In der Kategorie-Theorie, einem Zweig der Mathematik, sind Gruppengegenstände bestimmte Generalisationen von Gruppen, auf die auf mehr komplizierten Strukturen gebaut werden als Sätze. Ein typisches Beispiel eines Gruppengegenstands ist eine topologische Gruppe, eine Gruppe, deren zu Grunde liegender Satz ein topologischer solcher Raum ist, dass die Gruppenoperationen dauernd sind.

Definition

Formell fangen wir mit einer Kategorie C mit begrenzten Produkten an (d. h. C hat einen Endgegenstand 1, und irgendwelche zwei Gegenstände von C haben ein Produkt). Ein Gruppengegenstand in C ist ein Gegenstand G C zusammen mit morphisms

• m: G × G  G (Gedanke als die "Gruppenmultiplikation")
• e: 1  G (Gedanke als die "Einschließung des Identitätselements")
• inv: G  G (Gedanke als die "Inversionsoperation")

solch, dass die folgenden Eigenschaften (modelliert auf den Gruppenaxiomen - genauer, auf der Definition einer Gruppe, die in der universalen Algebra verwendet ist), zufrieden sind

• M, ist d. h. M assoziativ (M × id) = M (id × m) als morphisms G × G × G  G; hier identifizieren wir G × (G × G) auf eine kanonische Weise mit (G × G) × G.
• e ist eine zweiseitige Einheit der M, d. h. M (id × e) = p, wo p: G × 1  G ist der kanonische Vorsprung und die M (e × id) = p, wo p: 1 × G  ist G der kanonische Vorsprung
• inv ist ein zweiseitiges Gegenteil für die M, d. h. wenn d: G  G × G ist die diagonale Karte und e: G  ist G die Zusammensetzung des einzigartigen morphism G  1 (auch hat den counit genannt) mit e, dann M (id × inv) d = e und M (inv × id) d = e.

Bemerken Sie, dass das in Bezug auf Karten festgesetzt wird - müssen Produkt und Gegenteil Karten in der Kategorie - und ohne jede Verweisung auf zu Grunde liegende "Elemente" der Gruppe sein - Kategorien haben im Allgemeinen Elemente zu ihren Gegenständen nicht.

Eine andere Weise, den obengenannten festzusetzen, soll sagen, dass G ein Gruppengegenstand in einer Kategorie C wenn für jeden Gegenstand X in C ist, gibt es eine Gruppenstruktur auf dem morphisms hom (X, G) von X bis solchen G, dass die Vereinigung X zu hom (X, G) ein kovarianter functor (von C bis die Kategorie von Gruppen) ist.

Beispiele

• Eine Gruppe kann als ein Gruppengegenstand in der Kategorie von Sätzen angesehen werden. Die Karte M ist die Gruppenoperation, die Karte e (dessen Gebiet ein Singleton ist) wählt das Identitätselement der Gruppe aus, und die Karte inv teilt jedem Gruppenelement sein Gegenteil zu. e: G  ist G die Karte, die jedes Element von G zum Identitätselement sendet.
• Eine topologische Gruppe ist ein Gruppengegenstand in der Kategorie von topologischen Räumen mit dauernden Funktionen.
• Eine Lüge-Gruppe ist ein Gruppengegenstand in der Kategorie von glatten Sammelleitungen mit glatten Karten.
• Eine Lüge-Supergruppe ist ein Gruppengegenstand in der Kategorie von Supersammelleitungen.
• Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppengegenstand in der Kategorie von algebraischen Varianten. In der modernen algebraischen Geometrie denkt man die allgemeineren Gruppenschemas, Gruppengegenstände in der Kategorie von Schemas.
• Eine localic Gruppe ist ein Gruppengegenstand in der Kategorie von Schauplätzen.
• Die Gruppengegenstände in der Kategorie von Gruppen (oder monoids) sind im Wesentlichen die Gruppen von Abelian. Der Grund dafür besteht darin, dass, wenn, wie man annimmt, inv ein Homomorphismus ist, dann muss G abelian sein. Genauer: Wenn A eine abelian Gruppe ist und wir durch die M die Gruppenmultiplikation von A, durch e die Einschließung des Identitätselements, und durch inv die Inversionsoperation auf A anzeigen, dann (A, M, e, inv) ist ein Gruppengegenstand in der Kategorie von Gruppen (oder monoids). Umgekehrt, wenn (A, M, e, inv) ein Gruppengegenstand in einer jener Kategorien ist, dann fällt M notwendigerweise mit der gegebenen Operation auf A zusammen, e ist die Einschließung des gegebenen Identitätselements auf A, inv ist die Inversionsoperation, und mit der gegebenen Operation ist eine abelian Gruppe. Siehe auch Argument von Eckmann-Hilton.
• In Anbetracht einer Kategorie C mit begrenztem coproducts ist ein Cogroup-Gegenstand ein Gegenstand G von C zusammen mit einer "comultiplication" M: G  G G, ein "coidentity" e: G  0, und ein "coinversion" inv: G  G, die die Doppelversionen der Axiome für Gruppengegenstände befriedigen. Hier 0 ist der anfängliche Gegenstand von Gegenständen von C. Cogroup kommen natürlich in der algebraischen Topologie vor.

Gruppentheorie hat verallgemeinert

Viel Gruppentheorie kann im Zusammenhang der allgemeineren Gruppengegenstände formuliert werden. Die Begriffe des Gruppenhomomorphismus, der Untergruppe, der normalen Untergruppe und der Isomorphismus-Lehrsätze sind typische Beispiele. Jedoch können Ergebnisse der Gruppentheorie, die über individuelle Elemente oder die Ordnung von spezifischen Elementen oder Untergruppen sprechen, nicht normalerweise verallgemeinert werden, um Gegenstände auf eine aufrichtige Weise zu gruppieren.

Siehe auch

• Algebra von Hopf können als eine Generalisation von Gruppengegenständen zu monoidal Kategorien gesehen werden.