Der folgende ist eine Liste von Integralen (antiabgeleitete Funktionen) von vernünftigen Funktionen.

Für andere Typen von Funktionen, sieh Listen von Integralen.

Verschiedener integrands

::::

Jede vernünftige Funktion kann mit teilweisen Bruchteilen in der Integration, durch das Zerlegen der vernünftigen Funktion in eine Summe von Funktionen der Form integriert werden:

: und

Integrands der Form x (ein x + b)

:

:: Mehr allgemein,

::

\frac {1} {ein }\\ln\left|ax + b\right | + C^-& x

\end {Fälle} </Mathematik>

: (Die Quadratur-Formel von Cavalieri)

:::::::::::

Integrands der Form x / (ein x + b x + c)

Für

:

\begin {Fälle }\

\displaystyle \frac {2} {\\sqrt {4ac-b^2} }\\arctan\frac {2ax+b} {\\sqrt {4ac-b^2}} + C & \text {(für} 4ac-b^2> 0\mbox {)} \\[12pt]

\displaystyle-\frac {2} {\\sqrt {b^2-4ac} }\\, \mathrm {arctanh }\\frac {2ax+b} {\\sqrt {b^2-4ac}} + C = \frac {1} {\\sqrt {b^2-4ac} }\\ln\left |\frac {2ax+b-\sqrt {b^2-4ac}} {2ax+b +\sqrt {b^2-4ac} }\\Recht | + C & \text {(für} 4ac-b^2

::

\displaystyle \frac {M} {2a }\\ln\left|ax^2+bx+c\right | +\frac {2an-BM} {a\sqrt {4ac-b^2} }\\arctan\frac {2ax+b} {\\sqrt {4ac-b^2}} + C &\\Text {(für} 4ac-b^2> 0\mbox {)} \\[12pt] \displaystyle \frac {M} {2a }\\Ln\left|ax^2+bx+c\right |-\frac {2an-BM} {a\sqrt {b^2-4ac} }\\, \mathrm {arctanh }\\frac {2ax+b} {\\sqrt {b^2-4ac}} + C &\\Text {(für} 4ac-b^2

:::

Integrands der Form x (+ b x)

• Die resultierenden integrands sind von derselben Form wie der ursprüngliche integrand, so können diese Verminderungsformeln wiederholt angewandt werden, um die Hochzahlen und zu 0 zu steuern.
• Diese Verminderungsformeln können für integrands verwendet werden ganze Zahl und/oder Bruchhochzahlen zu haben.

:

\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^p dx =

\frac {X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^p} {m+n \, p+1 }\\, + \,

\frac {\, n \, p} {m+n \, p+1 }\\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^ {p-1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^p dx =

- \frac {X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1}} {\, n (p+1) }\\, + \,

\frac {m+n (p+1) +1} {\, n (p+1) }\\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:

\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^p dx =

\frac {X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^p} {m+1 }\\, - \,

\frac {b \, n \, p} {m+1 }\\int X^ {m+n} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p-1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^p dx =

\frac {x^ {m-n+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1}} {b \, n (p+1) }\\, - \,

\frac {m-n+1} {b \, n (p+1) }\\int X^ {m-n} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^p dx =

\frac {x^ {m-n+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1}} {b (m+n \, p+1) }\\, - \,

\frac {(m-n+1)} {b (m+n \p+1) }\\ist int x^ {m-n }\\(a+b \, x^n\right) ^pdx abgereist

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n\right) ^p dx =

\frac {X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1}} {(m+1) }\\, - \,

\frac {b (m+n (p+1) +1)} {(m+1) }\\int x^ {m+n }\\ist (a+b \, x^n\right) ^pdx abgereist

</Mathematik>

Integrands der Form (+ B x) (+ b x) (c + d x) (e + f x)

• Die resultierenden integrands sind von derselben Form wie der ursprüngliche integrand, so können diese Verminderungsformeln wiederholt angewandt werden, um die Hochzahlen, und zu 0 zu steuern.

Diese Verminderungsformeln können für integrands verwendet werden ganze Zahl und/oder Bruchhochzahlen zu haben.

• Spezielle Fälle dieser Verminderungsformeln können für integrands der Form durch das Setzen zu 0 verwendet werden.

:

\int (A+B \, x) (a+b \, x) ^m (c+d \, x) ^n (e+f \, x) ^p dx=

- \frac {(\, b-a \, B) (a+b \, x) ^ {m+1} (c+d \, x) ^n (e+f \, x) ^ {p+1}} {b (m+1) (\, f-b \, e) }\\, + \,

\frac {1} {b (m+1) (\, f-b \, e) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int (b \, c (m+1) (\, f-B \, e) + (\, b-a \, B) (n \, d \, e+c \, f (p+1)) +d (b (m+1) (\, f-B \, e) +f (n+p+1) (\, b-a \, B)) x) (a+b \, x) ^ {m+1} (c+d \, x) ^ {n-1} (e+f \, x) ^p dx

</Mathematik> </ul> </ul>

:\int (A+B \, x) (a+b \, x) ^m (c+d \, x) ^n (e+f \, x) ^p dx=

\frac {B (a+b \, x) ^m (c+d \, x) ^ {n+1} (e+f \, x) ^ {p+1}} {d \, f (m+n+p+2) }\\, + \,

\frac {1} {d \, f (m+n+p+2) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int (\, \, d \, f (m+n+p+2)-B (b \, c \, e \, m+a (d \, e (n+1) +c \, f (p+1))) + (\, b \, d \, f (m+n+p+2) +B (\, d \, f \, m-b (d \, e (m+n+1) +c \, f (m+p+1)))) x) (a+b \, x) ^ {m-1} (c+d \, x) ^n (e+f \, x) ^p dx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int (A+B \, x) (a+b \, x) ^m (c+d \, x) ^n (e+f \, x) ^p dx=

\frac {(\, b-a \, B) (a+b \, x) ^ {m+1} (c+d \, x) ^ {n+1} (e+f \, x) ^ {p+1}} {(m+1) (\, d-b \, c) (\, f-b \, e) }\\, + \,

\frac {1} {(m+1) (\, d-b \, c) (\, f-b \, e) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int ((m+1) ((\, d \, f-b (c \, f+d \, e)) +B \, b \, c \, e) - (\, b-a \, B) (d \, e (n+1) +c \, f (p+1))-d \, f (m+n+p+3) (\, b-a \, B) x) (a+b \, x) ^ {m+1} (c+d \, x) ^n (e+f \, x) ^p dx

</Mathematik> </ul> </ul>

Integrands der Form x (+ B x) (+ b x) (c + d x)

Die resultierenden integrands sind von derselben Form wie der ursprüngliche integrand, so können diese Verminderungsformeln wiederholt angewandt werden, um die Hochzahlen, und zu 0 zu steuern. Diese Verminderungsformeln können für integrands verwendet werden ganze Zahl und/oder Bruchhochzahlen zu haben.

• Spezielle Fälle dieser Verminderungsformeln können für integrands der Form und durch das Setzen und/oder zu 0 verwendet werden.

:

\int x^m\left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx=

- \frac {(\, b-a \, B) X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} \left (c+d \, x^n\right) ^q} {\, b \, n (p+1) }\\, + \,

\frac {1} {\, b \, n (p+1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^m\left (c (\, b \, n (p+1) + (\, b-a \, B) (m+1)) +d (\, b \, n (p+1) + (\, b-a \, B) (m+n \, q+1)) x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1 }\\ist (c+d \, x^n\right) ^ {q-1} dx abgereist

</Mathematik> </ul> </ul>:\int x^m\left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx=

\frac {B \, X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} \left (c+d \, x^n\right) ^q} {b (m+n (p+q+1) +1) }\\, + \,

\frac {1} {b (m+n (p+q+1) +1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^m\left (c ((\, b-a \, B) (1+m) +A \, b \, n (1+p+q)) + (d (\, b-a \, B) (1+m) +B \, n \, q (b \, c-a \, d) +A \, b \, d \, n (1+p+q)) \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^ {q-1} dx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int x^m\left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx=

- \frac {(\, b-a \, B) X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} \left (c+d \, x^n\right) ^ {q+1}} {\, n (b \, c-a \, d) (p+1) }\\, + \,

\frac {1} {\, n (b \, c-a \, d) (p+1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^m\left (c (\, b-a \, B) (m+1) +A \, n (b \, c-a \, d) (p+1) +d (\, b-a \, B) (m+n (p+q+2) +1) x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1 }\\ist (c+d \, x^n\right) ^qdx abgereist

</Mathematik> </ul> </ul>:\int x^m\left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx=

\frac {B \, x^ {m-n+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} \left (c+d \, x^n\right) ^ {q+1}} {b \, d (m+n (p+q+1) +1) }\\, - \,

\frac {1} {b \, d (m+n (p+q+1) +1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^ {m-n }\\hat (\, B \, c (m-n+1) + (\, B \, d (m+n \, q+1)-b (-B \, c (m+n \, p+1) +A \, d (m+n (p+q+1) +1))) x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx verlassen

</Mathematik> </ul> </ul>:\int x^m\left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx=

\frac {\, X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} \left (c+d \, x^n\right) ^ {q+1}} {\, c (m+1) }\\, + \,

\frac {1} {\, c (m+1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^ {m+n }\\hat (\, B \, c (m+1)-A (b \, c+a \, d) (m+n+1)-A \, n (b \, c \, p+a \, d \, q)-A \, b \, d (m+n (p+q+2) +1) x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx verlassen

</Mathematik> </ul> </ul>:\int x^m\left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx=

\frac {\, X^ {m+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} \left (c+d \, x^n\right) ^q} {(m+1) }\\, - \,

\frac {1} {(m+1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^ {m+n }\\ist abgereist (c (\, b-a \, B) (m+1) +A \, n (b \, c (p+1) +a \, d \, q) +d ((\, b-a \, B) (m+1) +A \, b \, n (p+q+1)) x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^ {q-1} dx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int x^m\left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^p\left (c+d \, x^n\right) ^qdx=

\frac {(\, b-a \, B) x^ {m-n+1} \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1} \left (c+d \, x^n\right) ^ {q+1}} {b \, n (b \, c-a \, d) (p+1) }\\, - \,

\frac {1} {b \, n (b \, c-a \, d) (p+1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^ {m-n }\\hat (c (\, b-a \, B) (m-n+1) + (d (\, b-a \, B) (m+n \, q+1)-b \, n (B \, c-A \, d) (p+1)) x^n\right) \left (a+b \, x^n\right) ^ {p+1 }\\link (c+d \, x^n\right) ^qdx verlassen

</Mathematik> </ul> </ul>

Integrands der Form (d + e x) (+ b x + c x) wenn b  4 ein c

0 = =

Die resultierenden integrands sind von derselben Form wie der ursprüngliche integrand, so können diese Verminderungsformeln wiederholt angewandt werden, um die Hochzahlen und zu 0 zu steuern. Diese Verminderungsformeln können für integrands verwendet werden ganze Zahl und/oder Bruchhochzahlen zu haben.

• Spezielle Fälle dieser Verminderungsformeln können für integrands der Form wenn durch das Setzen zu 0 verwendet werden.

:

\int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {(d+e \, x) ^ {m+1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {e (m+1) }\\, - \,

\frac {p (d+e \, x) ^ {m+2} (b+2 c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1}} {E^2 (m+1) (m+2 p+1) }\\, + \,

\frac {p (2 p-1) (2 c \, d-b \, e)} {E^2 (m+1) (m+2 p+1)} \int (d+e \, x) ^ {m+1 }\\ist (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1} dx abgereist

</Mathematik>:\int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx= \frac {(d+e \, x) ^ {m+1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {e (m+1) }\\, - \,

\frac {p (d+e \, x) ^ {m+2} (b+2 \, c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1}} {E^2 (m+1) (m+2) }\\, + \,

\frac {2 \, c \, p \, (2 \, p-1)} {E^2 (m+1) (m+2)} \int (d+e \, x) ^ {m+2} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1} dx

</Mathematik>:

\int (d+e \, x) ^m\left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

- \frac {e (m+2 p+2) (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1}} {(p+1) (2p+1) (2 c \, d-b \, e) }\\, + \,

\frac {(d+e \, x) ^ {m+1} (b+2 c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {(2p+1) (2 c \, d-b \, e) }\\, + \,

\frac {e^2m (m+2 p+2)} {(p+1) (2p+1) (2 c \, d-b \, e)} \int (d+e \, x) ^ {m-1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:\int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

- \frac {e \, M (d+e \, x) ^ {m-1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1}} {2c (p+1) (2p+1) }\\, + \,

\frac {(d+e \, x) ^m (b+2 c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {2c (2p+1) }\\, + \,

\frac {E^2m (m-1)} {2c (p+1) (2p+1)} \int (d+e \, x) ^ {m-2} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:\int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {(d+e \, x) ^ {m+1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {e (m+2p+1) }\\, - \,

\frac {p (2 c \, d-b \, e) (d+e \, x) ^ {m+1} (b+2 c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1}} {2c \, e^2 (m+2 p) (m+2p+1) }\\, + \,

\frac {p (2 p-1) (2 c \, d-b \, e) ^2} {2c \, e^2 (m+2 p) (m+2p+1)} \int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1} dx

</Mathematik>:\int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

- \frac {2c \, e (m+2p+2) (d+e \, x) ^ {m+1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1}} {(p+1) (2 p+1) (2 c \, d-b \, e) ^2 }\\, + \,

\frac {(d+e \, x) ^ {m+1} (b+2 c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {(2 p+1) (2 c \, d-b \, e) }\\, + \,

\frac {2c \, E^2 (m+2p+2) (m+2 p+3)} {(p+1) (2 p+1) (2 c \, d-b \, e) ^2} \int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:\int (d+e \, x) ^m \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {(d+e \, x) ^m (b+2 c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {2c (m+2p+1) }\\, + \,

\frac {M (2 c \, d-b \, e)} {2c (m+2p+1)} \int (d+e \, x) ^ {m-1 }\\ist (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx abgereist

</Mathematik>:\int (d+e \, x) ^m\left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

- \frac {(d+e \, x) ^ {m+1} (b+2 c \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {(m+1) (2 c \, d-b \, e) }\\, + \,

\frac {2c (m+2p+2)} {(m+1) (2 c \, d-b \, e)} \int (d+e \, x) ^ {m+1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx

</Mathematik>

Integrands der Form (d + e x) (+ B x) (+ b x + c x)

Die resultierenden integrands sind von derselben Form wie der ursprüngliche integrand, so können diese Verminderungsformeln wiederholt angewandt werden, um die Hochzahlen und zu 0 zu steuern. Diese Verminderungsformeln können für integrands verwendet werden ganze Zahl und/oder Bruchhochzahlen zu haben. Spezielle Fälle dieser Verminderungsformeln können für integrands der Form und durch das Setzen und/oder zu 0 verwendet werden.:

\int (d+e \, x) ^m (A+B \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {(d+e \, x) ^ {m+1} (\, e (m+2 p+2)-B \, d (2 p+1) +e \, B (m+1) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {E^2 (m+1) (m+2 p+2) }\\, + \,

\frac {1} {E^2 (m+1) (m+2 p+2)} p \,\cdot

</Mathematik>

\int (d+e \, x) ^ {m+1} (B (b \, d+2 \, e+2 \, e \, m+2 b \, d \, p)-A \, b \, e (m+2 p+2) + (B (2 c \, d+b \, e+b \, e m+4 c \, d \, p)-2 \, c \, e (m+2 p+2)) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1} dx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int (d+e \, x) ^m (A+B \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {(d+e \, x) ^m (\, b-2 \, B-(b \, b-2 \, c) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1}} {(p+1) \left (b^2-4 \, c\right) }\\, + \,

\frac {1} {(p+1) \left (b^2-4 \, c\right) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int (d+e \, x) ^ {m-1} (B (2 \, e \, m+b \, d (2 p+3))-A (b \, e \, m+2 c \, d (2 p+3)) +e (b \, b-2 \, c) (m+2 p+3) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1} dx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int (d+e \, x) ^m (A+B \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {(d+e \, x) ^ {m+1} (\, c \, e (m+2 p+2)-B (c \, d+2 c \, d \, p-b \, e \, p) +B \, c \, e (m+2 p+1) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^p} {c \, e^2 (m+2 p+1) (m+2 p+2) }\\, - \,

\frac {p} {c \, e^2 (m+2 p+1) (m+2 p+2) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int (d+e \, x) ^m (\, c \, e (b \, d-2 \, e) (m+2 p+2) +B (\, e (b \, e-2 c \, d \, m+b \, e \, m) +b \, d (b \, e \, p-c \, d-2 c \, d \, p)) +

</Mathematik>

\left (\, c \, e (2 c \, d-b \, e) (m+2 p+2)-B \left (-b^2 E^2 (m+p+1) +2 c^2 d^2 (1+2 p) +c \, e (b \, d (m-2 p) +2 \, e (m+2 p+1)) \right) \right) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p-1} dx

</Mathematik> </ul> </ul> </ul> </ul>

:\int (d+e \, x) ^m (A+B \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {(d+e \, x) ^ {m+1} \left (Ein \left (b \, c \, d-b^2 e+2 \, c \, e\right)-a \, B (2 c \, d-b \, e) +c ((2 c \, d-b \, e)-B (b \, d-2 \, e)) x\right) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1}} {(p+1) \left (b^2-4 \, c\right) \left (c \, d^2-b \, d \, e+a \, e^2\right) }\\, + \,

</Mathematik>

\frac {1} {(p+1) \left (b^2-4 \, c\right) \left (c \, d^2-b \, d \, e+a \, e^2\right) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int (d+e \, x) ^m (Ein \left (b \, c \, d \, e (2 p-m+2) +b^2 e^2 (m+p+2)-2 c^2 d^2 (3+2 p)-2 \, c \, e^2 (m+2 p+3) \right) -

</Mathematik>

B (\, e (b \, e-2 c \, d m+b \, e \, m) +b \, d (-3 c \, d+b \, e-2 c \, d \, p+b \, e \, p)) +c \, e (B (b \, d-2 \, e)-A (2 c \, d-b \, e)) (m+2 p+4) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1} dx

</Mathematik> </ul> </ul> </ul> </ul> </ul> </ul>

:\int (d+e \, x) ^m (A+B \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

\frac {B (d+e \, x) ^m\left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1}} {c (m+2 p+2) }\\, + \,

\frac {1} {c (m+2 p+2) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int (d+e \, x) ^ {m-1} (M (\, c \, d-a \, B \, e)-d (b \, b-2 \, c) (p+1) + ((B \, c \, d-b \, B \, e+A \, c \, e) m-e (b \, b-2 \, c) (p+1)) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int (d+e \, x) ^m (A+B \, x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx=

- \frac {(B \, d-A \, e) (d+e \, x) ^ {m+1} \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^ {p+1}} {(m+1) \left (c \, d^2-b \, d \, e+a \, e^2\right) }\\, + \,

\frac {1} {(m+1) \left (c \, d^2-b \, d \, e+a \, e^2\right) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int (d+e \, x) ^ {m+1} ((\, c \, d-A \, b \, e+a \, B \, e) (m+1) +b (B \, d-A \, e) (p+1) +c (B \, d-A \, e) (m+2 p+3) x) \left (a+b \, x+c \, x^2\right) ^pdx

</Mathematik> </ul> </ul>

Integrands der Form x (+ b x + c x) wenn b  4 ein c

0 = = Die resultierenden integrands sind von derselben Form wie der ursprüngliche integrand, so können diese Verminderungsformeln wiederholt angewandt werden, um die Hochzahlen und zu 0 zu steuern. Diese Verminderungsformeln können für integrands verwendet werden ganze Zahl und/oder Bruchhochzahlen zu haben. Spezielle Fälle dieser Verminderungsformeln können für integrands der Form wenn durch das Setzen zu 0 verwendet werden.:

\int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

\frac {x^ {m+1 }\\ist (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {m+2 n \, p+1 }\\, + \, abgereist

\frac {n \, p \, X^ {m+1} \left (2 a+b \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1}} {(m+1) (m+2 n \, p+1) }\\, - \,

\frac {b \, n^2 p (2 p-1)} {(m+1) (m+2 n \, p+1)} \int X^ {m+n} \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

\frac {(m+n (2 p-1) +1) x^ {m+1 }\\ist (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {(m+1) (m+n+1) }\\, + \, abgereist

\frac {n \, p \, X^ {m+1} \left (2 a+b \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1}} {(m+1) (m+n+1) }\\, + \,

\frac {2 c \, p \, n^2 (2 p-1)} {(m+1) (m+n+1)} \int X^ {m+2n} \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

\frac {(m+n (2 p+1) +1) x^ {m-n+1 }\\ist (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1}} {b \, N^2 (p+1) (2p+1) }\\, - \, abgereist

\frac {X^ {m+1} \left (b+2 c \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {b \, n (2p+1) }\\, - \,

\frac {(m-n+1) (m+n (2 p+1) +1)} {b \, N^2 (p+1) (2p+1)} \int X^ {m-n} \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

- \frac {(m-3 n-2 n \p+1) x^ {m-2n+1 ist }\\(a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1}} {2 c \, N^2 (p+1) (2p+1) }\\, - \, abgereist

\frac {x^ {m-2n+1} \left (2 a+b \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {2 c \, n (2p+1) }\\, + \,

\frac {(m-n+1) (m-2n+1)} {2 c \, N^2 (p+1) (2p+1)} \int x^ {M 2n} \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

\frac {x^ {m+1 }\\ist (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {m+2 n \, p+1 }\\, + \, abgereist

\frac {n \, p \, X^ {m+1} \left (2 a+b \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1}} {(m+2 n \, p+1) (m+n (2 p-1) +1) }\\, + \,

\frac {2 \, n^2 p (2 p-1)} {(m+2 n \, p+1) (m+n (2 p-1) +1)} \int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1} dx

</Mathematik>:\int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

- \frac {(m+n+2 n \, p+1) x^ {m+1 }\\ist (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1}} {2 \, N^2 (p+1) (2p+1) }\\, - \, abgereist

\frac {X^ {m+1} \left (2 a+b \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {2 \, n (2p+1) }\\, + \,

\frac {(m+n (2 p+1) +1) (m+2 n (p+1) +1)} {2 \, N^2 (p+1) (2p+1)} \int X^m \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1} dx

</Mathematik>:

\int x^m\left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

\frac {x^ {m-n+1} \left (b+2c \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {2c (m+2n \, p+1) }\\, - \,

\frac {b (m-n+1)} {2c (m+2n \, p+1)} \int X^ {m-n} \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx

</Mathematik>:\int x^m\left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx=

\frac {X^ {m+1} \left (b+2c \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {b (m+1) }\\, - \,

\frac {2c (m+n (2 p+1) +1)} {b (m+1)} \int X^ {m+n} \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p dx

</Mathematik>

Integrands der Form x (+ B x) (+ b x + c x)

Die resultierenden integrands sind von derselben Form wie der ursprüngliche integrand, so können diese Verminderungsformeln wiederholt angewandt werden, um die Hochzahlen und zu 0 zu steuern. Diese Verminderungsformeln können für integrands verwendet werden ganze Zahl und/oder Bruchhochzahlen zu haben. Spezielle Fälle dieser Verminderungsformeln können für integrands der Form und durch das Setzen und/oder zu 0 verwendet werden.:

\int X^m \left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx=

\frac {X^ {m+1} \left ((m+n (2 p+1) +1) +B (m+1) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {(m+1) (m+n (2 p+1) +1) }\\, + \,

\frac {n \, p} {(m+1) (m+n (2 p+1) +1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int X^ {m+n} \left (2 \, B (m+1)-A \, b (m+n (2 p+1) +1) + (b \, B (m+1)-2 \, \, c (m+n (2 p+1) +1)) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1} dx

</Mathematik> </ul> </ul>:

\int X^m \left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx=

\frac {x^ {m-n+1} \left (\, b-2 \, B-(b \, b-2 \, c) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1}} {n (p+1) \left (b^2-4 \, c\right) }\\, + \,

\frac {1} {n (p+1) \left (b^2-4 \, c\right) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int x^ {m-n }\\hat ((m-n+1) (2 \, B-A \, b) + (m+2n (p+1) +1) (b \, b-2 \, c) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1} dx verlassen

</Mathematik> </ul> </ul>:\int X^m \left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx=

\frac {X^ {m+1} \left (b \, B \, n \, p+A \, c (m+n (2 p+1) +1) +B \, c (m+2 n \, p+1) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^p} {c (m+2 n \, p+1) (m+n (2 p+1) +1) }\\, + \,

\frac {n \, p} {c (m+2 n \, p+1) (m+n (2 p+1) +1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int X^m \left (2 \, \, c (m+n (2 p+1) +1)-a \, b \, B (m+1) + \left (2 \, B \, c (m+2 n \, p+1) +A \, b \, c (m+n (2 p+1) +1)-b^2 B (m+n \, p+1) \right) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p-1} dx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int X^m \left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx=

- \frac {X^ {m+1} \left (\, b^2-a \, b \, b-2 \, \, c + (\, b-2 \, B) c \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1}} {\, n (p+1) \left (b^2-4 \, c\right) }\\, + \,

\frac {1} {\, n (p+1) \left (b^2-4 \, c\right) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int X^m \left ((m+n (p+1) +1) \, b^2-a \, b \, B (m+1)-2 (m+2n (p+1) +1) \, \, c + (m+n (2p+3) +1) (\, b-2 \, B) c \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1} dx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int X^m \left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx=

\frac {B \x^ {m-n+1 ist }\\(a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1}} {c (m+n (2 p+1) +1) }\\, - \, abgereist

\frac {1} {c (m+n (2 p+1) +1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int X^ {m-n} \left (\, B (m-n+1) + (b \, B (m+n \, p+1)-A \, c (m+n (2 p+1) +1)) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx

</Mathematik> </ul> </ul>:\int X^m \left (A+B \, x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx=

\frac {\, X^ {m+1} \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^ {p+1}} {(m+1) }\\, + \,

\frac {1} {(m+1) }\\, \cdot

</Mathematik>

\int X^ {m+n} \left (\, B (m+1)-A \, b (m+n (p+1) +1)-A \, c (m+2 n (p+1) +1) x^n\right) \left (a+b \, x^n+c \, x^ {2 n }\\Recht) ^pdx

</Mathematik> </ul> </ul>