In der Mathematik ist eine Gut-Ordnungsbeziehung (oder gut bestellend) auf einem Satz S ein Gesamtbezug auf S mit dem Eigentum, dass jede nichtleere Teilmenge von S kleinstes Element in dieser Einrichtung hat. Der Satz S zusammen mit der Gut-Ordnungsbeziehung wird dann einen gut bestellten Satz genannt.

Jedes Element s, außer einem möglichen größten Element, hat einen einzigartigen Nachfolger (folgendes Element), nämlich kleinstes Element der Teilmenge aller Elemente, die größer sind als s. Jede Teilmenge, die einen gebundenen oberen hat, hat einen gebundenen am wenigsten oberen. Es kann Elemente geben (außer kleinstem Element), die keinen Vorgänger haben.

Wenn  ein (nichtstrenger) gut bestellender, dann y iff ist (|x < |y oder (|x = |y und x  y)). Diese Gut-Ordnung kann wie folgt vergegenwärtigt werden:

: 0 - 1 1 - 2 2 - 3 3 - 4 4...

Das hat den Ordnungstyp ω.

Reals

Der Standard, der  der positiven reellen Zahlen bestellt, ist nicht ein gut bestellender seitdem zum Beispiel, der offene Zwischenraum (0, 1) enthält kleinstes Element nicht. Von den ZFC Axiomen der Mengenlehre (einschließlich des Axioms der Wahl) kann man zeigen, dass es eine Gut-Ordnung des reals gibt. Auch Sierpinski hat bewiesen, dass ZF + GCH (die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese) das Axiom der Wahl und folglich einer Gut-Ordnung des reals einbeziehen. Dennoch ist es möglich zu zeigen, dass die ZFC+GCH Axiome allein nicht genügend sind, die Existenz eines definierbaren (durch eine Formel) Gut-Ordnung des reals zu beweisen. Jedoch ist es mit ZFC im Einklang stehend, dass ein definierbarer gut bestellende vom reals — zum Beispiel besteht, ist es mit ZFC im Einklang stehend, dass V=L, und es aus ZFC+V=L folgt, dass eine besondere Formel den reals, oder tatsächlich jeden Satz gut-bestellt.

Eine unzählbare Teilmenge von reellen Zahlen mit dem Standard, der "" bestellt, kann keine Gut-Ordnung sein, weil die offenen Zwischenräume (x, s (x)) für den verschiedenen x nichtleer und zusammenhanglos sein würden, wo s (x) der Nachfolger von x ist, und jeder Zwischenraum seine eigene rationale Zahl enthalten würde. Eine zählbar unendliche Teilmenge des reals kann oder kann keine Gut-Ordnung mit dem Standard "" sein.

• Die natürlichen Zahlen sind eine Gut-Ordnung.
• Der Satz {1/n: n =1,2,3...} hat nicht kleinstes Element und ist deshalb nicht eine Gut-Ordnung.

Beispiele von Gut-Ordnungen:

• Der Satz von Zahlen {-2 0  n - 2 0  M, n 0  n (Omega ein), d. h. wenn, und nur wenn der Satz zählbar ist oder den kleinsten unzählbaren Ordnungstyp hat.

Siehe auch

• Gut bestellender Lehrsatz
• Ordinalzahl
• Wohl begründeter Satz
• Gut teilweise Ordnung
• Prewellordering
• Geleitet setzt