Die bilinearen verwandeln sich (auch bekannt als die Methode von Tustin) wird in der Digitalsignalverarbeitung und Steuerungstheorie der diskreten Zeit verwendet, um dauernd-malige Systemdarstellungen zur diskreten Zeit und umgekehrt umzugestalten.

Die bilinearen verwandeln sich ist ein spezieller Fall eines conformal, der kartografisch darstellt (nämlich, die Transformation von Möbius), häufig verwendet, um eine Übertragungsfunktion eines geradlinigen, Zeit-Invariant (LTI) Filter im dauernd-maligen Gebiet umzuwandeln (hat häufig gerufen ein analoger Filter) zu einer Übertragungsfunktion eines geradlinigen, Shift-Invariant-Filters im Gebiet der diskreten Zeit (hat häufig einen Digitalfilter genannt, obwohl es analoge Filter gibt, die mit geschalteten Kondensatoren gebaut sind, die Filter der diskreten Zeit sind). Es stellt Positionen auf der Achse im s-plane zum Einheitskreis im z-plane kartografisch dar. Anderes bilineares verwandelt sich kann verwendet werden, um die Frequenzantwort jeder diskreten Zeit geradliniges System (zum Beispiel zu verziehen, um der nichtlinearen Frequenzentschlossenheit des menschlichen Gehörsystems näher zu kommen), und sind implementable im getrennten Gebiet durch das Ersetzen Einheitsverzögerungen eines Systems durch die ersten Ordnungsvollpass-Filter.

Die umgestalten Konserve-Stabilität und Karten jeder Punkt der Frequenzantwort des dauernd-maligen Filters, zu einem entsprechenden Punkt in der Frequenzantwort des Filters der diskreten Zeit, obwohl zu einer etwas verschiedenen Frequenz, wie gezeigt, in der Frequenzverwerfen-Abteilung unten. Das bedeutet, dass für jede Eigenschaft, die man in der Frequenzantwort des analogen Filters sieht, es eine entsprechende Eigenschaft, mit dem identischen Gewinn und der Phase-Verschiebung, in der Frequenzantwort des Digitalfilters, aber vielleicht an einer etwas verschiedenen Frequenz gibt. Das ist an niedrigen Frequenzen kaum bemerkenswert, aber ist an Frequenzen in der Nähe von der Frequenz von Nyquist ziemlich offensichtlich.

Annäherung der diskreten Zeit

Die bilinearen verwandeln sich ist eine Annäherung der ersten Ordnung der natürlichen Logarithmus-Funktion, die ist des z-plane zum s-plane genau kartografisch darzustellen. Wenn sich Laplace verwandeln, wird auf einem Signal der diskreten Zeit durchgeführt (mit jedem Element der Folge der diskreten Zeit, die einem entsprechend verzögerten Einheitsimpuls beigefügt ist), das Ergebnis ist genau der Z verwandeln sich der Folge der diskreten Zeit mit dem Ersatz von

:\begin {richten }\aus

z &= e^ {der St.} \\

&= \frac {e^ {der St./2}} {e^ {-sT/2}} \\

&\\ungefähr \frac {1 + s T / 2} {1 - s T / 2 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo die numerische Integrationsschritt-Größe der trapezoiden im bilinearen verwendeten Regel ist, gestalten Abstammung um. Die obengenannte bilineare Annäherung kann dafür gelöst werden, oder eine ähnliche Annäherung dafür kann durchgeführt werden.

Das Gegenteil davon (und seine erste Ordnung bilineare Annäherung) kartografisch darzustellen, ist

:\begin {richten }\aus

s &= \frac {1} {T} \ln (z) \\

&= \frac {2} {T} \left [\frac {z-1} {z+1} + \frac {1} {3} \left (\frac {z-1} {z+1} \right) ^3 + \frac {1} {5} \left (\frac {z-1} {z+1} \right) ^5 + \frac {1} {7} \left (\frac {z-1} {z+1} \right) ^7 + \cdots \right] \\

&\\ungefähr \frac {2} {T} \frac {z - 1} {z + 1} \\

&= \frac {2} {T} \frac {1 - z^ {-1}} {1 + z^ {-1} }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die bilinearen verwandeln sich im Wesentlichen verwendet diese erste Ordnungsannäherung und Ersatz in die dauernd-malige Übertragungsfunktion,

:

Das ist

:

Stabilität und minimal-phasiges Eigentum bewahrt

Ein dauernd-maliger kausaler Filter ist stabil, wenn die Pole seiner Übertragung Fall in der linken Hälfte des Komplexes s-plane fungieren. Kausaler Filter einer diskreten Zeit ist stabil, wenn die Pole seiner Übertragung Fall innerhalb des Einheitskreises im Komplex z-plane fungieren. Die bilinearen verwandeln sich stellt die linke Hälfte des Komplexes s-plane zum Interieur des Einheitskreises im z-plane kartografisch dar. So haben Filter im dauernd-maligen Gebiet entwickelt, die stabil sind, werden zu Filtern im Gebiet der diskreten Zeit diese Konserve diese Stabilität umgewandelt.

Ebenfalls ist ein dauernd-maliger Filter minimal-phasig, wenn die Nullen seiner Übertragung Fall in der linken Hälfte des Komplexes s-plane fungieren. Ein Filter der diskreten Zeit ist minimal-phasig, wenn die Nullen seiner Übertragung Fall innerhalb des Einheitskreises im Komplex z-plane fungieren. Dann versichert dasselbe kartografisch darstellende Eigentum, dass dauernd-malige Filter, die minimal-phasig sind, zu Filtern der diskreten Zeit umgewandelt werden, die dieses Eigentum bewahren, minimal-phasig zu sein.

Beispiel

Als ein Beispiel nehmen einen einfachen RC-Filter des niedrigen Passes. Dieser dauernd-malige Filter hat eine Übertragungsfunktion

:

H_a (s) &= \frac {1/sC} {R+1/sC} \\

&= \frac {1} {1 + FERNSTEUERUNG s}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Wenn wir diesen Filter als ein Digitalfilter durchführen möchten, können wir uns wenden die bilinearen verwandeln sich durch das Auswechseln die Formel oben; nach etwas Überarbeiten bekommen wir die folgende Filterdarstellung:

:

Die Koeffizienten des Nenners sind die Koeffizienten 'des Futters rückwärts', und die Koeffizienten des Zählers sind die 'mit dem Futter fortgeschrittenen' Koeffizienten, die verwendet sind, um einen Echtzeitdigitalfilter durchzuführen.

Das Frequenzverwerfen

Um die Frequenzantwort eines dauernd-maligen Filters zu bestimmen, wird die Übertragungsfunktion bewertet, an dem auf der Achse ist. Ebenfalls, um die Frequenzantwort eines Filters der diskreten Zeit zu bestimmen, wird die Übertragungsfunktion bewertet, an dem auf dem Einheitskreis ist. Wenn die wirkliche Frequenz dessen zum durch den Gebrauch des bilinearen entworfenen Filter der diskreten Zeit eingegeben wird, verwandeln sich, es wird gewünscht, um daran zu wissen, welche Frequenz, für den dauernd-maligen Filter, zu dem das kartografisch dargestellt wird.

::

Das zeigt, dass jeder Punkt auf dem Einheitskreis im Filter der diskreten Zeit z-plane, zu einem Punkt auf der Achse auf dem dauernd-maligen Filter s-plane kartografisch dargestellt wird. D. h. die diskrete Zeit zur dauernd-maligen des bilinearen kartografisch darstellenden Frequenz verwandelt sich ist

:

und umgekehrt kartografisch darzustellen, ist

:

Der Filter der diskreten Zeit benimmt sich an der Frequenz dieselbe Weise, wie sich der dauernd-malige Filter an der Frequenz benimmt. Spezifisch, ist Gewinn- und Phase-Verschiebung, die der Filter der diskreten Zeit an der Frequenz hat, derselbe Gewinn und Phase-Verschiebung, die der dauernd-malige Filter an der Frequenz hat. Das bedeutet, dass jede Eigenschaft, jede "Beule", die in der Frequenzantwort des dauernd-maligen Filters sichtbar ist, auch im Filter der diskreten Zeit, aber an einer verschiedenen Frequenz sichtbar ist. Für niedrige Frequenzen (d. h. wenn oder).

Man kann sehen, dass die komplette dauernde Frequenz anordnet

:

wird auf den grundsätzlichen Frequenzzwischenraum kartografisch dargestellt

:

Die dauernd-malige Filterfrequenz entspricht der Filterfrequenz der diskreten Zeit, und die dauernd-malige Filterfrequenz entsprechen der Filterfrequenz der diskreten Zeit

Sich man kann auch sehen, dass es eine nichtlineare Beziehung dazwischen gibt und Diese Wirkung des bilinearen verwandeln, wird das Frequenzverwerfen genannt. Der dauernd-malige Filter kann entworfen werden, um diese Frequenz zu ersetzen, die sich durch das Setzen für jede Frequenzspezifizierung wellt, dass der Entwerfer Kontrolle über (wie Eckfrequenz oder Zentrum-Frequenz) hat. Das wird genannt, das Filterdesign vorverziehend.

Der Hauptvorteil des sich wellenden Phänomenes ist die Abwesenheit der aliasing Verzerrung der Frequenzansprecheigenschaft, solcher, wie beobachtet, mit dem Impuls invariance. Es ist jedoch notwendig, die Frequenz zu ersetzen, die sich durch das Vorverwerfen der gegebenen Frequenzspezifizierungen des dauernd-maligen Systems wellt. Diese vorverzogenen Spezifizierungen können dann im bilinearen verwendet werden verwandeln sich, um das gewünschte System der diskreten Zeit zu erhalten.

Siehe auch

• Impuls invariance
• Verglichene Z-transform Methode