Das Konzept einer Zufallsfolge ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik notwendig. Das Konzept verlässt sich allgemein auf den Begriff einer Folge von zufälligen Variablen, und viele statistische Diskussionen beginnen mit den Wörtern "lässt X..., X unabhängige zufällige Variablen sein...". Und doch, weil D. H. Lehmer 1951 festgesetzt hat: "Eine Zufallsfolge ist ein vager Begriff..., in dem jeder Begriff zum uneingeweihten unvorhersehbar ist, und dessen Ziffern eine bestimmte Anzahl von mit Statistikern traditionellen Tests passieren".

Axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie vermeidet absichtlich eine Definition einer Zufallsfolge. Traditionelle Wahrscheinlichkeitstheorie setzt nicht fest, ob eine spezifische Folge zufällig ist, aber allgemein fortfährt, die Eigenschaften von zufälligen Variablen und stochastischen Folgen zu besprechen, die eine Definition der Zufälligkeit annehmen. Die Bourbaki Schule hat gedacht, dass die Behauptung "uns eine Zufallsfolge" als einen Missbrauch der Sprache hat betrachten lassen. Während des 20. Jahrhunderts wurden verschiedene technische Annäherungen an das Definieren von Zufallsfolgen entwickelt, und jetzt können drei verschiedene Paradigmen identifiziert werden.

Frühe Geschichte

Émile Borel war einer der ersten Mathematiker, um Zufälligkeit 1909 formell zu richten. 1919 hat Richard von Mises die erste Definition der algorithmischen Zufälligkeit gegeben, die durch das Gesetz der großen Anzahl begeistert wurde, obwohl er den Begriff gesammelt aber nicht Zufallsfolge gebraucht hat. Mit dem Konzept der Unmöglichkeit eines Spielsystems hat von Mises eine unendliche Folge von Nullen und als zufällig definiert, wenn es nicht beeinflusst wird, indem es das Frequenzstabilitätseigentum gehabt wird, d. h. die Frequenz von Nullen zu 1/2 und jeder Subfolge geht, die wir davon durch eine "richtige" Methode der Auswahl auswählen können, wird auch nicht beeinflusst.

Das von von Mises auferlegte Subfolge-Auswahl-Kriterium ist wichtig, weil, obwohl 0101010101..., durch das Auswählen der sonderbaren Positionen nicht beeinflusst wird, wir 000000 kommen..., der nicht zufällig ist. Von Mises hat nie völlig seine Definition einer richtigen Auswahlregel für Subfolgen formalisiert, aber 1940 hat Kirche von Alonzo sie als jede rekursive Funktion definiert, die, die ersten N Elemente der Folge lesen, entscheidet, ob sie Element Nummer N+1 auswählen will. Kirche war ein Pionier im Feld von berechenbaren Funktionen, und die Definition, die er gemacht hat, hat sich auf die Turing Kirchthese für die Berechenbarkeit verlassen. Diese Definition wird häufig Mises-Kirchzufälligkeit genannt.

Moderne Annäherungen

Mitte der 1960er Jahre haben A. N. Kolmogorov und D. W. Loveland unabhängig eine mehr permissive Auswahlregel vorgeschlagen. In der rekursiven Funktion der Kirche ihrer Ansicht war Definition darin zu einschränkend es hat die Elemente in der Ordnung gelesen. Stattdessen haben sie eine Regel vorgeschlagen, die auf einem teilweise berechenbaren Prozess gestützt ist, den, irgendwelche N Elemente der Folge lesen, entscheidet, ob es ein anderes Element auswählen will, das noch nicht gelesen worden ist. Diese Definition wird häufig Kolmogorov-Loveland stochasticity genannt. Aber diese Methode wurde zu schwach von Alexander Shen betrachtet, der gezeigt hat, dass es einen Kolmogorov-Loveland stochastische Folge gibt, die sich dem allgemeinen Begriff der Zufälligkeit nicht anpasst.

1966 Pro Martin-Löf hat einen neuen Begriff eingeführt, der jetzt allgemein als der befriedigendste Begriff der algorithmischen Zufälligkeit betrachtet wird. Seine ursprüngliche beteiligte Definition misst Theorie, aber es wurde später gezeigt, dass es in Bezug auf die Kompliziertheit von Kolmogorov ausgedrückt werden kann. Die Definition von Kolmogrov einer zufälligen Schnur war, dass es zufällig ist, wenn keine Beschreibung kürzer hat als sich über eine universale Maschine von Turing.

Drei grundlegende Paradigmen, um sich mit Zufallsfolgen zu befassen, sind jetzt erschienen:

:* Die Frequenz / mit dem Maß theoretische Annäherung. Diese Annäherung hat mit der Arbeit von Robert von Mises und Alonzo Church angefangen. In den 1960er Jahren Pro bemerkten Martin-Löf, dass die Sätze, die solche frequenzbasierten stochastischen Eigenschaften codieren, eine spezielle Art von Maß-Nullsätzen sind, und dass eine allgemeinere und glatte Definition durch das Betrachten von allen effektiv erhalten werden kann, messen Nullsätze.

:* Die Kompliziertheit / Verdichtbarkeitsannäherung. Dieses Paradigma wurde von A. N. Kolmogorov zusammen mit Beiträgen Levin und Gregory Chaitin verfochten. Für begrenzte Zufallsfolgen hat Kolmogorov die "Zufälligkeit" als das Wärmegewicht, d. h. Kompliziertheit von Kolmogorov, einer Schnur der Länge K Nullen und als die Nähe seines Wärmegewichtes zu K definiert, d. h. wenn die Kompliziertheit der Schnur K nah ist, ist es sehr zufällig, und wenn die Kompliziertheit unter K weit ist, ist es nicht so zufällig.

:* Die Voraussagbarkeitsannäherung. Dieses Paradigma war wegen Claus P. Schnorrs und verwendet eine ein bisschen verschiedene Definition von konstruktiven Martingalen als in der traditionellen Wahrscheinlichkeitstheorie verwendete Martingale. Schnorr hat gezeigt, wie die Existenz einer auswählenden Wetten-Strategie die Existenz einer Auswahlregel für eine voreingenommene Subfolge einbezogen hat.

In den meisten Fällen sind Lehrsätze, die die drei Paradigmen (häufig Gleichwertigkeit) verbinden, bewiesen worden.

Es ist wichtig zu begreifen, dass für jede der Definitionen, die oben für unendliche Folgen gegeben sind, wenn man eine Milliarde Nullen zur Vorderseite der Zufallsfolge hinzufügt, die neue Folge noch zufällig betrachtet wird. Folglich muss jede Anwendung dieser Konzepte zu praktischen Problemen mit der Sorge durchgeführt werden.

Siehe auch

• Zufälligkeit
• Geschichte der Zufälligkeit
• Zufallszahlengenerator
• Sieben Staaten der Zufälligkeit
• Statistische Zufälligkeit
• Sergio B. Volchan Was Ist eine Zufallsfolge? Der Amerikaner Mathematisch Monatlich, Vol. 109, 2002, Seiten 46-63

Referenzen

Links

• Video auf der Frequenzstabilität. Warum Menschen zufällig nicht "schätzen" können
• Zufälligkeit prüft durch Terry Ritter