In der Mathematik ist ein automorphism ein Isomorphismus von einem mathematischen Gegenstand bis sich. Es, ist in einem Sinn, einer Symmetrie des Gegenstands und einer Weise, den Gegenstand zu sich kartografisch darzustellen, während es ganze seine Struktur bewahrt. Der Satz des ganzen automorphisms eines Gegenstands bildet eine Gruppe, genannt die automorphism Gruppe. Es, ist lose das Sprechen, die Symmetrie-Gruppe des Gegenstands.

Definition

Die genaue Definition eines automorphism hängt vom Typ des "mathematischen Gegenstands" fraglich ab, und was genau einen "Isomorphismus" dieses Gegenstands einsetzt. Die allgemeinste Einstellung, in der diese Wörter Bedeutung haben, ist ein abstrakter Zweig der Mathematik genannt Kategorie-Theorie. Kategorie-Theorie befasst sich mit abstrakten Gegenständen und morphisms zwischen jenen Gegenständen.

In der Kategorie-Theorie ist ein automorphism ein Endomorphismus (d. h. ein morphism von einem Gegenstand bis sich), der auch ein Isomorphismus (in der kategorischen Bedeutung des Wortes) ist.

Das ist eine sehr abstrakte Definition seitdem in der Kategorie-Theorie, morphisms sind nicht notwendigerweise fungiert, und Gegenstände sind nicht notwendigerweise geht unter. In den meisten konkreten Einstellungen, jedoch, werden die Gegenstände Sätze mit einer zusätzlichen Struktur sein, und der morphisms wird Funktionen sein, die diese Struktur bewahren.

Im Zusammenhang der abstrakten Algebra, zum Beispiel, ist ein mathematischer Gegenstand eine algebraische Struktur wie eine Gruppe, Ring oder Vektorraum. Ein Isomorphismus ist einfach ein bijektiver Homomorphismus. (Die Definition eines Homomorphismus hängt vom Typ der algebraischen Struktur ab; sieh zum Beispiel: Gruppenhomomorphismus, Ringhomomorphismus und geradliniger Maschinenbediener).

Die Identität morphism (Identität kartografisch darstellend) wird den trivialen automorphism in einigen Zusammenhängen genannt. Beziehungsweise anderer (Nichtidentität) werden automorphisms nichttrivialen automorphisms genannt.

Gruppe von Automorphism

Wenn die automorphisms eines Gegenstands X einen Satz bilden (statt einer richtigen Klasse), dann bilden sie eine Gruppe unter der Zusammensetzung von morphisms. Diese Gruppe wird die automorphism Gruppe X genannt. Dass das tatsächlich eine Gruppe ist, ist einfach zu sehen:

• Verschluss: Die Zusammensetzung von zwei Endomorphismen ist ein anderer Endomorphismus.
• Associativity: Die Zusammensetzung von morphisms ist immer assoziativ.
• Identität: Die Identität ist die Identität morphism von einem Gegenstand bis sich, der definitionsgemäß besteht.
• Gegenteile: Definitionsgemäß hat jeder Isomorphismus ein Gegenteil, das auch ein Isomorphismus ist, und da das Gegenteil auch ein Endomorphismus desselben Gegenstands ist, ist es ein automorphism.

Die automorphism Gruppe eines Gegenstands X in einer Kategorie C ist angezeigter Aut (X) oder einfach Aut (X), wenn die Kategorie vom Zusammenhang klar ist.

Beispiele

• In der Mengenlehre ist ein automorphism eines Satzes X eine willkürliche Versetzung der Elemente X. Die automorphism Gruppe X wird auch die symmetrische Gruppe auf X genannt.
• In der elementaren Arithmetik hat der Satz von ganzen Zahlen, Z, betrachtet als eine Gruppe unter der Hinzufügung, einen einzigartigen nichttrivialen automorphism: Ablehnung. Betrachtet als ein Ring, jedoch, hat es nur den trivialen automorphism. Im Allgemeinen ist Ablehnung ein automorphism jeder abelian Gruppe, aber nicht eines Rings oder Feldes.
• Eine Gruppe automorphism ist ein Gruppenisomorphismus von einer Gruppe zu sich. Informell ist es eine Versetzung der solcher Gruppenelemente, dass die Struktur unverändert bleibt. Für jede Gruppe G gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus G  Aut (G), dessen Image der Gruppengasthof (G) inneren automorphisms ist, und dessen Kern das Zentrum von G ist. So, wenn G triviales Zentrum hat, kann es in seine eigene automorphism Gruppe eingebettet werden.
• In der geradlinigen Algebra ist ein Endomorphismus eines Vektorraums V ein geradliniger Maschinenbediener V  V. Ein automorphism ist ein invertible geradliniger Maschinenbediener auf V. Wenn der Vektorraum endlich-dimensional ist, ist die automorphism Gruppe V dasselbe als die allgemeine geradlinige Gruppe, GL (V).
• Ein Feld automorphism ist ein bijektiver Ringhomomorphismus von einem Feld bis sich. In den Fällen der rationalen Zahlen (Q) und die reellen Zahlen (R) gibt es kein nichttriviales Feld automorphisms. Einige Teilfelder von R haben nichttriviales Feld automorphisms, die sich jedoch bis zu alle R nicht ausstrecken (weil sie das Eigentum einer Zahl nicht bewahren können, die eine Quadratwurzel in R hat). Im Fall von den komplexen Zahlen, C, gibt es einen einzigartigen nichttrivialen automorphism, der R in R sendet: Komplizierte Konjugation, aber gibt es ungeheuer (unzählbar) viele "wilde" automorphisms (das Annehmen des Axioms der Wahl). Feld automorphisms ist für die Theorie von Felderweiterungen in besonderen Erweiterungen von Galois wichtig. Im Fall von einer Erweiterung von Galois L/K wird die Untergruppe des ganzen automorphisms von L, der K pointwise befestigt, die Gruppe von Galois der Erweiterung genannt.
• In der Graph-Theorie ist ein automorphism eines Graphen eine Versetzung der Knoten, die Ränder und Nichtränder bewahrt. Insbesondere wenn zwei Knoten durch einen Rand angeschlossen werden, auch sind ihre Images unter der Versetzung.
• Für Beziehungen, sieh Beziehungsbewahrung automorphism.
• In der Ordnungstheorie, sieh Ordnung automorphism.
• In der Topologie, morphisms zwischen topologischen Räumen werden dauernde Karten genannt, und ein automorphism eines topologischen Raums ist ein homeomorphism des Raums zu sich oder self-homeomorphism (sieh homeomorphism Gruppe). In diesem Beispiel ist es für einen morphism nicht genügend, bijektiv zu sein, um ein Isomorphismus zu sein.
• Ein automorphism einer Differentiable-SammelleitungsM ist ein diffeomorphism von der M bis sich. Die automorphism Gruppe ist manchmal angezeigter Diff (M).
• In der Riemannian Geometrie ist ein automorphism eine Selbstisometrie. Die automorphism Gruppe wird auch die Isometrie-Gruppe genannt.
• In der Kategorie von Oberflächen von Riemann ist ein automorphism eine bijektive Biholomorphic-Karte (auch hat eine Conformal-Karte genannt), von einer Oberfläche bis sich. Zum Beispiel sind die automorphisms des Bereichs von Riemann Transformationen von Möbius.

Geschichte

Einer der frühsten Gruppe automorphisms (automorphism einer Gruppe, nicht einfach einer Gruppe von automorphisms von Punkten) wurde vom irischen Mathematiker William Rowan Hamilton 1856 in seiner Icosian Rechnung gegeben, wo er eine Ordnung zwei automorphism entdeckt hat, schreibend:

Innerer und Außenautomorphisms

In einigen Kategorien — Lügen namentlich Gruppen, Ringe, und Algebra — es ist möglich, automorphisms in zwei Typen, genannt "inneren" und "Außen"-automorphisms zu trennen.

Im Fall von Gruppen sind die inneren automorphisms die Konjugationen durch die Elemente der Gruppe selbst. Für jedes Element einer Gruppe G, Konjugation dadurch, der Operation φ zu sein: G  G gegeben durch φ (g) = aga (oder aga; Gebrauch ändert sich). Man kann von dieser Konjugation leicht überprüfen einer Gruppe automorphism zu sein. Die inneren automorphisms bilden eine normale Untergruppe von Aut (G), angezeigt vom Gasthof (G); das wird das Lemma von Goursat genannt.

Die anderen automorphisms werden Außenautomorphisms genannt. Die Quotient-Gruppe Aut (G) / Gasthof (G) wird gewöhnlich durch (G) angezeigt; die nichttrivialen Elemente sind die cosets, die den Außenautomorphisms enthalten.

Dieselbe Definition hält in jedem Unital-Ring oder Algebra wo jedes invertible Elements zu sein. Für Lüge-Algebra ist die Definition ein bisschen verschieden.

Siehe auch

• Endomorphismus-Ring
• antiautomorphism
• Frobenius automorphism
• morphism
• charakteristische Untergruppe

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