In der Algebra ist polynomische lange Abteilung ein Algorithmus, für ein Polynom durch ein anderes Polynom desselben oder niedrigeren Grads zu teilen, eine verallgemeinerte Version der vertrauten arithmetischen Technik hat lange Abteilung genannt. Es kann leicht mit der Hand getan werden, weil es ein sonst kompliziertes Abteilungsproblem in kleinere trennt.

Beispiel

Finden Sie

:

Das Problem wird wie das geschrieben:

:

Der Quotient und Rest können dann wie folgt bestimmt werden:

:

\begin {Matrix-}\

x^2 \\

\qquad\qquad\quad x-3\overline {) x^3 - 12x^2 + 0x - 42 }\

\end {Matrix-}\

</Mathematik> </li>

:\begin {Matrix-}\x^2 \\

\qquad\qquad\quad x-3\overline {) x^3 - 12x^2 + 0x - 42 }\\\

\qquad \; \; x^3 - 3x^2

\end {Matrix-}\</Mathematik> </li>:\begin {Matrix-}\x^2 \\\qquad\qquad\quad x-3\overline {) x^3 - 12x^2 + 0x - 42 }\\\

\qquad \; \; \underline {x^3 - 3x^2 }\\\

\qquad\qquad\qquad\quad \;-9x^2 + 0x

\end {Matrix-}\</Mathematik> </li>:\begin {Matrix-}\

\; x^2 - 9x \\

\qquad\quad x-3\overline {) x^3 - 12x^2 + 0x - 42 }\\\

\; \; \underline {\\; \; x^3 - \; \; 3x^2 }\\\

\qquad\qquad\quad \;-9x^2 + 0x \\

\qquad\qquad\quad \; \underline {-9x^2 + 27x }\\\

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-27x - 42

\end {Matrix-}\</Mathematik> </li>:\begin {Matrix-}\

\qquad\quad \; \, x^2 \; - 9x \quad - 27 \\

\qquad\quad x-3\overline {) x^3 - 12x^2 + 0x - 42 }\\\\; \; \underline {\\; \; x^3 - \; \; 3x^2 }\\\\qquad\qquad\quad \;-9x^2 + 0x \\\qquad\qquad\quad \; \underline {-9x^2 + 27x }\\\

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-27x - 42 \\

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline {-27x + 81 }\\\

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \; \;-123

\end {Matrix-}\</Mathematik> </li>

</ol>

Das Polynom über der Bar ist der Quotient, und die Zahl, die über (&minus;123) verlassen ist, ist der Rest.

:

Der lange Abteilungsalgorithmus für die Arithmetik kann als ein spezieller Fall des obengenannten Algorithmus angesehen werden, in dem die Variable x durch die spezifische Nummer 10 ersetzt wird.

Abteilungstransformation

Polynomische Abteilung berücksichtigt ein Polynom, das in einer Form des Teiler-Quotienten zu schreiben ist, die häufig vorteilhaft ist. Denken Sie Polynome P (x), D (x) wo Grad (D)

Diese Neuordnung ist als die Abteilungstransformation bekannt, und ist auf die arithmetische Identität zurückzuführen.

Anwendungen

Factoring-Polynome

Manchmal sind eine oder mehr Wurzeln eines Polynoms bekannt, vielleicht gefunden, den vernünftigen Wurzellehrsatz verwendend. Wenn eine Wurzel r eines Polynoms P (x) des Grads n dann bekannt ist, kann polynomische lange Abteilung an den Faktor P (x) in die Form (x - r) gewöhnt sein (Q (x)), wo Q (x) ein Polynom des Grads n-1 ist. Q (x) ist einfach der beim Abteilungsprozess erhaltene Quotient; da, wie man bekannt, r eine Wurzel von P (x) ist, ist es bekannt, dass der Rest Null sein muss.

Ebenfalls, wenn mehr als eine Wurzel bekannt ist, kann ein geradliniger Faktor (x - r) in einem von ihnen (r) ausgeteilt werden, um Q (x) zu erhalten, und dann kann ein geradliniger Begriff in einer anderen Wurzel, s, aus Q (x), usw. geteilt werden. Wechselweise können sie alle sofort ausgeteilt werden: Zum Beispiel können die geradlinigen Faktoren x-r und x - s zusammen multipliziert werden, um den quadratischen Faktor x - (r + s) x + rs zu erhalten, der dann ins ursprüngliche Polynom P (x) geteilt werden kann, um einen Quotienten des Grads n - 2 zu erhalten.

Auf diese Weise manchmal können alle Wurzeln eines Polynoms des Grads, der größer ist als vier, erhalten werden, wenn auch das nicht immer möglich ist. Zum Beispiel, wenn der vernünftige Wurzellehrsatz verwendet werden kann, um eine einzelne (vernünftige) Wurzel eines quintic Polynoms zu erhalten, kann er ausgeklammert werden, um einen quartic (der vierte Grad) Quotient zu erhalten; die ausführliche Formel für die Wurzeln eines quartic Polynoms kann dann verwendet werden, um die anderen vier Wurzeln des quintic zu finden.

Die Entdeckung von Tangenten zu Polynomen

Polynomische lange Abteilung kann verwendet werden, um die Gleichung der Linie zu finden, die Tangente zu einem Polynom an einem besonderen Punkt ist. Wenn R (x) der Rest ist, wenn P (x) durch (x - r) — d. h. durch x - 2rx + r — dann geteilt wird, ist die Gleichung der Tangente-Linie zu P (x) an x = r y = R (x) (unabhängig davon, ob r eine Wurzel des Polynoms ist).

Siehe auch

• Polynomischer Rest-Lehrsatz
• Synthetische Abteilung, eine kürzere Methode, polynomische lange Abteilung durchzuführen
• Die Regierung von Ruffini
• Euklidisches Gebiet
• Basis von Gröbner
• Größter allgemeiner Teiler von zwei Polynomen

Referenzen