In der Mathematik ist ein Endomorphismus ein morphism (oder Homomorphismus) von einem mathematischen Gegenstand bis sich. Zum Beispiel ist ein Endomorphismus eines Vektorraums V ein geradliniger Karte-ƒ: V  V und ein Endomorphismus einer Gruppe G sind ein Gruppenhomomorphismus-ƒ: G  G. Im Allgemeinen können wir über Endomorphismen in jeder Kategorie sprechen. In der Kategorie von Sätzen sind Endomorphismen einfach Funktionen von einem Satz S in sich.

In jeder Kategorie ist die Zusammensetzung irgendwelcher zwei Endomorphismen X wieder ein Endomorphismus X. Hieraus folgt dass der Satz aller Endomorphismen von X Formen ein monoid, angezeigtes Ende (X) (oder Ende (X), um die Kategorie C zu betonen).

Ein invertible Endomorphismus X wird einen automorphism genannt. Der Satz des ganzen automorphisms ist eine Teilmenge des Endes (X) mit einer Gruppenstruktur, genannt die automorphism Gruppe X und hat Aut (X) angezeigt. Im folgenden Diagramm zeigen die Pfeile Implikation an:

Irgendwelche zwei Endomorphismen einer abelian Gruppe A können zusammen durch die Regel (ƒ + g) (a) = ƒ (a) + g (a) hinzugefügt werden. Unter dieser Hinzufügung bilden die Endomorphismen einer abelian Gruppe einen Ring (der Endomorphismus-Ring). Zum Beispiel ist der Satz von Endomorphismen von Z der Ring des ganzen n × n matrices mit Einträgen der ganzen Zahl. Die Endomorphismen eines Vektorraums oder Moduls bilden auch einen Ring, wie die Endomorphismen jedes Gegenstands in einer vorzusätzlichen Kategorie tun. Die Endomorphismen einer nonabelian Gruppe erzeugen eine algebraische als ein nearring bekannte Struktur. Jeder Ring mit ist man der Endomorphismus-Ring seines regelmäßigen Moduls, und ist auch ein Subring eines Endomorphismus-Rings einer abelian Gruppe, jedoch gibt es Ringe, die nicht der Endomorphismus-Ring jeder abelian Gruppe sind.

Maschinenbediener-Theorie

In jeder konkreten Kategorie, besonders für Vektorräume, sind Endomorphismen Karten von einem Satz in sich, und können als unäre Maschinenbediener auf diesem Satz interpretiert werden, den Elementen folgend, und erlaubend, den Begriff von Bahnen von Elementen usw. zu definieren.

Abhängig von der zusätzlichen Struktur, die für die Kategorie in der Nähe (Topologie definiert ist, metrisch...), können solche Maschinenbediener Eigenschaften wie Kontinuität, boundedness und so weiter haben. Mehr Details sollten im Artikel über die Maschinenbediener-Theorie gefunden werden.

Endofunctions in der Mathematik

In der Mathematik ist ein endofunction eine Funktion, deren codomain seinem Gebiet gleich ist. Ein homomorphic endofunction ist ein Endomorphismus.

Lassen Sie S ein willkürlicher Satz sein. Unter endofunctions auf S findet man Versetzungen von S und unveränderlichen Funktionen, die zu jedem ein gegebener verkehren.

Jede Versetzung von S hat das codomain gleiche seinem Gebiet und ist bijektiv und invertible. Eine unveränderliche Funktion auf S, wenn S mehr als 1 Element hat, hat einen codomain, der eine richtige Teilmenge seines Gebiets ist, ist (und nicht invertible) nicht bijektiv. Die Funktion, die zu jeder natürlichen ganzen Zahl n der Fußboden von n/2 verkehrt, hat sein codomain gleiches seinem Gebiet und ist nicht invertible.

Begrenzte endofunctions sind zu monogeneous Digraphen, d. h. Digraphen gleichwertig, die alle Knoten mit dem outdegree haben, der 1 gleich ist und können leicht beschrieben werden. Für Sätze der Größe n gibt es N^n endofunctions auf dem Satz.

Besondere bijektive endofunctions sind die Involutionen, d. h. die Funktionen, die mit ihren Gegenteilen zusammenfallen.

Referenzen

Siehe auch

• morphism
• Endomorphismus von Frobenius
• Adjoint-Endomorphismus

Links