In der Geometrie ist eine Höhe eines Dreiecks eine Gerade durch einen Scheitelpunkt und Senkrechte zu (d. h. das Formen eines richtigen Winkels mit) eine Linie, die die Basis (die Gegenseite des Dreiecks) enthält. Diese Linie, die die Gegenseite enthält, wird die verlängerte Basis der Höhe genannt. Die Kreuzung zwischen der verlängerten Basis und der Höhe wird den Fuß der Höhe genannt. Die Länge der Höhe, häufig einfach genannt die Höhe, ist die Entfernung zwischen der Basis und dem Scheitelpunkt. Der Prozess, die Höhe vom Scheitelpunkt bis den Fuß zu ziehen, ist als das Fallen der Höhe dieses Scheitelpunkts bekannt. Es ist ein spezieller Fall des orthogonalen Vorsprungs.

Höhen können verwendet werden, um das Gebiet eines Dreiecks zu schätzen: Eine Hälfte des Produktes einer Länge einer Höhe und der Länge seiner Basis kommt dem Gebiet des Dreiecks gleich. So ist die längste Höhe auf der kürzesten Seite des Dreiecks rechtwinklig. Die Höhen sind auch mit den Seiten des Dreiecks durch die trigonometrischen Funktionen verbunden.

In einem gleichschenkligen Dreieck (ein Dreieck mit zwei kongruenten Seiten) die Höhe, die die incongruent Seite weil hat, wird seine Basis den Mittelpunkt dieser Seite als sein Fuß haben. Auch die Höhe, die die incongruent Seite als seine Basis hat, wird die Winkelhalbierungslinie des Scheitelpunkts bilden.

In einem rechtwinkligen Dreieck, der Höhe mit der Hypotenuse weil teilt Basis die Hypotenuse in zwei Längen p und q. Wenn wir die Länge der Höhe durch h anzeigen, haben wir dann die Beziehung

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Der orthocenter

Die drei Höhen schneiden sich in einem einzelnen Punkt, genannt den orthocenter des Dreiecks. Der orthocenter liegt innerhalb des Dreiecks (und folglich die Füße der Höhen den ganzen Herbst auf dem Dreieck), wenn, und nur wenn das Dreieck nicht stumpf ist (d. h. hat keinen Winkel, der größer ist als ein richtiger Winkel). Siehe auch orthocentric System.

Der orthocenter, zusammen mit dem centroid, circumcenter und Zentrum des Neun-Punkte-Kreises lügen alle auf einer einzelnen Linie, die als die Linie von Euler bekannt ist. Das Zentrum des Neun-Punkte-Kreises liegt am Mittelpunkt zwischen dem orthocenter und dem circumcenter, und die Entfernung zwischen dem centroid und dem circumcenter ist Hälfte davon zwischen dem centroid und dem orthocenter.

Verschieden vom centroid und circumcenter eines Dreiecks hat der orthocenter keine speziellen Eigenschaften (solcher als gleich weit entfernt seiend von allen Seiten oder Scheitelpunkten).

Der isogonal verbunden und auch die Ergänzung des orthocenter ist der circumcenter.

Vier Punkte im solchem Flugzeug, dass einer von ihnen der orthocenter des durch die anderen drei gebildeten Dreiecks ist, werden ein orthocentric System oder orthocentric Viereck genannt.

Lassen Sie A, B, C zeigen die Winkel des Bezugsdreiecks an, und lassen = |BC, b = |CA, c = |AB der sidelengths sein. Der orthocenter hat Trilinear-Koordinaten sec A: sec B: Sec C und barycentric koordinieren

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Dreieck von Orthic

Wenn das Dreieck-Abc schief ist (nicht rechtwinklig), bilden die Punkte der Kreuzung der Höhen mit den Seiten des Dreiecks ein anderes Dreieck, A'B'C' haben das orthic Dreieck oder Höhe-Dreieck gerufen. Es ist das Pedal-Dreieck des orthocenter des ursprünglichen Dreiecks. Außerdem ist der incenter (d. h. das Zentrum für den eingeschriebenen Kreis) des orthic Dreiecks der orthocenter des ursprünglichen Dreiecks.

Das orthic Dreieck ist nah mit dem tangentialen Dreieck, gebaut wie folgt verbunden: Lassen Sie L die Linientangente zum circumcircle des Dreieck-Abc am Scheitelpunkt A sein, und L und L analog zu definieren. Lassen Sie" = L  L, B" = L  L, C" = L  L. Das tangentiale Dreieck, "B "C", ist homothetic zum orthic Dreieck.

Das orthic Dreieck stellt die Lösung des Problems von Fagnano zur Verfügung, das 1775 um das minimale in einem gegebenen Dreieck des akuten Winkels eingeschriebene Umfang-Dreieck gebeten hat.

Das orthic Dreieck eines akuten Dreiecks gibt einen leichten Dreiecksweg.

Koordinaten von Trilinear für die Scheitelpunkte des orthic Dreiecks werden durch gegeben

• ' = 0: sec B: sec C
• B' = sec A: 0: sec C
• C' = sec A: sec B: 0

Koordinaten von Trilinear für die Scheitelpunkte des tangentialen Dreiecks werden durch gegeben

• " = −a: b: c
• B" = a: −b: c
• C" = a: b:

Einige zusätzliche Höhe-Lehrsätze

Höhe in Bezug auf die Seiten

Für jedes Dreieck mit Seiten a, b, c und Halbumfang s = (a+b+c) / 2, die Höhe von der Seite gegeben durch zu sein

Das folgt aus dem Kombinieren der Formel des Reihers für das Gebiet eines Dreiecks in Bezug auf die Seiten mit der Bereichsformel (1/2) ×base×height, wo die Basis als Seite a genommen wird und die Höhe die Höhe von a ist.

Gleichseitiger Dreieck-Lehrsatz

Für jeden Punkt P innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks ist die Summe der Senkrechten zu den drei Seiten der Höhe des Dreiecks gleich. Das ist der Lehrsatz von Viviani.

Lehrsätze von Inradius

Denken Sie ein willkürliches Dreieck mit Seiten a, b, c und mit entsprechendem

Höhen α, β, η. Die Höhen und der incircle Radius r sind durch verbunden

Lassen Sie c, h, s die Seiten von drei Quadraten sein, die mit dem Recht vereinigt sind

Dreieck: Das Quadrat auf der Hypotenuse und die zwei des Dreiecks haben eingeschrieben

Quadrate beziehungsweise. Die Seiten dieser Quadrate (c> h> s)

und der incircle Radius r ist durch eine ähnliche Formel verbunden:

Beziehung unter Höhen des rechtwinkligen Dreieckes

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die drei Höhen α, β, η (von denen die ersten zwei mit den Beinen b und beziehungsweise zusammenfallen) gemäß verbunden

Beziehung unter Seiten von Quadraten auf und in einem rechtwinkligen Dreieck

Auch im Fall vom rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten c, h, s der drei oben erwähnten Quadrate mit einander durch den symphonischen Lehrsatz verbunden, der das festsetzt

Bereichslehrsatz

Die Höhen von Seiten a, b, und c beziehungsweise als anzeigend, und, und die Halbsumme der Gegenstücke der Höhen anzeigend, weil wir haben

Siehe auch

• Höhe
• Dreieck-Zentrum
• Mittellinie (Geometrie)

Reihenverweisungen

Links

• Orthocenter eines Dreiecks Mit dem interaktiven Zeichentrickfilm
• Belebte Demonstration des orthocenter Baukompasses und Haarlineals.
• Ein interaktives Java applet für den orthocenter
• Das Problem von Fagnano durch Jay Warendorff, Wolfram-Demonstrationsprojekt.