Ein Dreieck ist eine der grundlegenden Gestalten der Geometrie: Ein Vieleck mit drei Ecken oder Scheitelpunkten und drei Seiten oder Rändern, die Liniensegmente sind. Ein Dreieck mit Scheitelpunkten A, B, und C wird angezeigt.

In der Euklidischen Geometrie irgendwelche drei nicht - bestimmen Punkte ein einzigartiges Dreieck und ein einzigartiges Flugzeug (d. h. ein zweidimensionaler Euklidischer Raum).

Typen von Dreiecken

Durch Verhältnislängen von Seiten

Dreiecke können gemäß den Verhältnislängen ihrer Seiten klassifiziert werden:

• In einem gleichseitigen Dreieck haben alle Seiten dieselbe Länge. Ein gleichseitiges Dreieck ist auch ein regelmäßiges Vieleck mit allen Winkeln, die 60 ° messen.
• In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten in der Länge gleich. Ein gleichschenkliges Dreieck hat auch zwei Winkel desselben Maßes; nämlich, die Winkel gegenüber den zwei Seiten derselben Länge; diese Tatsache ist der Inhalt des Gleichschenkligen Dreieck-Lehrsatzes. Einige Mathematiker definieren ein gleichschenkliges Dreieck, um genau zwei gleiche Seiten zu haben, wohingegen andere ein gleichschenkliges Dreieck als ein mit mindestens zwei gleichen Seiten definieren. Die letzte Definition würde alle gleichseitigen Dreiecke gleichschenklige Dreiecke machen. Das 45-45-90 Rechtwinklige Dreieck, das im mit Ziegeln deckenden Tetrakis Square erscheint, ist gleichschenklig.
• In einem scalene Dreieck sind alle Seiten ungleich. Die drei Winkel sind auch alle, die im Maß verschieden sind. Einige (aber nicht alle) scalene Dreiecke sind auch rechtwinklige Dreiecke.

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In Diagrammen, die Dreiecke (und andere geometrische Zahlen) vertreten, werden "Zecke"-Zeichen entlang den Seiten verwendet, um Seiten von gleichen Längen anzuzeigen - das gleichseitige Dreieck hat Hochkommas auf allen 3 Seiten, das gleichschenklige auf 2 Seiten. Der scalene hat einzelne, doppelte und dreifache Hochkommas, anzeigend, dass keine Seiten gleich sind. Ähnlich werden Kreisbogen innerhalb der Scheitelpunkte verwendet, um gleiche Winkel anzuzeigen. Das gleichseitige Dreieck zeigt an, dass alle 3 Winkel gleich sind; die gleichschenkligen Shows 2 identische Winkel. Der scalene zeigt durch 1, 2, und 3 Kreisbogen an, dass keine Winkel gleich sind.

Durch innere Winkel

Dreiecke können auch gemäß ihren inneren Winkeln, gemessen hier in Graden klassifiziert werden.

• Ein rechtwinkliges Dreieck (oder rechtwinkliges Dreieck, früher genannt ein rectangled Dreieck) hat einen seiner Innenwinkel, die 90 ° (ein richtiger Winkel) messen. Die Seite gegenüber dem richtigen Winkel ist die Hypotenuse; es ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreieckes. Die anderen zwei Seiten werden die Beine oder catheti genannt (einzigartig:) des Dreiecks. Rechtwinklige Dreiecke folgen dem Pythagoreischen Lehrsatz: Die Summe der Quadrate der Längen der zwei Beine ist dem Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich: wo a und b die Längen der Beine sind und c die Länge der Hypotenuse ist. Spezielle rechtwinklige Dreiecke sind rechtwinklige Dreiecke mit zusätzlichen Eigenschaften, die Berechnungen machen, die mit ihnen leichter verbunden sind. Einer der am berühmtesten zwei ist das 3-4-5 rechtwinklige Dreieck, wo. In dieser Situation, 3, 4, und 5 sind ein Dreifacher Pythagoreer. Der andere ist ein gleichschenkliges Dreieck, das 2 Winkel dass jedes Maß 45 Grade hat.
• Dreiecke, die keinen Winkel haben, der 90 ° misst, werden schiefe Dreiecke genannt.
• Ein Dreieck, das alle Innenwinkel hat, die weniger als 90 ° messen, ist ein akutes Dreieck oder spitzwinkliges Dreieck.
• Ein Dreieck, das einen Winkel hat, der mehr als 90 ° misst, ist ein stumpfes Dreieck oder stumpf umgebogenes Dreieck.
• Ein "Dreieck" mit einem Innenwinkel von 180 ° (und Scheitelpunkte) ist degeneriert.

Ein Dreieck, das zwei Winkel mit demselben Maß auch hat, hat zwei Seiten mit derselben Länge, und deshalb ist es ein gleichschenkliges Dreieck. Hieraus folgt dass in einem Dreieck, wo alle Winkel dasselbe Maß haben, alle drei Seiten dieselbe Länge haben, und solch ein Dreieck deshalb gleichseitig ist.

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Grundlegende Tatsachen

Wie man

annimmt, sind Dreiecke zweidimensionale Flugzeug-Zahlen, wenn der Zusammenhang sonst nicht zur Verfügung stellt (sieh Nichtplanare Dreiecke, unten). In strengen Behandlungen wird ein Dreieck deshalb einen 2-Simplexe-genannt (sieh auch Polytope). Elementare Tatsachen über Dreiecke wurden von Euklid in Büchern 1-4 seiner Elemente, ungefähr 300 v. Chr. präsentiert.

Die Maßnahmen der Innenwinkel eines Dreiecks im Euklidischen Raum belaufen sich immer auf 180 Grade. Das erlaubt Entschluss vom Maß des dritten Winkels jedes Dreiecks gegeben das Maß von zwei Winkeln. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist ein Winkel, der ein geradliniges Paar (und folglich ergänzend) zu einem Innenwinkel ist. Das Maß eines Außenwinkels eines Dreiecks ist der Summe der Maßnahmen der zwei Innenwinkel gleich, die nicht daneben sind; das ist der Außenwinkellehrsatz. Die Summe der Maßnahmen der drei Außenwinkel (ein für jeden Scheitelpunkt) jedes Dreiecks ist 360 Grade.

Die Summe der Längen irgendwelcher zwei Seiten eines Dreiecks überschreitet immer die Länge der dritten Seite, ein als die Dreieck-Ungleichheit bekannter Grundsatz. Da, wie man annimmt, die Scheitelpunkte eines Dreiecks non-collinear sind, ist es für die Summe der Länge von zwei Seiten nicht möglich, der Länge der dritten Seite gleich zu sein.

Wie man

sagt, sind zwei Dreiecke ähnlich, wenn jeder Winkel eines Dreiecks dasselbe Maß wie der entsprechende Winkel im anderen Dreieck hat. Die entsprechenden Seiten von ähnlichen Dreiecken haben Längen, die in demselben Verhältnis sind, und dieses Eigentum auch genügend ist, um Ähnlichkeit zu gründen.

Einige grundlegende Lehrsätze über ähnliche Dreiecke:

• Wenn zwei entsprechende innere Winkel von zwei Dreiecken dasselbe Maß haben, sind die Dreiecke ähnlich.
• Wenn zwei entsprechende Seiten von zwei Dreiecken im Verhältnis sind, und ihre eingeschlossenen Winkel dasselbe Maß haben, dann sind die Dreiecke ähnlich. (Der eingeschlossene Winkel für irgendwelche zwei Seiten eines Vielecks ist der innere Winkel zwischen jenen zwei Seiten.)
• Wenn drei entsprechende Seiten von zwei Dreiecken im Verhältnis sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Zwei Dreiecke, die kongruent sind, haben genau dieselbe Größe und Gestalt: Alle Paare von entsprechenden Innenwinkeln sind im Maß gleich, und alle Paare von entsprechenden Seiten haben dieselbe Länge. (Das ist insgesamt sechs Gleichheiten, aber drei sind häufig genügend, um Kongruenz zu beweisen.)

Einige genügend Bedingungen für ein Paar von Dreiecken, um kongruent zu sein, sind:

• SAS Postulat: Zwei Seiten in einem Dreieck haben dieselbe Länge wie zwei Seiten im anderen Dreieck, und die eingeschlossenen Winkel haben dasselbe Maß.
• ASA: Zwei Innenwinkel und die eingeschlossene Seite in einem Dreieck haben dasselbe Maß und Länge, beziehungsweise, als diejenigen im anderen Dreieck. (Die eingeschlossene Seite für ein Paar von Winkeln ist die Seite, die für sie üblich ist.)
• SSS: Jede Seite eines Dreiecks hat dieselbe Länge wie eine entsprechende Seite des anderen Dreiecks.
• Automatisches Buchungssystem: Zwei Winkel und eine (nichteingeschlossene) Seite in einem Dreieck haben dasselbe Maß und Länge, beziehungsweise, als diejenigen im anderen Dreieck. (Das wird manchmal AAcorrS genannt und schließt dann ASA oben ein.)
• Lehrsatz von Hypotenuse-Leg (HL): Die Hypotenuse und ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck haben dieselbe Länge wie diejenigen in einem anderen rechtwinkligen Dreieck. Das wird auch RHS (richtiger Winkel, Hypotenuse, Seite) genannt.
• Lehrsatz des Hypotenuse-Winkels: Die Hypotenuse und ein akuter Winkel in einem rechtwinkligem Dreieck haben dieselbe Länge und Maß, beziehungsweise, als diejenigen im anderen rechtwinkligen Dreieck. Das ist gerade ein besonderer Fall des Lehrsatzes des automatischen Buchungssystems.

Ein wichtiger Fall:

• Seitenseitenwinkel (oder Winkelseitenseite) Bedingung: Wenn zwei Seiten und ein entsprechender nichteingeschlossener Winkel eines Dreiecks dieselbe Länge und Maß, beziehungsweise, als diejenigen in einem anderen Dreieck haben, dann ist das nicht genügend, um Kongruenz zu beweisen; aber wenn der gegebene Winkel gegenüber der längeren Seite der zwei Seiten ist, dann sind die Dreiecke kongruent. Der Lehrsatz des Hypotenuse-Beines ist ein besonderer Fall dieses Kriteriums. Die Seitenseitenwinkel-Bedingung versichert nicht allein, dass die Dreiecke kongruent sind, weil ein Dreieck stumpf umgebogen werden konnte und anderes spitzwinkliges.

Mit rechtwinkligen Dreiecken und dem Konzept der Ähnlichkeit können der trigonometrische Funktionssinus und Kosinus definiert werden. Das sind Funktionen eines Winkels, die in der Trigonometrie untersucht werden.

Ein Hauptlehrsatz ist der Pythagoreische Lehrsatz, der in jedem rechtwinkligen Dreieck festsetzt, kommt das Quadrat der Länge der Hypotenuse der Summe der Quadrate der Längen der zwei anderen Seiten gleich. Wenn die Hypotenuse Länge c hat, und die Beine Längen a und b haben, dann setzt der Lehrsatz das fest

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Das gegenteilige ist wahr: Wenn die Längen der Seiten eines Dreiecks die obengenannte Gleichung befriedigen, dann hat das Dreieck eine richtige Winkelgegenseite c.

Einige andere Tatsachen über rechtwinklige Dreiecke:

• Die akuten Winkel eines rechtwinkligen Dreieckes sind ergänzend.

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• Wenn die Beine eines rechtwinkligen Dreieckes dieselbe Länge haben, dann haben die Winkel gegenüber jenen Beinen dasselbe Maß. Da diese Winkel ergänzend sind, hieraus folgt dass jeder 45 Grade misst. Durch den Pythagoreischen Lehrsatz ist die Länge der Hypotenuse die Länge eines Beines Zeiten 2.
• In einem rechtwinkligen Dreieck mit akuten Winkeln, die 30 und 60 Grade messen, ist die Hypotenuse zweimal die Länge der kürzeren Seite, und die längere Seite ist der Länge der kürzeren Seitenzeiten 3 gleich:

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Für alle Dreiecke sind Winkel und Seiten nach dem Gesetz von Kosinus verbunden, und Gesetz von Sinus (hat auch die Kosinus-Regel und Sinus-Regel genannt).

Punkte, Linien und Kreise haben mit einem Dreieck verkehrt

Es gibt Hunderte von verschiedenen Aufbauten, die einen speziellen Punkt vereinigt mit (und häufig innen) ein Dreieck finden, ein einzigartiges Eigentum befriedigend: Sieh die Bezugsabteilung für einen Katalog von ihnen. Häufig werden sie gebaut, indem sie drei Linien vereinigt auf eine symmetrische Weise mit den drei Seiten (oder Scheitelpunkte) gefunden wird und dann bewiesen wird, dass sich die drei Linien in einem einzelnen Punkt treffen: Ein wichtiges Werkzeug, für die Existenz von diesen zu beweisen, ist der Lehrsatz von Ceva, der ein Kriterium gibt, um zu bestimmen, wenn drei solche Linien gleichzeitig sind. Ähnlich werden mit einem Dreieck vereinigte Linien häufig durch den Beweis gebaut, dass drei symmetrisch gebaute Punkte sind: Hier gibt der Lehrsatz von Menelaus ein nützliches allgemeines Kriterium. In dieser Abteilung gerade werden einige der meistens gestoßenen Aufbauten erklärt.

Eine rechtwinklige Halbierungslinie einer Seite eines Dreiecks ist eine Gerade, die den Mittelpunkt der Seite durchführt und darauf rechtwinklig ist, d. h. einen richtigen Winkel damit bildet. Die drei rechtwinkligen Halbierungslinien treffen sich in einem einzelnen Punkt, dem circumcenter des Dreiecks; dieser Punkt ist das Zentrum des circumcircle, der Kreis, der alle drei Scheitelpunkte durchführt. Das Diameter dieses Kreises, genannt den circumdiameter, kann aus dem Gesetz von angegebenen Sinus gefunden werden. Der Radius des circumcircle wird den circumradius genannt.

Der Lehrsatz von Thales deutet dass an, wenn der circumcenter auf einer Seite des Dreiecks gelegen wird, dann ist der entgegengesetzte Winkel ein richtiger. Wenn der circumcenter innerhalb des Dreiecks gelegen wird, dann ist das Dreieck akut; wenn der circumcenter außerhalb des Dreiecks gelegen wird, dann ist das Dreieck stumpf.

Eine Höhe eines Dreiecks ist eine Gerade durch einen Scheitelpunkt und Senkrechte zu (d. h. das Formen eines richtigen Winkels mit) die Gegenseite. Diese Gegenseite wird die Basis der Höhe genannt, und der Punkt, wo die Höhe die Basis durchschneidet (oder seine Erweiterung) wird den Fuß der Höhe genannt. Die Länge der Höhe ist die Entfernung zwischen der Basis und dem Scheitelpunkt. Die drei Höhen schneiden sich in einem einzelnen Punkt, genannt den orthocenter des Dreiecks. Der orthocenter liegt innerhalb des Dreiecks, wenn, und nur wenn das Dreieck akut ist.

Eine Winkelhalbierungslinie eines Dreiecks ist eine Gerade durch einen Scheitelpunkt, der den entsprechenden Winkel entzwei schneidet. Die drei Winkelhalbierungslinien schneiden sich in einem einzelnen Punkt, dem incenter, dem Zentrum des incircle des Dreiecks. Der incircle ist der Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten berührt. Sein Radius wird den inradius genannt. Es gibt drei andere wichtige Kreise, die Ex-Kreise; sie liegen außerhalb des Dreiecks und berühren eine Seite sowie die Erweiterungen der anderen zwei. Die Zentren in - und Ex-Kreise bilden ein orthocentric System.

Eine Mittellinie eines Dreiecks ist eine Gerade durch einen Scheitelpunkt und den Mittelpunkt der Gegenseite, und teilt das Dreieck in zwei gleiche Gebiete. Die drei Mittellinien schneiden sich in einem einzelnen Punkt, dem centroid des Dreiecks oder geometrischem barycenter. Der centroid eines starren Dreiecksgegenstands (Kürzung aus einer dünnen Platte der gleichförmigen Dichte) ist auch sein Zentrum der Masse: Der Gegenstand kann auf seinem centroid in einem gleichförmigen Schwerefeld erwogen werden. Der centroid schneidet jede Mittellinie im Verhältnis 2:1, d. h. die Entfernung zwischen einem Scheitelpunkt und dem centroid ist zweimal die Entfernung zwischen dem centroid und dem Mittelpunkt der Gegenseite.

Die Mittelpunkte der drei Seiten und die Füße der drei Höhen lügen alle auf einem einzelnen Kreis, dem Neun-Punkte-Kreis des Dreiecks. Die restlichen drei Punkte, für die es genannt wird, sind die Mittelpunkte des Teils der Höhe zwischen den Scheitelpunkten und dem orthocenter. Der Radius des Neun-Punkte-Kreises ist halb mehr als das des circumcircle. Es berührt den incircle (am Punkt von Feuerbach) und die drei Ex-Kreise.

Der centroid (gelb), orthocenter (blau), circumcenter (grün) und Zentrum des Neun-Punkte-Kreises (roter Punkt) lügen alle auf einer einzelnen Linie, die als die Linie von Euler (rote Linie) bekannt ist. Das Zentrum des Neun-Punkte-Kreises liegt am Mittelpunkt zwischen dem orthocenter und dem circumcenter, und die Entfernung zwischen dem centroid und dem circumcenter ist Hälfte davon zwischen dem centroid und dem orthocenter.

Das Zentrum des incircle wird auf der Linie von Euler nicht im Allgemeinen gelegen.

Wenn man eine Mittellinie in der Winkelhalbierungslinie widerspiegelt, die denselben Scheitelpunkt durchführt, erhält man einen symmedian. Die drei symmedians schneiden sich in einem einzelnen Punkt, dem symmedian Punkt des Dreiecks.

Die Computerwissenschaft der Seiten und Winkel

Es gibt verschiedene Standardmethoden, für die Länge einer Seite oder die Größe eines Winkels zu berechnen. Bestimmten Methoden wird dem Rechnen von Werten in einem rechtwinkligen Dreieck angepasst; kompliziertere Methoden können in anderen Situationen erforderlich sein.

Trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

In rechtwinkligen Dreiecken können die trigonometrischen Verhältnisse des Sinus, des Kosinus und der Tangente verwendet werden, um unbekannte Winkel und die Längen von unbekannten Seiten zu finden. Die Seiten des Dreiecks sind wie folgt bekannt:

• Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem richtigen Winkel, oder definiert als die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, in diesem Fall h.
• Die Gegenseite ist die Seite gegenüber dem Winkel wir interessieren uns für, in diesem Fall a.
• Die angrenzende Seite ist die Seite, die im Kontakt mit dem Winkel ist, interessieren wir uns für und der richtige Winkel, folglich sein Name. In diesem Fall ist die angrenzende Seite b.

Sinus, Kosinus und Tangente

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenseite zur Länge der Hypotenuse. In unserem Fall

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Bemerken Sie, dass dieses Verhältnis vom besonderen rechtwinkligen Dreieck gewählt nicht abhängt, so lange es den Winkel A enthält, da alle jene Dreiecke ähnlich sind.

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite zur Länge der Hypotenuse. In unserem Fall

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Die Tangente eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenseite zur Länge der angrenzenden Seite. In unserem Fall

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Das Akronym "SOH-CAH-TOA" ist ein nützlicher mnemonischer für diese Verhältnisse.

Umgekehrte Funktionen

Die umgekehrten trigonometrischen Funktionen können verwendet werden, um zu rechnen, die inneren Winkel für ein Recht haben Dreieck mit der Länge irgendwelcher zwei Seiten umgebogen.

Arcsin kann verwendet werden, um einen Winkel von der Länge der Gegenseite und der Länge der Hypotenuse zu berechnen

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Arccos kann verwendet werden, um einen Winkel von der Länge der angrenzenden Seite und der Länge des hypontenuse zu berechnen.

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Arctan kann verwendet werden, um einen Winkel von der Länge der Gegenseite und der Länge der angrenzenden Seite zu berechnen.

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In der einleitenden Geometrie und den Trigonometrie-Kursen, der Notationssünde, weil häufig usw. im Platz von arcsin, arccos usw. verwendet werden. Jedoch, der arcsin, arccos, usw., ist Notation in der höheren Mathematik normal, wo trigonometrische Funktionen zu Mächten allgemein erhoben werden, weil das Verwirrung zwischen multiplicative Gegenteil und compositional Gegenteil vermeidet.

Sinus, Kosinus und Tangente-Regeln

Das Gesetz von Sinus oder Sinus-Regel, stellt fest, dass das Verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus seines entsprechenden entgegengesetzten Winkels unveränderlich ist, der ist

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Dieses Verhältnis ist dem Diameter des umschriebenen Kreises des gegebenen Dreiecks gleich. Eine andere Interpretation dieses Lehrsatzes ist, dass jedes Dreieck mit Winkeln α, β und γ einem Dreieck mit Seitenlängen ähnlich ist, die der Sünde α, Sünde β und Sünde γ gleich sind. Dieses Dreieck kann durch das erste Konstruieren eines Kreises des Diameters 1, und das Einschreiben darin zwei der Winkel des Dreiecks gebaut werden. Die Länge der Seiten dieses Dreiecks wird Sünde α, Sünde β sein und γ sündigen. Die Seite, deren Länge Sünde α ist, ist gegenüber dem Winkel, dessen Maß α usw. ist.

Das Gesetz von Kosinus oder Kosinus-Regel, verbindet die Länge einer unbekannten Seite eines Dreiecks zur Länge der anderen Seiten und des Winkels gegenüber der unbekannten Seite. Laut des Gesetzes:

Für ein Dreieck mit der Länge von Seiten a, b, c und Winkel von α, β, γ beziehungsweise, in Anbetracht zwei bekannter Längen eines Dreiecks a und b, und des Winkels zwischen den zwei bekannten Seiten γ (oder des Winkels gegenüber der unbekannten Seite c), um die dritte Seite c zu berechnen, kann die folgende Formel verwendet werden:

:::

Wenn die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks bekannt sind, können die drei Winkel berechnet werden:

:::

Das Gesetz von Tangenten oder die Tangente-Regel, ist weniger bekannt als die anderen zwei. Es stellt dass fest:

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Es wird sehr häufig nicht verwendet, aber kann verwendet werden, um eine Seite oder einen Winkel zu finden, wenn Sie zwei Seiten und einen Winkel oder zwei Winkel und eine Seite kennen.

Die Computerwissenschaft des Gebiets eines Dreiecks

Das Rechnen Gebiets T eines Dreiecks ist ein elementares Problem gestoßen häufig in vielen verschiedenen Situationen. Die am besten bekannte und einfachste Formel ist:

:

wo b die Länge der Basis des Dreiecks ist, und h die Höhe oder Höhe des Dreiecks ist. Der Begriff "Basis" zeigt jede Seite an, und "Höhe" zeigt die Länge einer Senkrechte vom Scheitelpunkt gegenüber der Seite auf die Linie an, die die Seite selbst enthält. In 499 CE Aryabhata, einem großen Mathematiker-Astronomen vom klassischen Alter der Indianermathematik und Indianerastronomie, hat diese Methode in Aryabhatiya (Abschnitt 2.6) verwendet.

Obwohl einfach, ist diese Formel nur nützlich, wenn die Höhe sogleich gefunden werden kann. Zum Beispiel misst der Landvermesser eines Dreiecksfeldes die Länge jeder Seite, und kann das Gebiet von seinen Ergebnissen finden, ohne eine "Höhe" bauen zu müssen. Verschiedene Methoden können in der Praxis, abhängig davon verwendet werden, was über das Dreieck bekannt ist. Der folgende ist eine Auswahl an oft verwendeten Formeln für das Gebiet eines Dreiecks.

Das Verwenden der Trigonometrie

Die Höhe eines Dreiecks kann durch die Anwendung der Trigonometrie gefunden werden.

Das Wissen SAS: Mit den Etiketten im Image rechts ist die Höhe. Das in der Formel einsetzend, die oben abgeleitet ist, kann das Gebiet des Dreiecks als ausgedrückt werden:

:

(wo α der Innenwinkel an A ist, ist β der Innenwinkel an B, ist der Innenwinkel an C, und c ist die Linie AB).

Außerdem, seit der Sünde α = Sünde (π  α) = Sünde (β +), und ähnlich für die anderen zwei Winkel:

:

Das Wissen des automatischen Buchungssystems:

:

und analog wenn die bekannte Seite a oder c ist.

Das Wissen ASA:

:

und analog wenn die bekannte Seite b oder c ist.

Das Verwenden der Formel des Reihers

Die Gestalt des Dreiecks wird durch die Längen der Seiten allein bestimmt. Deshalb kann das Gebiet auch aus den Längen der Seiten abgeleitet werden. Durch die Formel des Reihers:

:

wo der Halbumfang oder Hälfte des Umfangs des Dreiecks ist.

Drei gleichwertige Weisen, die Formel des Reihers zu schreiben, sind

:::

Das Verwenden von Vektoren

Das Gebiet eines in einem dreidimensionalen Euklidischen Raum eingebetteten Parallelogramms kann mit Vektoren berechnet werden. Lassen Sie Vektoren AB und AC-Punkt beziehungsweise von bis B und von bis C. Das Gebiet des Parallelogramms ABDC ist dann

:

der der Umfang des Kreuzproduktes von Vektoren AB und AC ist. Das Gebiet des Dreieck-Abc ist Hälfte davon,

:

Das Gebiet des Dreieck-Abc kann auch in Bezug auf Punktprodukte wie folgt ausgedrückt werden:

:

Im zweidimensionalen Euklidischen Raum, Vektoren AB als ein freier Vektor im Kartesianischen Raum ausdrückend, der (x, y) und AC als (x, y) gleich ist, kann das als umgeschrieben werden:

:

Das Verwenden von Koordinaten

Wenn Scheitelpunkt A am Ursprung (0, 0) von einem Kartesianischen Koordinatensystem gelegen wird und durch die Koordinaten der anderen zwei Scheitelpunkte gegeben wird und, dann kann das Gebiet als Zeiten der absolute Wert der Determinante geschätzt werden

:

Für drei allgemeine Scheitelpunkte ist die Gleichung:

:

der als geschrieben werden kann

:

Wenn die Punkte folgend in gegen den Uhrzeigersinn Richtung etikettiert werden, sind die obengenannten bestimmenden Ausdrücke positiv, und die absoluten Wertzeichen können weggelassen werden. Die obengenannte Formel ist als die Schnürsenkel-Formel oder die Formel des Landvermessers bekannt.

Wenn wir die Scheitelpunkte im komplizierten Flugzeug ausfindig machen und sie in gegen den Uhrzeigersinn der Folge als anzeigen, und, und anzeigen, dass sich ihr Komplex als, und, dann die Formel paart

:ist

zur Schnürsenkel-Formel gleichwertig.

In drei Dimensionen, dem Gebiet eines allgemeinen Dreiecks, und) ist die Pythagoreische Summe der Gebiete der jeweiligen Vorsprünge auf den drei Hauptflugzeugen (d. h. x = 0, y = 0 und z = 0):

:

\left|det \begin {pmatrix} y_A & y_B & y_C \\z_A & z_B & z_C \\1 & 1 & 1 \end {pmatrix }\\richtiger |^2 +

\left|det \begin {pmatrix} z_A & z_B & z_C \\x_A & x_B & x_C \\1 & 1 & 1 \end {pmatrix }\\richtiger |^2}. </Mathematik>

Das Verwenden von Linienintegralen

Das Gebiet innerhalb jeder geschlossenen Kurve, wie ein Dreieck, wird durch die Linie gegeben, die um die Kurve der algebraischen oder unterzeichneten Entfernung eines Punkts auf der Kurve von einer willkürlichen orientierten Gerade L integriert ist. Punkte rechts von L, werden wie orientiert, genommen, um in der negativen Entfernung von L zu sein, während das Gewicht für das Integral genommen wird, um der Bestandteil der Kreisbogen-Länge-Parallele zu L aber nicht Kreisbogen-Länge selbst zu sein.

Dieser Methode wird der Berechnung des Gebiets eines willkürlichen Vielecks gut angepasst. L nehmend, um die X-Achse, die Linie zu sein, die zwischen Konsekutivscheitelpunkten (x, y) und (x integriert

ist