In der statistischen Mechanik beschreibt Statistik von Maxwell-Boltzmann den statistischen Vertrieb von materiellen Partikeln über verschiedene Energiestaaten im Thermalgleichgewicht, wenn die Temperatur hoch genug ist und Dichte niedrig genug ist, um unwesentliche Quant-Effekten zu machen.

Die erwartete Zahl von Partikeln mit der Energie für die Statistik von Maxwell-Boltzmann ist wo:

:

N_i = \frac {g_i} {e^ {(\varepsilon_i-\mu)/kT}} = \frac {N} {Z }\\, g_i e^ {-\varepsilon_i/kT }\

</Mathematik>wo:

• ist die Zahl von Partikeln im Staat i
• ist die Energie des i-th setzen fest
• ist die Entartung des Energieniveaus i, die Zahl der Staaten der Partikel (der "freien Partikel" Staat ausschließend), mit der Energie
• μ ist das chemische Potenzial
• k ist der unveränderliche von Boltzmann
• T ist absolute Temperatur
• N ist die Gesamtzahl von Partikeln

::

• Z ist die Teilungsfunktion

::

• e ist die Exponentialfunktion

Gleichwertig wird der Vertrieb manchmal als ausgedrückt

:

N_i = \frac {1} {e^ {(\varepsilon_i-\mu)/kT}} = \frac {N} {Z }\\, e^ {-\varepsilon_i/kT }\

</Mathematik>

wo der Index i jetzt einen besonderen Staat aber nicht den Satz aller Staaten mit der Energie und angibt

Eine Abstammung des Vertriebs von Maxwell-Boltzmann

Nehmen Sie an, dass wir einen Behälter mit einer riesigen Zahl von sehr kleinen identischen Partikeln haben. Sich obwohl die Partikeln identisch sind, identifizieren wir sie noch, indem wir Zahlen auf ihnen in der Weise ziehen, wie Lotteriebälle mit Zahlen etikettiert werden und sogar färbt.

Alle jene winzigen Partikeln bewegen sich innerhalb dieses Behälters in allen Richtungen mit der großen Geschwindigkeit. Weil die Partikeln ringsherum eilen, besitzen sie wirklich eine Energie. Der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann ist eine mathematische Funktion, die darüber spricht, wie viele Partikeln im Behälter eine bestimmte Energie haben.

Es kann sein, so dass viele Partikeln denselben Betrag der Energie haben. Die Zahl von Partikeln mit derselben Energie ist. Die Zahl von Partikeln, die eine andere Energie besitzen, ist. In der physischen Rede wird diese Behauptung in etwas Kompliziertes großzügig aufgeblasen, welche Staaten, dass jene viele Partikeln mit demselben Energiebetrag, alle ein so genanntes "Energieniveau" besetzen. Das Konzept des Energieniveaus wird verwendet, um die Eigenschaften von Partikeln und von ihnen erfahrenen Ereignissen grafisch/mathematisch zu beschreiben und zu analysieren. Physiker ziehen die Weisen in Betracht, wie Partikeln themself einordnen und so es mehr als eine Weise gibt, ein Energieniveau zu besetzen, und es der Grund ist, warum die Partikeln wie Lotterieball markiert wurden, um die Absichten über jeden von ihnen zu wissen.

Wollen zunächst wir das Entartungsproblem ignorieren: Nehmen Sie an, dass es nur eine einzelne Weise gibt, Partikeln ins Energieniveau zu stellen. Was folgt, als nächstes ist ein wenig kombinatorisches Denken, das wenig hat, um im genauen Beschreiben des Reservoirs von Partikeln zu tun.

Die Zahl von verschiedenen Weisen, eine bestellte Auswahl an einem einzelnem Gegenstand von N-Gegenständen durchzuführen, ist offensichtlich N. Die Zahl von verschiedenen Weisen, zwei Gegenstände von N-Gegenständen in einer besonderen Ordnung auszuwählen, ist so N (N &minus; 1) und, wie man sieht, ist dieses des Auswählens n Gegenstände in einer besonderen Ordnung N! / (N &minus; n). Die Zahl von Weisen, 2 Gegenstände von N-Gegenständen ohne Rücksicht auf die Ordnung auszuwählen, ist N (N &minus; 1) geteilt durch die Zahl von Wegen können 2 Gegenstände bestellt werden, der 2 ist. Es kann gesehen werden, dass die Zahl von Weisen, N-Gegenstände von Gegenständen ohne Rücksicht auf die Ordnung auszuwählen, der binomische Koeffizient ist: N! / (n! (N &minus; n)!) . Wenn wir jetzt etikettierten a den einer Reihe von Kästen, b, c, d, e..., k, dann die Zahl von Weisen haben, N-Gegenstände von insgesamt N Gegenstände auszuwählen und sie in den Kasten a, dann auswählende N-Gegenstände vom restlichen N &minus zu legen; N Gegenstände und das Stellen von ihnen im Kasten b, dann N auswählend, protestiert vom restlichen N &minus; N &minus; N Gegenstände und das Stellen von ihnen im Kasten c, und ständig bis wird kein Gegenstand verlassen draußen ist

:

\begin {richten }\aus

W & = \frac {N!} {N_a! (N-N_a)!} \times \frac {(N-N_a)!} {N_b! (N-N_a-N_b)!} ~ \times \frac {(N-N_a-N_b)!} {N_c! (N N_a N_b N_c)!} \times \ldots \times \frac {(N-\ldots-N_l)!} {N_k! (N \ldots N_l N_k)!} = \\\\

& = \frac {N!} {N_a! N_b! N_c! \ldots N_k! (N \ldots N_l N_k)! }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

und weil nicht sogar ein einzelner Gegenstand außerhalb der Kästen verlassen werden soll, deutet an, dass die Summe, die aus den Begriffen N, N, N, N, N..., N gemacht ist, N, so der Begriff (N - N - N - N-... - N - N) gleichkommen muss! in der Beziehung bewertet oben zu 0!. (0! =1), der möglich macht, diese Beziehung als niederzuschreiben

:\begin {richten }\aus

W & = N! \prod_ {i=a, b, c...} ^k \frac {1} {N_i! }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Jetzt zum Entartungsproblem zurückgehend, die das Reservoir von Partikeln charakterisieren. Wenn der i-th Kasten eine "Entartung" dessen hat, d. h. hat er "Subkästen", solch, dass jede Weise, den i-th Kasten zu füllen, wo die Zahl in den Subkästen geändert wird, eine verschiedene Weise ist, den Kasten zu füllen, dann muss die Zahl von Weisen, den i-th Kasten zu füllen, durch die Zahl von Weisen gesteigert werden, die Gegenstände in den "Subkästen" zu verteilen. Die Zahl von Weisen, unterscheidbare Gegenstände in "Subkästen" zu legen, ist. So die Zahl von Weisen, wie insgesamt Partikeln in Energieniveaus gemäß ihren Energien eingeteilt werden können, während jedes Niveau, das verschiedene solche Staaten hat, dass das i-th Niveau Partikeln anpasst, ist:

:

Das ist die Form für von Boltzmann zuerst abgeleiteten W. Die grundsätzliche Gleichung von Boltzmann verbindet das thermodynamische Wärmegewicht S mit der Zahl von Mikrostaaten W, wo k der unveränderliche Boltzmann ist. Wurde von Gibbs jedoch hingewiesen, dass der obengenannte Ausdruck für W kein umfassendes Wärmegewicht nachgibt, und deshalb fehlerhaft ist. Dieses Problem ist als das Paradox von Gibbs bekannt, das Das Problem darin besteht, dass die durch die obengenannte Gleichung betrachteten Partikeln ziemlich unterscheidbar sind. Mit anderen Worten, für zwei Partikeln (A und B) in zwei Energie ebnet die Bevölkerung sub, die durch [A vertreten ist, B] wird verschieden von der Bevölkerung [B,] betrachtet, während für nicht zu unterscheidende Partikeln sie nicht sind. Wenn wir das Argument für nicht zu unterscheidende Partikeln ausführen, werden wir nach dem Ausdruck von Bose-Einstein für W geführt:

:

Sowohl der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann als auch der Vertrieb von Bose-Einstein sind nur für Temperaturen ganz über der absoluten Null gültig, das andeutend. Der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann verlangt auch niedrige Dichte, das andeutend. Unter diesen Bedingungen können wir die Annäherung von Stirling für den factorial verwenden:

:

N! \approx N^N e^ {-N},

</Mathematik>

zu schreiben:

:

Das Verwenden der Tatsache das, weil wir wieder Annäherung von Stirlings verwenden können, um zu schreiben:

:

Das ist im Wesentlichen eine Abteilung durch N! des ursprünglichen Ausdrucks von Boltzmann für W und dieser Korrektur wird richtigen Boltzmann genannt, der zählt.

Wir möchten finden, für den die Funktion maximiert wird, während man die Einschränkung denkt, dass es eine festgelegte Zahl von Partikeln und einer festen Energie im Behälter gibt. Die Maxima dessen und werden durch dieselben Werte erreicht und, da es leichter ist, mathematisch zu vollbringen, werden wir die letzte Funktion stattdessen maximieren. Wir beschränken unser Lösungsverwenden Vermehrer von Lagrange, die die Funktion bilden:

:

f (N_1, N_2, \ldots, N_n) = \ln (W) + \alpha (N-\sum N_i) + \beta (E-\sum N_i \varepsilon_i)

</Mathematik>:

\ln W =\ln\left [\prod\limits_ {i=1} ^ {n }\\frac {g_i^ {N_i}} {N_i! }\\Recht] \approx \sum\limits_ {i=1} ^n\left (N_i\ln g_i-N_i\ln N_i + N_i\right)

</Mathematik>

Schließlich

:

f (N_1, N_2, \ldots, N_n) = \alpha N + \beta E +

\sum\limits_ {i=1} ^n\left (N_i\ln g_i-N_i\ln N_i + n_i-(\alpha +\beta\varepsilon_i) N_i\right)

</Mathematik>

Um den Ausdruck oben zu maximieren, wenden wir den Lehrsatz von Fermat an (stationäre Punkte), gemäß dem lokale extrema, wenn bestehen, muss an kritischen Punkten sein (partielle Ableitungen verschwinden):

:

\frac {\\teilweise f\{\\teilweiser N_i} = \ln g_i-\ln N_i - (\alpha +\beta\varepsilon_i) = 0

</Mathematik>Indem

wir die Gleichungen oben lösen, kommen wir in einen Ausdruck an für:

:

N_i = \frac {g_i} {e^ {\\Alpha +\beta \varepsilon_i}}

</Mathematik>

Das Ersetzen dieses Ausdrucks für in die Gleichung für und das Annehmen dass Erträge:

:

oder, das Unterscheiden und Umordnen:

:

Boltzmann hat begriffen, dass das gerade ein Ausdruck des zweiten Gesetzes der Thermodynamik ist. Sich dE als die innere Energie identifizierend, stellt das zweite Gesetz der Thermodynamik dass für die Schwankung nur im Wärmegewicht (S) und Partikel Nummer (N) fest:

:

wo T die Temperatur und &mu ist; ist das chemische Potenzial. Die berühmte Gleichung von Boltzmann ist die Verwirklichung, dass das Wärmegewicht zu mit der Konstante der Proportionalität proportional ist, die die Konstante von Boltzmann ist. Es folgt sofort dem, und so dass die Bevölkerungen jetzt geschrieben werden können:

:

N_i = \frac {g_i} {e^ {(\varepsilon_i-\mu)/kT}}

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass die obengenannte Formel manchmal geschrieben wird:

:

N_i = \frac {g_i} {e^ {\\varepsilon_i/kT}/z}

</Mathematik>

wo die absolute Tätigkeit ist.

Wechselweise können wir die Tatsache das verwenden

:

die Bevölkerungszahlen als zu erhalten

:

N_i = N\frac {g_i E^ {-\varepsilon_i/kT}} {Z}

</Mathematik>

wo Z die Teilungsfunktion ist, die definiert ist durch:

:

Z = \sum_i g_i e^ {-\varepsilon_i/kT }\

</Mathematik>

Eine andere Abstammung (nicht als grundsätzlich)

In der obengenannten Diskussion wurde die Vertriebsfunktion von Boltzmann über das direkte Analysieren der Vielfältigkeit eines Systems erhalten. Wechselweise kann man vom kanonischen Ensemble Gebrauch machen. In einem kanonischen Ensemble ist ein System im Thermokontakt mit einem Reservoir. Während Energie frei ist, zwischen dem System und dem Reservoir zu fließen, wie man denkt, hat das Reservoir ungeheuer große Hitzekapazität, um unveränderliche Temperatur, T für das vereinigte System aufrechtzuerhalten.

Im gegenwärtigen Zusammenhang, wie man annimmt, hat unser System die Energieniveaus mit der Entartung. Wie zuvor würden wir gern die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unser System Energie hat.

Wenn unser System im Staat ist, dann würde es eine entsprechende Zahl von für das Reservoir verfügbaren Mikrostaaten geben. Nennen Sie diese Zahl. Durch die Annahme wird das vereinigte System (des Systems interessieren wir uns für und das Reservoir), isoliert, so sind alle Mikrostaaten ebenso wahrscheinlich. Deshalb, zum Beispiel, wenn wir beschließen können, dass unser System zweimal so wahrscheinlich ist, im Staat zu sein, als. Im Allgemeinen, wenn die Wahrscheinlichkeit ist, dass unser System im Staat, ist

:

Seit dem Wärmegewicht des Reservoirs wird der obengenannte

:

Als nächstes rufen wir die thermodynamische Identität (aus dem ersten Gesetz der Thermodynamik) zurück:

:

In einem kanonischen Ensemble gibt es keinen Austausch von Partikeln, so ist der Begriff Null. Ähnlich gibt Das

:

wo und die Energien des Reservoirs und des Systems an beziehungsweise anzeigen. Für die zweite Gleichheit haben wir die Bewahrung der Energie verwendet. Das Ersetzen in die erste Gleichungsverbindung:

:

\frac {P (s_1)} {P (s_2)} = \frac {e^ {-E (s_1) / kT}} {e^ {-E (s_2) / kT}},

</Mathematik>

der, für jeden Staat s vom System einbezieht

:

P (s) = \frac {1} {Z} e^ {-E (s) / kT},

</Mathematik>

wo Z eine passend gewählte "Konstante" ist, um Gesamtwahrscheinlichkeit 1 zu machen. (Z ist unveränderlich vorausgesetzt, dass die Temperatur T invariant ist.) Es ist das offensichtlich

:

wo der Index s alle Mikrostaaten des Systems durchbohrt. Z wird manchmal die Summe von Boltzmann über Staaten (oder "Zustandsumme" im ursprünglichen Deutschen) genannt. Wenn wir die Summierung über die Energie eigenvalues statt aller möglichen Staaten mit einem Inhaltsverzeichnis versehen, muss Entartung in Betracht gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit unseres Systems, das Energie hat, ist einfach die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller entsprechenden Mikrostaaten:

:

wo, mit der offensichtlichen Modifizierung,

:

das ist dasselbe Ergebnis wie zuvor.

Anmerkungen

• Bemerken Sie, dass in dieser Formulierung die anfängliche Annahme "... annimmt, dass das System N Gesamtpartikeln hat...", wird verzichtet. Tatsächlich spielt die Zahl von durch das System besessenen Partikeln keine Rolle im Erreichen des Vertriebs. Eher wie viele Partikeln Staaten mit der Energie besetzen würden, folgt als eine leichte Folge.
• Was oben präsentiert worden ist, ist im Wesentlichen eine Abstammung der kanonischen Teilungsfunktion. Wie man sagen kann, indem man die Definitionen vergleicht, ist die Summe von Boltzmann über Staaten wirklich nicht von der kanonischen Teilungsfunktion verschieden.
• Genau kann dieselbe Annäherung verwendet werden, um Statistik von Fermi-Dirac und Bose-Einstein abzuleiten. Jedoch dort würde man das kanonische Ensemble durch das großartige kanonische Ensemble ersetzen, da es Austausch von Partikeln zwischen dem System und dem Reservoir gibt. Außerdem ist das System, das man in jenen Fällen denkt, ein einzelner Partikel-Staat, nicht eine Partikel. (In der obengenannten Diskussion könnten wir unser System angenommen haben, ein einzelnes Atom zu sein.)

Grenzen der Anwendbarkeit

Der Vertrieb von Bose-Einstein und Fermi-Dirac kann geschrieben werden:

:

N_i = \frac {g_i} {e^ {(\varepsilon_i-\mu)/kT }\\Mitglied des Parlaments 1}.

</Mathematik>

Das Annehmen des minimalen Werts dessen ist klein, es kann gesehen werden, dass die Bedingung, unter der der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann gültig ist, wenn darin besteht

:

Für ein ideales Benzin können wir das chemische Potenzial mit der Entwicklung im Artikel Sackur-Tetrode berechnen, um dass zu zeigen:

:

wo die innere Gesamtenergie ist, das Wärmegewicht ist, das Volumen ist, und die Thermalwellenlänge von de Broglie ist. Wie man wieder zeigt, ist die Bedingung für die Anwendbarkeit des Vertriebs von Maxwell-Boltzmann für ein ideales Benzin

:

Siehe auch

• Statistik von Bose-Einstein
• Fermi-Dirac Statistik

Bibliografie

• Carter, Ashley H., "Klassische und Statistische Thermodynamik", Prentice-Hall, Inc., 2001, New Jersey.
• Raj Pathria, "Statistische Mechanik", Butterworth-Heinemann, 1996.