Winkeldreiteilung ist ein klassisches Problem des Kompasses und Haarlineal-Aufbauten der alten griechischen Mathematik. Es betrifft Aufbau eines einem Drittel eines gegebenen willkürlichen Winkels gleichen Winkels mit nur zwei Werkzeugen: ein nicht markiertes Haarlineal und ein Kompass.

Mit solchen Werkzeugen ist die Aufgabe der Winkeldreiteilung, wie gezeigt, durch Pierre Wantzel (1837) allgemein unmöglich. Der Beweis von Wantzel verlässt sich auf Ideen vom Feld der Theorie von Galois — insbesondere die Dreiteilung eines Winkels entspricht der Lösung einer bestimmten kubischen Gleichung, die nicht das mögliche Verwenden der gegebenen Werkzeuge ist. Bemerken Sie, dass die Tatsache, dass es keine Weise gibt, einen Winkel im Allgemeinen mit gerade einem Kompass und einem Haarlineal dreimal zu teilen, nicht bedeutet, dass es unmöglich ist, alle Winkel dreimal zu teilen: Zum Beispiel ist es relativ aufrichtig, um einen richtigen Winkel dreimal zu teilen (d. h. einen Winkel des Maßes 30 Grade zu bauen).

Es ist jedoch, möglich, einen willkürlichen Winkel, aber Verwenden-Werkzeuge außer dem Haarlineal und Kompass dreimal zu teilen. Zum Beispiel, neusis Aufbau, der auch alten Griechen bekannt ist, schließt das gleichzeitige Schieben und die Folge eines gekennzeichneten Haarlineals ein, das mit den ursprünglichen Werkzeugen nicht erreicht werden kann. Andere Techniken wurden von Mathematikern im Laufe Jahrhunderte entwickelt.

Weil es in einfachen Begriffen definiert wird, aber Komplex, um sich unlösbar zu erweisen, ist das Problem der Winkeldreiteilung ein häufiges Thema von pseudomathematischen Versuchen der Lösung durch naive Anhänger. Die "Lösungen" schließen häufig Entdeckung von Lücken in die Regeln ein, oder sind einfach falsch.

Hintergrund und Problem-Behauptung

Mit nur einem nicht markierten Haarlineal und einem Kompass haben griechische Mathematiker Mittel gefunden, eine Linie in einen willkürlichen Satz von gleichen Segmenten zu teilen, parallele Linien zu ziehen, Winkel zu halbieren, viele Vielecke zu bauen, und Quadrate von gleichen oder zweimal das Gebiet eines gegebenen Vielecks zu bauen.

Drei Probleme haben sich schwer erfassbar erwiesen, spezifisch den Winkel dreimal teilend, den Würfel und das Quadrieren der Kreis verdoppelnd. Das Problem der Winkeldreiteilung liest:

Bauen Sie einen Winkel, der einem Drittel eines gegebenen willkürlichen Winkels gleich ist (oder teilen Sie es in drei gleiche Winkel), mit nur zwei Werkzeugen:

1. ein nicht markiertes Haarlineal und
2. ein Kompass.

Beweis der Unmöglichkeit

Das geometrische Problem der Winkeldreiteilung kann mit der Algebra — spezifisch mit dem Problem verbunden sein, die Wurzeln eines Kubikpolynoms — seitdem durch die Formel des dreifachen Winkels zu finden.

Man kann zeigen, dass jede Zahl constructible in einem Schritt von einem Feld eine Lösung eines Polynoms der zweiten Ordnung ist, und deshalb jede Zahl, die constructible durch eine Reihe von Schritten ist, die Lösung einer Macht von zwei minimalem Polynom ist. Bemerken Sie auch, dass radians (60 Grade, schriftliche 60 °) constructible ist. Wir zeigen jetzt, dass es unmöglich ist, einen 20 °-Winkel zu bauen; das deutet an, dass ein 60 °-Winkel, und so nicht dreimal geteilt werden kann, dass ein willkürlicher Winkel nicht dreimal geteilt werden kann.

Zeigen Sie den Satz von rationalen Zahlen durch Q an. Wenn 60 ° dreimal geteilt werden konnten, würde der Grad eines minimalen Polynoms über Q eine Macht zwei sein. Lassen Sie jetzt.

Bemerken Sie das. Dann durch die Formel des dreifachen Winkels, und so. So, oder gleichwertig. Jetzt Ersatz, so dass. Lassen.

Das minimale Polynom für x ist (folglich) ein Faktor dessen. Weil Grad 3 ist, wenn es zu Ende durch Q dann reduzierbar ist, hat es eine vernünftige Wurzel. Durch den vernünftigen Wurzellehrsatz muss diese Wurzel 1 oder −1 sein, aber beide sind klar nicht Wurzeln. Deshalb ist zu Ende durch Q nicht zu vereinfachend, und das minimale Polynom dafür ist des Grads 3.

So ein Winkel von 60 ° = (1/3) π kann radians nicht dreimal geteilt werden.

Viele Menschen (die vermutlich das obengenannte Ergebnis nicht wissen, missverstehen Sie es, oder weisen Sie es falsch zurück) haben Methoden vorgeschlagen, den allgemeinen Winkel dreimal zu teilen. Einige dieser Methoden stellen angemessene Annäherungen zur Verfügung; andere (von denen einige unten erwähnt werden) schließen im klassischen Problem nicht erlaubte Werkzeuge ein. Der Mathematiker Underwood Dudley hat über einige dieser erfolglosen Versuche in seinem Buch Der Trisectors ausführlich berichtet.

Winkel, die dreimal geteilt werden können

Jedoch können einige Winkel dreimal geteilt werden. Zum Beispiel, für jeden Constructible-Winkel, kann der Winkel durch das Ignorieren des gegebenen Winkels und direkt das Konstruieren eines Winkels des Maßes trivial dreimal geteilt werden. Es gibt auch Winkel, die, während non-constructible, trisectible, wenn gegeben, sind. Zum Beispiel, ist solch ein Winkel: Fünf Kopien der Vereinigung, um einen Winkel des Maßes zu machen, das ein Vollkreis plus das notwendige ist. Mehr allgemein, für eine positive ganze Zahl, ist ein Winkel des Maßes trisectible, wenn, und nur wenn sich nicht teilt.

Ein allgemeiner Lehrsatz

Zeigen Sie wieder die rationalen Zahlen Q an:

Lehrsatz: Der Winkel kann dreimal geteilt werden, wenn, und nur wenn über die Felderweiterung Q reduzierbar ist.

Der Beweis ist eine relativ aufrichtige Generalisation des darüber gegebenen Beweises ein 60-Grade-Winkel ist nicht trisectible.

Dreiteilung mit anderen Methoden

Das allgemeine Problem der Winkeldreiteilung, ist aber das Verwenden von zusätzlichen Werkzeugen und so Ausgehen des ursprünglichen griechischen Fachwerks des Kompasses und Haarlineals lösbar.

Durch die unendliche Wiederholung der Halbierung

Dreiteilung kann durch die unendliche Wiederholung des Kompasses und der Haarlineal-Methode erreicht werden, für einen Winkel zu halbieren. Die geometrische Reihe 1/3 = 1/4+1/16+1/64+1/256 +... oder 1/3 = 1/2-1/4+1/8-1/16 + kann... als eine Basis für die Halbierungen verwendet werden. Wie man betrachtet, bricht diese Methode die Regeln für den Kompass und das Haarlineal construnction, weil es eine unendliche Zahl von Schritten einschließt. Jedoch kann eine Annäherung an jeden Grad der Genauigkeit in einer begrenzten Zahl von Schritten erhalten werden.

Das Verwenden des Origamis

Dreiteilung, wie viele Aufbauten, die durch das Lineal und den Kompass unmöglich sind, kann durch das stärkere (aber physisch leicht) Operationen der Papierfalte oder Origami leicht vollbracht werden. Die Axiome von Huzita (Typen von sich faltenden Operationen) können Kubikerweiterungen (Würfel-Wurzeln) gegebener Längen bauen, wohingegen Herrscher-Und-Kompass nur quadratische Erweiterungen (Quadratwurzeln) bauen kann.

Mit einer Hilfskurve

Es gibt genannten trisectrices der bestimmten Kurven, der, wenn gestützt, das Flugzeug mit anderen Methoden, verwendet werden kann, um willkürliche Winkel dreimal zu teilen.

Mit einem gekennzeichneten Lineal

Ein anderes Mittel, einen willkürlichen Winkel durch einen "kleinen" Schritt außerhalb des griechischen Fachwerks dreimal zu teilen, ist über ein Lineal mit Zwei-Zeichen-ProSatzentfernung einzeln. Der folgende Aufbau ist ursprünglich wegen Archimedes, genannt einen Aufbau von Neusis, d. h., der Werkzeuge außer einem nicht markierten Haarlineal verwendet.

Das verlangt drei Tatsachen von der Geometrie (am Recht):

1. Jeder volle Satz von Winkeln auf einer Gerade trägt zu 180 °, bei
2. Die Summe von Winkeln jedes Dreiecks ist 180 °, und,
3. Irgendwelche zwei gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks werden das dritte in demselben Winkel entsprechen.

Am Diagramm am Recht, angeln Sie (verlassen des Punkts B) ist das Thema der Dreiteilung. Erstens wird ein Punkt A an einem Strahl eines Winkels, einer Einheit abgesondert von B gezogen. Ein Kreis des Radius AB wird gezogen.

Dann tritt der markedness des Lineals in Spiel ein: Es wird am Punkt A, und slided "verankert" und rotieren gelassen, bis ein Zeichen am Punkt C, und ein am Punkt D, d. h., CD = AB ist. Ein Radius wird v. Chr. als offensichtlich gezogen. Das heißt, Liniensegmente AB v. Chr. und CD haben alle gleiche Länge. (Segment AC ist irrelevant.) Jetzt sind Dreieck-Abc und BCD gleichschenklig, so (durch die Tatsache 3 oben) hat jeder zwei gleiche Winkel.

Hypothese: Gegeben n.Chr. ist eine Gerade und AB v. Chr., und CD ist die ganze gleiche Länge,

Beschluss: Winkel.

Beweis:

1. Von der Tatsache 1) oben, °.
2. Das Schauen am Dreieck BCD, von der Tatsache 2) °.
3. Von den letzten zwei Gleichungen.
4. Von der Tatsache 2), °, so °, so vom letzten, °.
5. Von der Tatsache 1) oben, °, so °°.

Die Reinigung, oder, und der Lehrsatz wird bewiesen.

Wieder ist dieser Aufbau außerhalb des Fachwerks von erlaubten Aufbauten durch das Verwenden eines gekennzeichneten Haarlineals gegangen.

Mit einer Schnur

Thomas Hutcheson hat einen Artikel im Mathematik-Lehrer veröffentlicht, der eine Schnur statt eines Kompasses und geraden Randes verwendet hat. Eine Schnur kann als irgendein ein gerader Rand (durch das Ausdehnen davon) oder ein Kompass verwendet werden (indem sie einen Punkt befestigt wird und einen anderen identifiziert wird), aber kann sich auch um einen Zylinder, den Schlüssel zur Lösung von Hutcheson einhüllen.

Hutcheson hat einen Zylinder vom dreimal zu teilenden Winkel gebaut, indem er einen Kreisbogen über den Winkel gezogen hat, es als ein Kreis vollendend, und von diesem Kreis einen Zylinder bauend, auf dem ein, sagen wir, gleichseitiges Dreieck (ein 360-Grade-Winkel eingeschrieben wurde, der in drei geteilt ist). Das wurde dann auf den Winkel "kartografisch dargestellt", der mit einem einfachen Beweis von ähnlichen Dreiecken dreimal zu teilen ist.

Mit einem "Kriegsbeil"

Ein "Kriegsbeil" ist eine geometrische Gestalt, die aus einem Halbkreis und zwei orthogonalen Liniensegmenten, solch besteht, dass die Länge des kürzeren Segmentes dem Kreisradius gleich ist. Dreiteilung wird durch die Neigung des Endes des kürzeren Segmentes des Kriegsbeils auf einem Strahl, des Randes des Kreises auf dem anderen durchgeführt, so dass der "Griff" (längeres Segment) den Scheitelpunkt des Winkels durchquert; die Dreiteilungslinie läuft zwischen dem Scheitelpunkt und dem Zentrum des Halbkreises.

Bemerken Sie, dass, während ein Kriegsbeil constructible mit dem Kompass und Haarlineal ist, es nicht allgemein möglich ist, ein Kriegsbeil in jeder gewünschten Position zu bauen. So widerspricht der obengenannte Aufbau dem nontrisectibility von Winkeln mit dem Lineal und Kompass allein nicht.

Mit miteinander verbundenen Kompassen

Ein Winkel kann mit einem Gerät dreimal geteilt werden, das im Wesentlichen eine vierzackige Version eines Kompasses mit Verbindungen zwischen den Zacken ist, die entworfen sind, um die drei Winkel zwischen angrenzenden Zacken zu halten, gleich.

Siehe auch

• Halbierung
• Zahl von Constructible
• Vieleck von Constructible
• Euklidische Geometrie
• Geschichte der Geometrie
• Abschnitt-Lehrsatz
• Liste von Geometrie-Themen
• Der trisector Lehrsatz von Morley
• Quadratrix
• Trisectrix

Zusätzliche Verweisungen

• Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, Was ist Mathematik?: eine elementare Annäherung an Ideen und Methoden, Presse der Universität Oxford die Vereinigten Staaten, 1996. Internationale Standardbuchnummer 978-0-19-510519-3.
• Raghavendran, K. "Teiler von Tripedal von Winkeln", Verhandlungen der Dritten Internationalen Maß-Konferenz (IMEKOIII), Stockholms, September 1964.

Links

• Seite von MathWorld
• Geometrische Probleme der Altertümlichkeit, einschließlich der Winkeldreiteilung
• Etwas Geschichte
• Eine Verbindung des gekennzeichneten Lineal-Aufbaus
• Ein anderer, Archimedes erwähnend
• Ein langer Artikel mit vielen Annäherungen & Mitteln, die aus dem griechischen Fachwerk ausgehen
• Geometrie-Seite

Andere Mittel der Dreiteilung

• Über (Archiviert am 2009-10-25) der limacon des Pascal dreimal teilend; sieh auch Trisectrix
• Über eine Archimedean Spirale dreimal teilend
• Über Conchoid von Nicomedes dreimal teilend
• sciencenews.org Seite auf dem Verwenden des Origamis
• Hyperbeldreiteilung und das Spektrum von regelmäßigen Vielecken