen normed Vektorraum und folglich auch in einen metrischen Raum verwandelt. Die wichtigsten Skalarprodukt-Räume sind diejenigen, die in Bezug darauf metrisch abgeschlossen sind; sie werden Räume von Hilbert genannt. Jedes Skalarprodukt V Raum ist ein dichter Subraum von einem Raum von Hilbert. Dieser Hilbert Raum wird im Wesentlichen durch V einzigartig bestimmt und wird durch die Vollendung V gebaut.

• Pythagoreischer Lehrsatz: Wann auch immer x, y in V und x, y  = 0, dann sind

::

Der:The-Beweis der Identität verlangt nur das Ausdrücken der Definition der Norm in Bezug auf das Skalarprodukt und Multiplizieren mit dem Eigentum der Additivität jedes Bestandteils.

Pythagoreischer Lehrsatz des Namens von:The entsteht aus der geometrischen Interpretation dieses Ergebnisses als eine Entsprechung des Lehrsatzes in der synthetischen Geometrie. Bemerken Sie, dass der Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes in der synthetischen Geometrie wegen der Wenigkeit der zu Grunde liegenden Struktur beträchtlich mehr wohl durchdacht ist. In diesem Sinn, dem synthetischen Pythagoreischen Lehrsatz, ist wenn richtig demonstriert, tiefer als die Version, die oben gegeben ist.

:An-Induktion auf den Pythagoreischen Lehrsatz-Erträgen:

• Wenn x..., x orthogonale Vektoren, d. h. für verschiedene Indizes j, k, dann sind

::

:In-Ansicht von der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz, wir bemerken auch, dass das von V &times dauernd ist; V zu F. Das erlaubt uns, den Lehrsatz von Pythagoras zu ungeheuer vielen summands zu erweitern:

• Die Identität von Parseval: Denken Sie V ist ein ganzer Skalarprodukt-Raum. Wenn {x} gegenseitig orthogonale Vektoren in V dann sind

::

:provided die unendliche Reihe ist links konvergent. Die Vollständigkeit des Raums ist erforderlich, um dass die Folge von teilweisen Summen sicherzustellen

::Wie man

leicht zeigt, ist:which eine Cauchyfolge, ist konvergent.

• Parallelogramm-Gesetz: für x, y Elemente V,

::

Das Parallelogramm-Gesetz, ist tatsächlich, eine notwendige und genügend Bedingung für die Existenz eines Skalars

Produkt entsprechend einer gegebenen Norm. Wenn es hält, wird das Skalarprodukt durch den definiert

Polarisationsidentität:

::

:which ist eine Form des Gesetzes von Kosinus.

Orthonormale Folgen

Lassen Sie V ein begrenzter dimensionaler Skalarprodukt-Raum der Dimension n sein. Rufen Sie zurück, dass jede Basis V aus genau n linear unabhängige Vektoren besteht. Mit dem Prozess des Gramms-Schmidt können wir mit einer willkürlichen Basis anfangen und ihn in eine orthonormale Basis umgestalten. D. h. in eine Basis, in der alle Elemente orthogonal sind und Einheitsnorm haben. In Symbolen ist eine Basis wenn wenn und für jeden ich orthonormal.

Diese Definition der orthonormalen Basis verallgemeinert zum Fall von unendlichen dimensionalen Skalarprodukt-Räumen folgendermaßen. Lassen Sie V jeder Skalarprodukt-Raum sein. Dann ist eine Sammlung eine Basis für V, wenn der Subraum V erzeugt durch begrenzte geradlinige Kombinationen von Elementen von E in V (in der Norm dicht ist, die durch das Skalarprodukt veranlasst ist). Wir sagen, dass E eine orthonormale Basis für V ist, wenn es eine Basis und wenn und für alle ist.

Das Verwenden eines unendlich-dimensionalen Analogons des Gramms-Schmidt geht in einer Prozession man kann sich zeigen:

Lehrsatz. Jeder trennbare Skalarprodukt-Raum V hat eine orthonormale Basis.

Mit dem Hausdorff Maximalen Grundsatz und der Tatsache, dass in einem ganzen Skalarprodukt-Raum der orthogonale Vorsprung auf geradlinige Subräume bestimmt ist, kann man auch dem zeigen

Lehrsatz. Jeder ganze Skalarprodukt-Raum V hat eine orthonormale Basis.

Die zwei vorherigen Lehrsätze bringen die Frage dessen auf, ob alle Skalarprodukt-Räume eine orthonormale Basis haben. Die Antwort, es erweist sich ist negativ. Das ist ein nichttriviales Ergebnis, und wird unten bewiesen. Der folgende Beweis wird von Halmos Ein Hilbert Raumproblem-Buch genommen (sieh die Verweisungen).

:

Die Identität von Parseval führt sofort zum folgenden Lehrsatz:

Lehrsatz. Lassen Sie V ein trennbarer Skalarprodukt-Raum und {e} eine orthonormale Basis V sein.

Dann die Karte

:

ist eine isometrische geradlinige Karte V   mit einem dichten Image.

Dieser Lehrsatz kann als eine abstrakte Form der Reihe von Fourier betrachtet werden, in der eine willkürliche orthonormale Basis die Rolle der Folge von trigonometrischen Polynomen spielt. Bemerken Sie, dass der zu Grunde liegende Index-Satz genommen, um jeder zählbare Satz (und tatsächlich jeder Satz überhaupt zu sein, zur Verfügung gestellt werden kann, wird  passend definiert, wie im Raum des Artikels Hilbert erklärt wird).

Insbesondere wir herrschen vor der folgende laufen auf die Theorie der Reihe von Fourier hinaus:

Lehrsatz. Lassen Sie V der Skalarprodukt-Raum sein. Dann die Folge (mit einem Inhaltsverzeichnis versehen auf dem Satz aller ganzen Zahlen) dauernder Funktionen

:

ist eine orthonormale Basis des Raums mit dem L Skalarprodukt. Kartografisch darzustellen

:

ist eine isometrische geradlinige Karte mit dem dichten Image.

Orthogonality der Folge {e} folgt sofort von der Tatsache dass wenn k  j, dann

:

Die Normalität der Folge ist durch das Design, d. h. die Koeffizienten werden so gewählt, so dass die Norm zu 1 herauskommt. Schließlich folgt die Tatsache, dass die Folge eine dichte algebraische Spanne in der Skalarprodukt-Norm hat, aus der Tatsache, dass die Folge eine dichte algebraische Spanne, dieses Mal im Raum von dauernden periodischen Funktionen auf mit der gleichförmigen Norm hat. Das ist der Inhalt des Lehrsatzes von Weierstrass auf der gleichförmigen Dichte von trigonometrischen Polynomen.

Maschinenbediener auf Skalarprodukt-Räumen

Mehrere Typen von geradlinigen Karten A von einem Skalarprodukt-Raum V zu einem Skalarprodukt-Raum W sind von der Relevanz:

• Dauernde geradlinige Karten, d. h., A ist geradlinig und in Bezug auf das metrische dauernd, das oben, oder gleichwertig definiert ist, A ist geradlinig und der Satz von nichtnegativem reals, wo X-Reihen über den geschlossenen Einheitsball V, begrenzt wird.
• Symmetrische geradlinige Maschinenbediener, d. h., A ist geradlinig und Ax, y  = x, Ja  für den ganzen x, y in V.
• Isometrien, d. h., A ist geradlinig, und Ax, Ja  = x, y  für den ganzen x, y in V, oder gleichwertig, ist A geradlinig und Axt = x für den ganzen x in V. Alle Isometrien sind injective. Isometrien sind morphisms zwischen Skalarprodukt-Räumen, und morphisms von echten Skalarprodukt-Räumen sind orthogonale Transformationen (vergleichen Sie sich mit der orthogonalen Matrix).
• Isomorphismus von Isometrical, d. h., A ist eine Isometrie, die surjective (und folglich bijektiv) ist. Isomorphismus von Isometrical ist, auch bekannt als einheitliche Maschinenbediener (vergleichen Sie sich mit der einheitlichen Matrix).

Aus dem Gesichtswinkel von der Skalarprodukt-Raumtheorie gibt es kein Bedürfnis, zwischen zwei Räumen zu unterscheiden, die isometrisch isomorph sind. Der geisterhafte Lehrsatz stellt eine kanonische Form für symmetrische, einheitliche und allgemein normalere Maschinenbediener auf begrenzten dimensionalen Skalarprodukt-Räumen zur Verfügung. Eine Generalisation des geisterhaften Lehrsatzes hält für dauernde normale Maschinenbediener in Räumen von Hilbert.

Generalisationen

Einige der Axiome eines Skalarprodukts kann geschwächt werden, verallgemeinerte Begriffe nachgebend. Die Generalisationen, die an Skalarprodukten am nächsten sind, kommen vor, wo bilinearity und verbundene Symmetrie behalten werden, aber positive Bestimmtheit wird geschwächt.

Degenerierte Skalarprodukte

Wenn V ein Vektorraum und eine halbbestimmte Sesquilinear-Form, ist

dann hat die Funktion x  = Sinn und befriedigt alle Eigenschaften der Norm, außer dass x  = 0 x = 0 nicht einbezieht (solch ein funktionelles wird dann eine Halbnorm genannt). Wir können einen Skalarprodukt-Raum erzeugen, indem wir den denken

Quotient W = V/{x: x  = 0\. Die sesquilinear bilden Faktoren durch W.

Dieser Aufbau wird in zahlreichen Zusammenhängen verwendet. Der Gelfand-Naimark-Segal Aufbau ist ein besonders wichtiges Beispiel des Gebrauches dieser Technik. Ein anderes Beispiel ist die Darstellung von halbbestimmten Kernen auf willkürlichen Sätzen.

Nichtdegenerierte verbundene symmetrische Formen

Wechselweise kann man verlangen, dass die Paarung eine nichtdegenerierte Form ist, bedeutend, dass für die ganze Nichtnull x dort ein y solch das besteht, obwohl y x nicht gleichzukommen braucht; mit anderen Worten ist die veranlasste Karte zum Doppelraum injective. Diese Generalisation ist in der Differenzialgeometrie wichtig: Eine Sammelleitung, deren Tangente-Räume ein Skalarprodukt haben, ist eine Sammelleitung von Riemannian, während, wenn das verbunden ist, um verbundene symmetrische Form zu nichtdegenerieren, die Sammelleitung eine Pseudo-Riemannian-Sammelleitung ist. Nach dem Gesetz von Sylvester der Trägheit, gerade als jedes Skalarprodukt dem Punktprodukt mit positiven Gewichten auf einer Reihe von Vektoren ähnlich ist, ist jede nichtdegenerierte verbundene symmetrische Form dem Punktprodukt mit Nichtnullgewichten auf einer Reihe von Vektoren ähnlich, und die Zahl von positiven und negativen Gewichten wird beziehungsweise den positiven Index und negativen Index genannt.

Rein algebraische Behauptungen (die positivity nicht verwenden) verlassen sich gewöhnlich nur auf die Nichtentartung (der injective Homomorphismus) und halten so mehr allgemein.

Das Skalarprodukt von Minkowski

Das Skalarprodukt von Minkowski wird normalerweise in einem 4-dimensionalen echten Vektorraum definiert. Es befriedigt alle Axiome eines Skalarprodukts, außer dass es, d. h., die Norm von Minkowski || v eines Vektoren v, definiert als || v = η (v, v) nicht positiv-bestimmt ist, braucht nicht positiv zu sein. Die positiv-bestimmte Bedingung ist durch die schwächere Bedingung der Nichtentartung ersetzt worden (jede positiv-bestimmte Form ist nichtdegeneriert, aber nicht umgekehrt). Es ist üblich, ein Skalarprodukt von Minkowski ein unbestimmtes Skalarprodukt zu nennen, obwohl, technisch das Sprechen, es nicht ein Skalarprodukt gemäß der Standarddefinition oben ist.

Zusammenhängende Produkte

Der Begriff "Skalarprodukt" ist dem Außenprodukt entgegengesetzt, das ein ein bisschen allgemeineres Gegenteil ist. Einfach, in Koordinaten, ist das Skalarprodukt das Produkt 1×n covector mit n×1 Vektor, 1×1 Matrix tragend (ein Skalar), während das Außenprodukt das Produkt m×1 Vektor mit 1×n covector ist, m×n Matrix tragend. Bemerken Sie, dass das Außenprodukt für verschiedene Dimensionen definiert wird, während das Skalarprodukt dieselbe Dimension verlangt. Wenn die Dimensionen dasselbe sind, dann ist das Skalarprodukt die Spur des Außenproduktes (verfolgen Sie nur für das Quadrat matrices richtig definiert zu werden).

Auf einem Skalarprodukt-Raum, oder mehr allgemein einem Vektorraum mit einer nichtdegenerierten Form (so ein Isomorphismus) können Vektoren an covectors gesandt werden (in Koordinaten, darüber stellen um), so kann man das Skalarprodukt und Außenprodukt von zwei Vektoren nehmen, nicht einfach eines Vektoren und eines covector.

In einem Hieb: "Inner ist horizontale Zeiten vertikal und weicht unten zurück, Außen-ist vertikale Zeiten horizontal und breitet sich aus".

Abstrakter ist das Außenprodukt die bilineare Karte, einen Vektoren und einen covector zu einer Reihe 1 geradlinige Transformation sendend (einfacher Tensor des Typs (1,1)), während das Skalarprodukt die bilineare gegebene Einschätzungskarte durch das Auswerten eines covector auf einem Vektoren ist; die Ordnung der Bereichsvektorräume hier widerspiegelt die covector/vector Unterscheidung.

Das Skalarprodukt und Außenprodukt sollten mit dem Innenprodukt und Außenprodukt nicht verwirrt sein, die stattdessen Operationen auf Vektorfeldern und Differenzialformen, oder mehr allgemein auf der Außenalgebra sind.

Als eine weitere Komplikation in der geometrischen Algebra das Skalarprodukt und das Äußere (Grassmann) wird Produkt im geometrischen Produkt (das Produkt von Clifford in einer Algebra von Clifford) verbunden - das Skalarprodukt sendet zwei Vektoren (1 Vektoren) an einen Skalar (ein 0-Vektoren-), während das Außenprodukt zwei Vektoren an einen bivector (2-Vektoren-) sendet - und in diesem Zusammenhang das Außenprodukt gewöhnlich "Außen-(wechselweise, Keil) Produkt" genannt wird. Das Skalarprodukt wird ein Skalarprodukt in diesem Zusammenhang richtiger genannt, weil die nichtdegenerierte quadratische Form in der Frage bestimmt nicht zu sein positiv braucht (braucht kein Skalarprodukt zu sein).

Zeichen und Reihenverweisungen

Siehe auch

• Bilineare Form
• Doppelraum
• Doppelpaar
• Kreuzprodukt
• System von Biorthogonal
• Fubini-studieren Sie metrischen
• Energischer Raum
• Raum (Mathematik)
• Vektorraum von Normed