In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der Beta-Vertrieb eine Familie des dauernden Wahrscheinlichkeitsvertriebs, der auf dem Zwischenraum (0, 1) definiert ist, parametrisiert durch zwei positive Gestalt-Rahmen, die normalerweise durch α und β angezeigt sind. Dem Beta-Vertrieb kann dem statistischen Modellieren von Verhältnissen in Anwendungen angepasst werden, wo Werte von Verhältnissen, die 0 oder 1 gleich sind, nicht vorkommen. Ein theoretischer Fall, wo der Beta-Vertrieb entsteht, ist als der Vertrieb des Verhältnisses, das durch eine zufällige Variable gebildet ist, die einen Gammavertrieb durch die Summe davon und eine andere unabhängige zufällige Variable auch teilt, die einen Gammavertrieb mit demselben Skala-Parameter (aber vielleicht verschiedenem Gestalt-Parameter) hat.

Die übliche Formulierung des Beta-Vertriebs ist auch bekannt als der Beta-Vertrieb der ersten Art, wohingegen der Beta-Vertrieb der zweiten Art ein alternativer Name für das Beta Hauptvertrieb ist.

Charakterisierung

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion des Beta-Vertriebs ist:

:

\begin {richten }\aus

f (x; \alpha, \beta) & = \frac {x^ {\\Alpha 1} (1-x) ^ {\\Beta 1}} {\\int_0^1 u^ {\\Alpha 1\(1-u) ^ {\\Beta 1 }\\, du} \\[6pt]

& = \frac {\\Gamma (\alpha +\beta)} {\\Gamma (\alpha) \Gamma (\beta) }\\, x^ {\\Alpha 1\(1-x) ^ {\\Beta 1} \\[6pt]

& = \frac {1} {\\mathrm {B} (\alpha, \beta) }\\, x

^ {\\Alpha 1\(1-x) ^ {\\Beta 1 }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo die Gammafunktion ist. Die Beta-Funktion, B, erscheint als eine Normalisierung, die unveränderlich ist, um sicherzustellen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit zur Einheit integriert.

Eine zufällige Variable X, der mit der Gestalt α und β Beta-verteilt wird, wird angezeigt

:

Kumulative Vertriebsfunktion

Die kumulative Vertriebsfunktion ist

:

wo die unvollständige Beta-Funktion ist und die normalisierte unvollständige Beta-Funktion ist.

Eigenschaften

Die Weise eines Betas hat zufällige Variable X mit Rahmen α> 1 verteilt, und β> 1 ist:

:

\frac {\\Alpha - 1\{\\Alpha + \beta - 2\\\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der erwartete Wert (bösartig) , Abweichung (der zweite Hauptmoment), Schiefe (der dritte Hauptmoment), und kurtosis Übermaß (der vierte Hauptmoment) eines Beta-Vertriebs zufällige Variable X mit Rahmen α und β ist:

:

\mu &= \operatorname {E} (X) &&= \frac {\\Alpha} {\\Alpha + \beta} \\

\operatorname {Var} (X) &= \operatorname {E} (X - \mu) ^2 &&= \frac {\\Alpha \beta} {(\alpha + \beta) ^2 (\alpha + \beta + 1) }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Schiefe ist

:

{(\alpha + \beta + 2) \sqrt {\\Alpha \beta} }\

</Mathematik>

Das kurtosis Übermaß ist:

:

{\\Alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)} </Mathematik>

oder:

:{\\Alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)} </Mathematik>

Im Allgemeinen wird der th rohe Moment durch gegeben

:

wo ein Symbol-Darstellen von Pochhammer ist, das sich factorial erhebt. Es kann auch in einer rekursiven Form als geschrieben werden

:

Man kann auch dem zeigen

:

Mengen der Information

In Anbetracht verteilter zufälliger Variablen von zwei Beta, X ~ Beta (α, β) und Y ~ Beta (α ', β'), ist das Differenzialwärmegewicht X

:

h (X) &= \ln\mathrm {B} (\alpha, \beta) - (\alpha-1) \psi (\alpha) - (\beta-1) \psi (\beta) + (\alpha +\beta-2) \psi (\alpha +\beta)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo die Digamma-Funktion ist.

Das böse Wärmegewicht ist

:

Hieraus folgt dass die Kullback-Leibler Abschweifung zwischen diesem zwei Beta-Vertrieb ist

:

D_ {\\mathrm {KL}} (X, Y) = \ln\frac {\\mathrm {B} (\alpha', \beta') }\

{\\mathrm {B} (\alpha, \beta)} -

(\alpha '-\alpha) \psi (\alpha) - (\beta '-\beta) \psi (\beta) +

(\alpha '-\alpha +\beta '-\beta) \psi (\alpha +\beta).

</Mathematik>

Gestalten

Die Beta-Dichte-Funktion kann verschiedene Gestalten abhängig von den Werten der zwei Rahmen übernehmen:

• ist die Uniform [0,1] Vertrieb

• ist der arcsine Vertrieb

• ist ausschließlich konvexer

• ist eine Gerade
• ist ausschließlich konvexer
• ist eine Gerade

ist

• (Purpurrot & zyane Anschläge) unimodal

Außerdem, wenn dann die Dichte-Funktion über 1/2 (blau & Knäkente-Anschläge) symmetrisch ist.

Parameter-Bewertung

Lassen Sie

:

seien Sie die Probe bösartig und

:

seien Sie die Beispielabweichung. Die Schätzungen der Methode Momente der Rahmen sind

::

Wenn der Vertrieb über einen Zwischenraum außer [0 erforderlich ist, 1] ersetzen, sagen wir, dann durch und mit in den obengenannten Gleichungen.

Es gibt keine geschlossene Form der maximalen Wahrscheinlichkeitsschätzungen für die Rahmen.

Das Erzeugen Beta-verteilten zufälligen variates

Wenn und, mit und dann unabhängig sind, so soll ein Algorithmus, um Beta variates zu erzeugen, X / (X+Y) erzeugen, wo X ein Gamma variate mit Rahmen ist und Y ein unabhängiges Gamma variate mit Rahmen ist.

Außerdem ist die gleichförmig verteilten variates statistische Kth-Ordnung, so soll eine Alternative, wenn und kleine ganze Zahlen sind, Uniform variates erzeugen und das-th größte wählen.

Zusammenhängender Vertrieb

Transformationen

• Wenn dann
• Wenn dann. Das Beta Hauptvertrieb, auch genannt "Beta-Vertrieb der zweiten Art".
• Wenn dann (das Annehmen n> 0 und m> 0)
• Wenn, dann wo KECK, einen in der KECKEN Analyse verwendeten Vertrieb anzeigt. Gewöhnlich, der Gestalt der Normalverteilung näher zu kommen. Das ist das neue besser hat parametrization gepasst.
• Wenn dann Vertrieb von Kumaraswamy mit Rahmen
• Wenn dann Vertrieb von Kumaraswamy mit Rahmen

Wenn dann

Spezielle und beschränkende Fälle

• die Standardrechteckverteilung.
• Wenn und dann Halbkreis-Vertrieb von Wigner.

• ist Jeffreys, der für ein Verhältnis vorherig ist, und ist zum arcsine Vertrieb gleichwertig.

• der Exponentialvertrieb

• der Gammavertrieb

Abgeleitet aus anderem Vertrieb

• Die Kth-Ordnung, die einer Probe der Größe n von der Rechteckverteilung statistisch ist, ist ein Beta zufällige Variable,
• Wenn und dann

Wenn und dann

• Wenn und dann.
• Wenn, dann der ein spezieller Fall des Beta-Vertriebs ist, hat den Potenzfunktionsvertrieb genannt.

Kombination mit anderem Vertrieb

• und dann für den ganzen x> 0.

Das Zusammensetzen mit anderem Vertrieb

• Wenn und dann mit dem Beta binomischer Vertrieb
• Wenn und dann Beta negativer binomischer Vertrieb

Verallgemeinerungen

• Der Dirichlet Vertrieb ist eine multivariate Generalisation des Beta-Vertriebs. Univariate marginals des Vertriebs von Dirichlet haben einen Beta-Vertrieb.
• Der Beta-Vertrieb ist ein spezieller Fall des Vertriebs des Typs I von Pearson

• der Nichthauptbeta-Vertrieb

Anderer

• Binomische Meinungen in der subjektiven Logik sind zum Beta-Vertrieb gleichwertig.

Anwendungen

Ordnungsstatistik

Der Beta-Vertrieb hat eine wichtige Anwendung in der Theorie der Ordnungsstatistik. Ein grundlegendes Ergebnis besteht darin, dass der Vertrieb der k'th größten von einer Probe der Größe n von einer dauernden Rechteckverteilung einen Beta-Vertrieb hat. Dieses Ergebnis wird als zusammengefasst:

:

Davon und Anwendung der Theorie, die mit der integrierten Wahrscheinlichkeit verbunden ist, verwandeln sich, der Vertrieb jeder individuellen von jedem dauernden Vertrieb statistischen Ordnung kann abgeleitet werden.

Regel der Folge

Eine klassische Anwendung des Beta-Vertriebs ist die Regel der Folge, eingeführt im 18. Jahrhundert von Pierre-Simon Laplace im Laufe des Behandelns des Sonnenaufgang-Problems. Es stellt fest, dass, gegeben s Erfolge in n bedingt unabhängige Proben von Bernoulli mit der Wahrscheinlichkeit p, dass p als geschätzt werden sollte. Diese Schätzung kann als der erwartete Wert des späteren Vertriebs über p, nämlich Beta betrachtet werden (s + 1, n &minus; s + 1), der durch die Regel von Buchten gegeben wird, wenn man eine Uniform annimmt, die über p (d. h., Beta (1, 1)) vorherig ist, und dann bemerkt, dass p s Erfolge in n Proben erzeugt hat.

Schlussfolgerung von Bayesian

Beta-Vertrieb wird umfassend in der Schlussfolgerung von Bayesian verwendet, da Beta-Vertrieb eine Familie des verbundenen vorherigen Vertriebs für das Binom (einschließlich Bernoullis) und geometrischen Vertriebs zur Verfügung stellt. Der Vertrieb des Betas (0,0) ist ein unpassender vorheriger und hat manchmal gepflegt, Unerfahrenheit von Parameter-Werten zu vertreten.

Das Gebiet des Beta-Vertriebs kann als eine Wahrscheinlichkeit angesehen werden, und tatsächlich wird der Beta-Vertrieb häufig verwendet, um den Vertrieb eines unbekannten Wahrscheinlichkeitswerts - normalerweise, als der vorherige Vertrieb über einen Wahrscheinlichkeitsparameter, wie die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs in einem binomischen Vertrieb oder Vertrieb von Bernoulli zu beschreiben. Tatsächlich ist der Beta-Vertrieb der verbundene vorherige vom binomischen Vertrieb und Vertrieb von Bernoulli.

Der Beta-Vertrieb ist der spezielle Fall des Vertriebs von Dirichlet mit nur zwei Rahmen, und das Beta ist zum Binom und Vertrieb von Bernoulli auf genau dieselbe Weise verbunden, wie der Vertrieb von Dirichlet zum multinomial Vertrieb und kategorischen Vertrieb verbunden ist.

In der Bayesian Schlussfolgerung kann der Beta-Vertrieb als die spätere Wahrscheinlichkeit des Parameters p von einem binomischen Vertrieb abgeleitet werden

nach dem Beobachten α &minus; 1 Erfolge (mit der Wahrscheinlichkeit p des Erfolgs) und β &minus; 1 Misserfolge (mit der Wahrscheinlichkeit 1 &minus; p des Misserfolgs). Eine andere Weise, das auszudrücken, besteht darin, dass das Stellen eines vorherigen Vertriebs auf dem Parameter p eines binomischen Vertriebs zum Hinzufügen α Pseudobeobachtungen "des Erfolgs" und β Pseudobeobachtungen "des Misserfolgs" zur wirklichen Zahl von Erfolgen und der Misserfolge beobachtet gleichwertig ist, dann den Parameter p durch das Verhältnis von Erfolgen sowohl über echten - als auch über Pseudobeobachtungen schätzend. Wenn α und β größer sind als 0, hat das die Wirkung, den Vertrieb der Rahmen durch das Sicherstellen wegzuräumen, dass eine positive Wahrscheinlichkeitsmasse allen Rahmen zugeteilt wird, selbst wenn keine wirklichen Beobachtungen entsprechend jenen Rahmen beobachtet werden. Werte von α und β weniger als 1 Bevorzugung sparsity, d. h. Vertrieb, wo der Parameter p entweder 0 oder 1 nah ist. Tatsächlich fungieren α und β, wenn sie zusammen funktionieren, als ein Konzentrationsparameter; sieh dass Artikel für mehr Details.

Das Aufgabe-Dauer-Modellieren

Der Beta-Vertrieb kann an Musterereignisse gewöhnt sein, die beschränkt werden, innerhalb eines durch einen minimalen und maximalen Wert definierten Zwischenraums stattzufinden. Deshalb wird der Beta-Vertrieb — zusammen mit dem Dreiecksvertrieb — umfassend in der KECKEN, kritischen Pfad-Methode (CPM) und dem anderen Projektmanagement / Regelsysteme verwendet, um die Zeit zur Vollziehung einer Aufgabe zu beschreiben. Im Projektmanagement wird Schnellschrift-Berechnung weit verwendet, um die Mittel- und Standardabweichung des Beta-Vertriebs zu schätzen:

:

\mu (X) & {} = \frac {+ 4b + c} {6} \\

\sigma (X) & {} = \frac {c-a} {6 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo des Minimums, c zu sein, das Maximum ist, und b der wahrscheinlichste Wert ist.

Das Verwenden dieses Satzes von Annäherungen ist als drei Punktschätzung bekannt und ist nur für besondere Werte von α und β, spezifisch wenn genau:

::

oder umgekehrt.

Das sind namentlich schlechte Annäherungen für den grössten Teil anderen Beta-Vertriebs, der durchschnittliche Fehler von 40 % im bösartigen und 549 % in der Abweichung ausstellt

Alternative parameterizations

Mittel- und Beispielgröße

Der Beta-Vertrieb kann auch in Bezug auf seinen Mittel-μ und Beispielgröße wiederparametrisiert werden (ν> 0). Das ist nach der Parameter-Bewertung von Bayesian nützlich, wenn man eine unvoreingenommene über das bösartige vorherige (Uniform) legen will. Zum Beispiel kann man einen Test mehreren Personen verwalten. Wenn es angenommen wird, dass die Kerbe jeder Person (0  θ  1) von einem Bevölkerungsniveau-Beta-Vertrieb gezogen wird, dann ist ein wichtiger statistischer der bösartige von diesem Bevölkerungsniveau-Vertrieb. Die Mittel- und Beispielgröße-Rahmen sind mit den Gestalt-Rahmen α und β über verbunden

:

\alpha & {} = \mu \nu, \\

\beta & {} = (1 - \mu) \nu.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Unter diesem parameterization kann man eine Uniform legen, die über das bösartige, und ein vager vorheriger (wie ein Exponentialvertrieb oder Gammavertrieb) über den positiven reals für die Beispielgröße vorherig ist.

Das Schütter-werdende-Nichols Modell ist ein ähnlicher Zwei-Parameter-reparameterization des Beta-Vertriebs.

Vier Rahmen

Ein Beta-Vertrieb mit den zwei Gestalt-Rahmen α und β wird auf der Reihe [0,1] unterstützt. Es ist möglich, die Position und Skala des Vertriebs durch das Einführen zwei weiterer Rahmen zu verändern, die die minimalen und maximalen Werte des Vertriebs vertreten.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion des vier Parameter-Beta-Vertriebs wird durch gegeben

::

f (y; \alpha, \beta, a, b) = \frac {1} {B (\alpha, \beta)} \frac {(y-a) ^ {\\Alpha 1} (b-y) ^ {\\Beta 1}} {(b-a) ^ {\\Alpha +\beta-1}}.

</Mathematik>

Das bösartige, die Weise und die Abweichung des vier Rahmen-Beta-Vertriebs sind:

::

::::

Die Standardform kann durch das Lassen erhalten werden

:

x = \frac {y-a} {b-a}.

</Mathematik>

Links

• "Beta-Vertrieb" durch Fiona Maclachlan, das Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.
• Beta-Vertrieb - Übersicht und Beispiel, xycoon.com
• Beta-Vertrieb, Brighton-webs.co.uk