Transfinite Induktion ist eine Erweiterung der mathematischen Induktion zu gut bestellten Sätzen, zum Beispiel zu Sätzen von Ordinalzahlen oder Grundzahlen.

Transfinite Induktion

Lassen Sie P (α) ein Eigentum sein, das für alle Ordnungszahlen α definiert ist. Nehmen Sie das an, wann auch immer P (β) für den ganzen β wahr ist). Dann sagt transfinite Induktion uns, dass P für alle Ordnungszahlen wahr ist.

D. h. wenn P (α) wahr ist, wann auch immer P (β) für den ganzen β wahr ist, wird für jeden Ordnungs-α durch das Spezifizieren definiert, wie man von der Folge für β α bestimmt) für alle Ordnungszahlen α.

Als im Fall von der Induktion können wir verschiedene Typen von Ordnungszahlen getrennt behandeln: Eine andere Formulierung von transfinitem recursion ist das gegeben ein Satz g, und Klassenfunktionen G, G, dort bestehen eine einzigartige Funktion F: Ord  V solch dass

• F (0) = g,
• F (α + 1) = G (F (α)), für den ganzen α  Ord,
• F (λ) = G (F λ), für die ganze Grenze λ  0.

Bemerken Sie, dass wir verlangen, dass die Gebiete von G, G breit genug sind, um die obengenannten Eigenschaften bedeutungsvoll zu machen. Die Einzigartigkeit der Folge, die diese Eigenschaften befriedigt, kann mit der transfiniten Induktion bewiesen werden.

Mehr allgemein kann man Gegenstände durch transfiniten recursion auf jeder wohl begründeten Beziehung R. definieren (R braucht kein Satz sogar zu sein; es kann eine richtige Klasse sein, vorausgesetzt dass es eine einem Satz ähnliche Beziehung ist; d. h. für jeden x, die Sammlung des ganzen solchen y, dass y R x ein Satz sein muss.)

Beziehung zum Axiom der Wahl

Beweise oder Aufbauten mit der Induktion und recursion verwenden häufig das Axiom der Wahl, eine gut bestellte Beziehung zu erzeugen, die durch die transfinite Induktion behandelt werden kann. Jedoch, wenn die fragliche Beziehung bereits gut bestellt wird, kann man häufig transfinite Induktion verwenden, ohne das Axiom der Wahl anzurufen. Zum Beispiel werden viele Ergebnisse über Sätze von Borel durch die transfinite Induktion auf der Ordnungsreihe des Satzes bewiesen; diese Reihen werden bereits gut bestellt, so ist das Axiom der Wahl nicht erforderlich, um ihnen zu gut-bestellen.

Der folgende Aufbau des Vitalis hat Shows eine Weise gesetzt, wie das Axiom der Wahl in einem Beweis durch die transfinite Induktion verwendet werden kann:

: Gut-bestellen Sie erstens die reellen Zahlen (das ist, wo das Axiom der Wahl über den gut bestellenden Lehrsatz hereingeht), eine Folge gebend

Das obengenannte Argument verwendet das Axiom der Wahl auf eine wesentliche Weise am wirklichen Anfang, um den reals zu gut-bestellen. Nach diesem Schritt wird das Axiom der Wahl wieder nicht verwendet.

Anderer Gebrauch des Axioms der Wahl ist feiner. Zum Beispiel wird ein Aufbau durch transfiniten recursion oft keinen einzigartigen Wert für A in Anbetracht der Folge bis zu α angeben, aber wird nur eine Bedingung angeben, die A befriedigen und behaupten muss, dass es mindestens einen Satz gibt, der diese Bedingung befriedigt. Wenn es nicht möglich ist, ein einzigartiges Beispiel solch eines Satzes in jeder Bühne zu definieren, dann kann es notwendig sein (eine Form) das Axiom der Wahl anzurufen, einen solchen an jedem Schritt auszuwählen. Für Induktionen und recursions der zählbaren Länge ist das schwächere Axiom der abhängigen Wahl genügend. Weil es Modelle der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre von Interesse gibt, um Theoretiker zu setzen, die das Axiom der abhängigen Wahl, aber nicht das volle Axiom der Wahl, die Kenntnisse befriedigen, dass ein besonderer Beweis nur verlangt, kann abhängige Wahl nützlich sein.

Siehe auch

•  - Induktion

Zeichen

• Patrick Suppes, 1972, Axiomatische Mengenlehre, Veröffentlichungen von Dover. Abschnitt 7.1. Internationale Standardbuchnummer 0-486-61630-4