In der Mathematik ist die symmetrische Gruppe S auf einem begrenzten Satz von n Symbolen die Gruppe, deren Elemente alle Versetzungen der n Symbole sind, und dessen Gruppenoperation die Zusammensetzung solcher Versetzungen ist, die als bijektive Funktionen vom Satz von Symbolen zu sich behandelt werden. Da es n gibt! (n factorial) mögliche Versetzungen von einer Reihe von n Symbolen, hieraus folgt dass die Ordnung (die Zahl der Elemente) der symmetrischen Gruppe S n ist!.

Obwohl symmetrische Gruppen auf unendlichen Sätzen ebenso definiert werden können, bespricht dieser Artikel nur die begrenzten symmetrischen Gruppen: ihre Anwendungen, ihre Elemente, ihre conjugacy Klassen, eine begrenzte Präsentation, ihre Untergruppen, ihre automorphism Gruppen und ihre Darstellungstheorie. Für den Rest dieses Artikels, "wird symmetrische Gruppe" eine symmetrische Gruppe auf einem begrenzten Satz vorhaben.

Die symmetrische Gruppe ist für verschiedene Gebiete der Mathematik wie Theorie von Galois, invariant Theorie, die Darstellungstheorie von Lüge-Gruppen und combinatorics wichtig. Der Lehrsatz von Cayley stellt fest, dass jede Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf G isomorph ist.

Definition und die ersten Eigenschaften

Die symmetrische Gruppe auf einem begrenzten Satz X ist die Gruppe, deren Elemente alle bijektiven Funktionen von X bis X sind, und dessen Gruppenoperation die der Funktionszusammensetzung ist. Für begrenzte Sätze beziehen sich "Versetzungen" und "bijektive Funktionen" auf dieselbe Operation, nämlich Neuordnung. Die symmetrische Gruppe des Grads n ist die symmetrische Gruppe auf dem Satz X = {1, 2..., n}.

Die symmetrische Gruppe auf einem Satz X wird auf verschiedene Weisen einschließlich S, Σ, und Sym (X) angezeigt. Wenn X der Satz {1, 2..., n} ist, dann wird die symmetrische Gruppe auf X auch S, Σ, und Sym (n) angezeigt.

Symmetrische Gruppen auf unendlichen Sätzen benehmen sich ganz verschieden als symmetrische Gruppen auf begrenzten Sätzen, und werden in besprochen, und. Dieser Artikel konzentriert sich auf die begrenzten symmetrischen Gruppen.

Die symmetrische Gruppe auf einer Reihe von n Elementen hat Auftrag n! Es ist abelian wenn und nur wenn. Für n = 0 und n = 1 (der leere Satz und der Singleton-Satz) ist die symmetrische Gruppe trivial (bemerken Sie, dass das 0 übereinstimmt! = 1! = 1), und in diesen Fällen kommt die Wechselgruppe der symmetrischen Gruppe gleich, anstatt ein Index zwei Untergruppe zu sein. Die Gruppe S ist wenn und nur wenn lösbar. Das ist ein wesentlicher Teil des Beweises des Lehrsatzes von Abel-Ruffini, der zeigt, dass für jeden es Polynome des Grads n gibt, die durch Radikale nicht lösbar sind, d. h. die Lösungen können durch das Durchführen einer begrenzten Zahl von Operationen von Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung und Wurzelförderung auf den Koeffizienten des Polynoms nicht ausgedrückt werden.

Anwendungen

Die symmetrische Gruppe auf einer Reihe der Größe n ist die Gruppe von Galois des allgemeinen Polynoms des Grads n und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie von Galois. In der invariant Theorie folgt die symmetrische Gruppe den Variablen einer Multi-Variate-Funktion, und die Funktionen sind abgereist invariant sind die so genannten symmetrischen Funktionen. In der Darstellungstheorie von Lüge-Gruppen spielt die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe eine grundsätzliche Rolle durch die Ideen von Schur functors. In der Theorie von Gruppen von Coxeter ist die symmetrische Gruppe die Gruppe von Coxeter des Typs A und kommt als die Gruppe von Weyl der allgemeinen geradlinigen Gruppe vor. In combinatorics stellen die symmetrischen Gruppen, ihre Elemente (Versetzungen) und ihre Darstellungen eine reiche Quelle von Problemen zur Verfügung, die Gemälde von Young, plactic monoids, und die Ordnung von Bruhat einschließen. Untergruppen von symmetrischen Gruppen werden Versetzungsgruppen genannt und werden wegen ihrer Wichtigkeit im Verstehen von Gruppenhandlungen, homogenous Räume und automorphism Gruppen von Graphen, wie die Higman-Sims Gruppe und der Higman-Sims Graph weit studiert.

Elemente

Die Elemente der symmetrischen Gruppe auf einem Satz X sind die Versetzungen X.

Multiplikation

Die Gruppenoperation in einer symmetrischen Gruppe ist Funktionszusammensetzung, die durch das Symbol oder einfach durch die Nebeneinanderstellung der Versetzungen angezeigt ist. Die Zusammensetzung von Versetzungen f und g, ausgesprochen "f danach g" stellt jedes Element x X zu f (g (x)) kartografisch dar. Lassen Sie konkret

:

und

: (Sieh Versetzung für eine Erklärung der Notation).

Wenn er

f nachdem gilt, stellt g 1 zuerst zu 2 und dann 2 zu sich kartografisch dar; 2 bis 5 und dann zu 4; 3 bis 4 und dann zu 5, und so weiter. So gibt das Bestehen f und g

:

Ein Zyklus der Länge L = k · M, gebracht in die k-th Macht, wird in k Zyklen der Länge M zersetzen: Zum Beispiel (k = 2, M = 3),

:

Überprüfung von Gruppenaxiomen

Um zu überprüfen, dass die symmetrische Gruppe auf einem Satz X tatsächlich eine Gruppe ist, ist es notwendig, die Gruppenaxiome von associativity, Identität und Gegenteilen nachzuprüfen. Die Operation der Funktionszusammensetzung ist immer assoziativ. Die triviale Bijektion, die jedes Element X zu sich Aufschläge als eine Identität für die Gruppe zuteilt. Jede Bijektion hat eine umgekehrte Funktion, die seine Handlung aufmacht, und so jedes Element einer symmetrischen Gruppe wirklich ein Gegenteil hat.

Umstellungen

Eine Umstellung ist eine Versetzung, die zwei Elemente austauscht und alles andere befestigt hält; zum Beispiel (1 3) ist eine Umstellung. Jede Versetzung kann als ein Produkt von Umstellungen geschrieben werden; zum Beispiel kann die Versetzung g von oben als g = (1 5) (1 2) (3 4) geschrieben werden. Da g als ein Produkt einer ungeraden Zahl von Umstellungen geschrieben werden kann, wird es dann eine sonderbare Versetzung genannt, wohingegen f eine gleiche Versetzung ist.

Die Darstellung einer Versetzung als ein Produkt von Umstellungen ist nicht einzigartig; jedoch musste die Zahl von Umstellungen eine gegebene Versetzung vertreten ist entweder immer sogar oder immer seltsam. Es gibt mehrere kurze Beweise des invariance dieser Gleichheit einer Versetzung.

Das Produkt zwei sind sogar Versetzungen sogar, das Produkt von zwei sonderbaren Versetzungen ist sogar, und alle anderen Produkte sind seltsam. So können wir das Referenzen einer Versetzung definieren:

:

Mit dieser Definition,

:

ist ein Gruppenhomomorphismus ({+1,-1} ist eine Gruppe unter der Multiplikation, wo +1 e, das neutrale Element ist). Der Kern dieses Homomorphismus, d. h. der Satz aller gleichen Versetzungen, wird die Wechselgruppe A genannt. Es ist eine normale Untergruppe von S, und für n  2 hat es n! / 2 Elemente. Die Gruppe S ist das halbdirekte Produkt von A und jeder durch eine einzelne Umstellung erzeugten Untergruppe.

Außerdem kann jede Versetzung als ein Produkt von angrenzenden Umstellungen, d. h. Umstellungen der Form geschrieben werden. Zum Beispiel kann die Versetzung g auch von oben als g = (4 5) (3 4) (4 5) (1 2) (2 3) (3 4) (4 5) geschrieben werden. Die Darstellung einer Versetzung als ein Produkt von angrenzenden Umstellungen ist auch nicht einzigartig.

Zyklen

Ein Zyklus der Länge k ist eine Versetzung f, für den dort ein Element x in {1..., n} solch besteht, dass x, f (x), f (x)..., f (x) = x die einzigen durch f bewegten Elemente sind; es ist erforderlich, dass k  2 seitdem mit k = 1 das Element x selbst auch nicht bewegt würde. Die Versetzung h definiert durch

:

ist ein Zyklus der Länge drei, seitdem h (1) = 4, h (4) = 3 und h (3) = 1, 2 und 5 unberührte abreisend. Wir zeigen solch einen Zyklus dadurch an (1 4 3), aber er konnte (4 3 1) oder (3 1 4) durch das Starten an einem verschiedenen Punkt ebenso gut geschrieben werden. Die Ordnung eines Zyklus ist seiner Länge gleich. Zyklen der Länge zwei sind Umstellungen. Zwei Zyklen sind zusammenhanglos, wenn sie zusammenhanglose Teilmengen von Elementen bewegen. Zusammenhanglose Zyklen pendeln z.B in S, den wir (4 1 3) (2 5 6) = (2 5 6) (4 1 3) haben. Jedes Element von S kann als ein Produkt von zusammenhanglosen Zyklen geschrieben werden; diese Darstellung ist bis zur Ordnung der Faktoren und der Freiheitsgegenwart im Darstellen jedes individuellen Zyklus durch die Auswahl seines Startpunkts einzigartig.

Spezielle Elemente

Bestimmte Elemente der symmetrischen Gruppe {1,2..., n} sind von besonderem Interesse (diese können zur symmetrischen Gruppe jedes begrenzten völlig bestellten Satzes, aber nicht zu diesem eines nicht eingeordneten Satzes verallgemeinert werden).

Ein gegebener zu sein, durch:

:

n & n-1 & \cdots & 1\end {pmatrix}. </Mathematik>

Das ist das einzigartige maximale Element in Bezug auf die Ordnung von Bruhat und den

längstes Element in der symmetrischen Gruppe in Bezug auf das Erzeugen des Satzes, der aus den angrenzenden Umstellungen (ich i+1), 1  i  n  1 besteht.

Das ist eine Involution, und besteht aus (nichtangrenzenden) Umstellungen

:

::

so hat es so Zeichen:

:

+1 & n \equiv 0,1 \pmod {4 }\\\

- 1 & n \equiv 2,3 \pmod {4 }\

\end {Fälle} </Mathematik>

der in n 4-periodisch ist.

In ist das vollkommene Schlurfen die Versetzung, die den Satz in 2 Stapel und Auslassungen sie spaltet. Sein Zeichen ist auch

Bemerken Sie, dass die Rückseite auf n Elementen und das vollkommene Schlurfen auf 2n Elemente dasselbe Zeichen haben; diese sind für die Klassifikation von Algebra von Clifford wichtig, die 8-periodisch sind.

Klassen von Conjugacy

Die conjugacy Klassen von S entsprechen den Zyklus-Strukturen von Versetzungen; d. h. zwei Elemente von S sind in S verbunden, wenn, und nur wenn sie aus derselben Zahl von zusammenhanglosen Zyklen derselben Längen bestehen.

Zum Beispiel, in S, (1 2 3) (4 5) und (1 4 3) (2 5) sind verbunden; (1 2 3) (4 5) und (1 2) (4 5) sind nicht.

Ein sich paarendes Element von S kann in der "zwei Liniennotation" durch das Stellen der "Zyklus-Notationen" der zwei verbundenen Versetzungen oben auf einander gebaut werden. Das Fortsetzen des vorherigen Beispiels:

:

der als das Produkt von Zyklen nämlich geschrieben werden kann:

:

Diese Versetzung bezieht sich dann (1 2 3) (4 5) und (1 4 3) (2 5) über die Konjugation, d. h.

:

Es ist klar, dass solch eine Versetzung nicht einzigartig ist.

Niedrige Grad-Gruppen

Symmetrische Gruppen des niedrigen Grads haben einfachere und außergewöhnliche Struktur, und müssen häufig getrennt behandelt werden.

Sym (0) und Sym (1): Die symmetrischen Gruppen auf dem leeren Satz und dem Singleton-Satz sind trivial, der 0 entspricht! = 1! = 1. In diesem Fall stimmt die Wechselgruppe mit der symmetrischen Gruppe überein, anstatt eine Untergruppe des Index 2 zu sein, und die Zeichen-Karte ist trivial.

Sym (2): Die symmetrische Gruppe auf zwei Punkten besteht aus genau zwei Elementen: Die Identität und die Versetzung, die die zwei Punkte tauscht. Es ist eine zyklische Gruppe und so abelian. In der Galois Theorie entspricht das der Tatsache, dass die quadratische Formel eine direkte Lösung des allgemeinen quadratischen Polynoms nach dem Extrahieren nur einer einzelnen Wurzel gibt. In der invariant Theorie ist die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe auf zwei Punkten ziemlich einfach und wird als das Schreiben einer Funktion von zwei Variablen als eine Summe seiner symmetrischen und antisymmetrischen Teile gesehen: f (x, y) = f (x, y) + f (y, x), und f (x, y) = f (x, y)  f (y, x) untergehend, bekommt man das 2 · f = f + f. Dieser Prozess ist als symmetrization bekannt.

Sym (3): Ist zur zweiflächigen Gruppe des Auftrags 6, der Gruppe des Nachdenkens und der Folge symmetries eines gleichseitigen Dreiecks isomorph, da diese symmetries die drei Scheitelpunkte des Dreiecks permutieren. Zyklen der Länge zwei entsprechen Nachdenken, und Zyklen der Länge drei sind Folgen. In der Galois Theorie entspricht die Zeichen-Karte von Sym (3) zu Sym (2) der Auflösung, die für ein Kubikpolynom, wie entdeckt, durch Gerolamo Cardano quadratisch ist, während Alt (3) Kern dem Gebrauch des getrennten Fouriers entspricht, verwandeln sich des Auftrags 3 in der Lösung in der Form von Wiederlösungsmitteln von Lagrange.

Sym (4): Die Gruppe S ist zur Gruppe von richtigen Folgen über entgegengesetzte Gesichter, entgegengesetzte Diagonalen und entgegengesetzte Ränder, 9, 8 und 6 Versetzungen des Würfels isomorph. Außer der Gruppe Alt (4) hat Sym (4) einen Klein vier-Gruppen-V als eine richtige normale Untergruppe, nämlich die gleichen Umstellungen {(1), (12) (34), (13) (24), (14) (23)}, mit dem Quotienten Sym (3). In der Galois Theorie entspricht diese Karte der Auflösung, die zu einem quartic Polynom kubisch ist, das dem quartic erlaubt, von Radikalen, wie gegründet, von Lodovico Ferrari gelöst zu werden. Die Gruppe von Klein kann in Bezug auf die Wiederlösungsmittel von Lagrange des quartic verstanden werden. Die Karte von Sym (4) zu Sym (3) auch Erträge eine 2-dimensionale nicht zu vereinfachende Darstellung, die eine nicht zu vereinfachende Darstellung einer symmetrischen Gruppe des Grads n der Dimension unter n1 ist, der nur für n=4 vorkommt.

Sym (5): Sym (5) ist die erste nichtlösbare symmetrische Gruppe. Zusammen mit der speziellen geradlinigen Gruppe SL (2,5) und der icosahedral Gruppe Alt (5) × Sym (2) ist Sym (5) eine der drei nichtlösbaren Gruppen des Auftrags 120 bis zum Isomorphismus. Sym (5) ist die Gruppe von Galois der allgemeinen quintic Gleichung und die Tatsache, dass Sym (5) nicht ist, eine lösbare Gruppe übersetzt ins Nichtsein einer allgemeinen Formel, um quintic Polynome durch Radikale zu lösen. Es gibt eine exotische Einschließungskarte als eine transitive Untergruppe; die offensichtliche Einschließungskarte befestigt einen Punkt und ist so nicht transitiv. Das gibt den Außenautomorphism von besprochenen unten nach, und entspricht dem Wiederlösungsmittel sextic eines quintic.

Sym (6): Sym (6), verschieden von anderen symmetrischen Gruppen, hat einen Außenautomorphism. Mit der Sprache der Theorie von Galois kann das auch in Bezug auf Wiederlösungsmittel von Lagrange verstanden werden. Das Wiederlösungsmittel eines quintic ist des Grads 6 — das entspricht einer exotischen Einschließungskarte als eine transitive Untergruppe (die offensichtliche Einschließungskarte befestigt einen Punkt und ist so nicht transitiv), und, während diese Karte den General quintic lösbar nicht macht, trägt es die exotischen Außenautomorphism — sehen automorphisms der symmetrischen und abwechselnden Gruppen für Details.

:Note, dass, während Alt (6) und Alt (7) einen außergewöhnlichen Vermehrer von Schur (ein dreifacher Deckel) haben, und dass sich diese bis zu dreifache Deckel von Sym (6) und Sym (7) ausstrecken, diese außergewöhnlichen Vermehrern von Schur der symmetrischen Gruppe nicht entsprechen.

Karten zwischen symmetrischen Gruppen

Anders als die triviale Karte und das Zeichen stellen die bemerkenswerten Karten zwischen symmetrischen Gruppen in der Größenordnung von der Verhältnisdimension kartografisch dar, sind:

• entsprechend der außergewöhnlichen normalen Untergruppe

• (oder eher, eine Klasse solcher Karten bis zu innerem automorphism) entsprechend dem Außenautomorphism von

• als eine transitive Untergruppe, den Außenautomorphism, wie besprochen, oben nachgebend.

Eigenschaften

Symmetrische Gruppen sind Gruppen von Coxeter und Nachdenken-Gruppen. Sie können als eine Gruppe des Nachdenkens in Bezug auf Hyperflugzeuge begriffen werden

Der Lehrsatz von Cayley stellt fest, dass jede Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf den Elementen von G isomorph ist, weil eine Gruppe sich treu durch (verlassen oder Recht) Multiplikation folgt.

Beziehung mit der Wechselgruppe

Für n5 ist die Wechselgruppe A einfach, und der veranlasste Quotient ist die Zeichen-Karte: Der durch die Einnahme einer Umstellung von zwei Elementen gespalten wird. So ist S das halbdirekte Produkt und hat keine anderen richtigen normalen Untergruppen, weil sie sich entweder in der Identität schneiden würden (und so sie, die Identität oder eine 2-Elemente-Gruppe sein, die nicht normal ist), oder in (und so sie, A oder S sein).

S folgt seiner Untergruppe durch die Konjugation, und für n  6, S ist die volle automorphism Gruppe der Konjugation durch sogar Elemente sind innerer automorphisms von Einer Weile der Außenautomorphism des Auftrags 2 entspricht Konjugation durch ein sonderbares Element. Für n = 6 gibt es einen außergewöhnlichen Außenautomorphism, so ist S nicht die volle automorphism Gruppe von A.

Umgekehrt, für n  6, hat S keinen Außenautomorphisms, und für n  2 hat es kein Zentrum, so für n  2 6 ist es eine ganze Gruppe, wie besprochen, in der automorphism Gruppe unten.

Für n  5 ist S eine fast einfache Gruppe, wie es zwischen der einfachen Gruppe A und seiner Gruppe von automorphisms lügt.

Generatoren und Beziehungen

Die symmetrische Gruppe auf N-Briefen, S, kann wie folgt beschrieben werden. Es hat Generatoren: und Beziehungen:

Man denkt an als das Tauschen des i-th und i+1-st der Position.

Andere populäre Erzeugen-Sätze schließen den Satz von Umstellungen ein, die 1 und ich für 2  i  n und ein Satz tauschen, der jeden N-Zyklus und ein 2-Zyklen-von angrenzenden Elementen im N-Zyklus enthält.

Untergruppe-Struktur

Eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe wird eine Versetzungsgruppe genannt.

Normale Untergruppen

Die normalen Untergruppen der begrenzten symmetrischen Gruppen werden gut verstanden. Wenn n  2, S höchstens 2 Elemente hat, und so keine nichttrivialen richtigen Untergruppen hat. Die Wechselgruppe des Grads n ist immer eine normale Untergruppe, eine richtige für n  2 und nichttrivial für n  3; für n  3 ist es tatsächlich die einzige Nichtidentität richtige normale Untergruppe von S, außer, wenn n = 4, wo es einen zusätzlichen solche normale Untergruppe gibt, die dem Klein vier Gruppe isomorph ist.

Die symmetrische Gruppe auf einem unendlichen Satz hat keine verbundene Wechselgruppe: Nicht alle Elemente können als ein (begrenztes) Produkt von Umstellungen geschrieben werden. Jedoch enthält es wirklich eine normale Untergruppe S Versetzungen, die alle befestigen, aber begrenzt können viele Elemente und solche Versetzungen entweder als sogar oder als seltsam klassifiziert werden. Die gleichen Elemente von S bilden die Wechseluntergruppe S, und da A sogar eine charakteristische Untergruppe von S ist, ist es auch eine normale Untergruppe der vollen symmetrischen Gruppe des unendlichen Satzes. Die Gruppen A und S sind die einzige Nichtidentität richtige normale Untergruppen der symmetrischen Gruppe auf einem zählbar unendlichen Satz. Weil mehr Details sehen oder.

Maximale Untergruppen

Die maximalen Untergruppen der begrenzten symmetrischen Gruppen fallen in drei Klassen: das intransitive, der imprimitive und der Primitive. Die intransitiven maximalen Untergruppen sind genau diejenigen der Form Sym (k) × Sym (nk) für 1  k

Untergruppen von Sylow

Die Sylow Untergruppen der symmetrischen Gruppen sind wichtige Beispiele von P-Gruppen. Sie werden leichter in speziellen Fällen zuerst beschrieben:

Die Sylow P-Untergruppen der symmetrischen Gruppe des Grads p sind gerade die zyklischen durch P-Zyklen erzeugten Untergruppen. Es gibt (p  1)! / (p  1) = (p  2)! solche Untergruppen einfach durch das Zählen von Generatoren. Der normalizer hat deshalb Auftrag p · (p  1), und ist als eine Gruppe von Frobenius F (besonders für p = 5), und als die affine allgemeine geradlinige Gruppe, AGL (1, p) bekannt.

Die Sylow P-Untergruppen der symmetrischen Gruppe des Grads p sind das Kranz-Produkt von zwei zyklischen Gruppen des Auftrags p. Zum Beispiel, wenn p = 3, Sylow, der von Sym (9) 3-Untergruppen-ist, durch = (1, 4, 7) erzeugt wird (2, 5, 8) (3, 6, 9) und die Elemente x = (1,2,3), y = (4, 5, 6), z = (7, 8, 9), und jedes Element von 3-Untergruppen-Sylow die Form axyz für 0  i, j, k, l  2 hat.

Die Sylow P-Untergruppen der symmetrischen Gruppe des Grads p werden manchmal W (n) angezeigt, und diese Notation verwendend, man hat das W (n + 1) ist das Kranz-Produkt von W (n) und W (1).

Im Allgemeinen sind die P-Untergruppen von Sylow der symmetrischen Gruppe des Grads n ein direktes Produkt Kopien von W (i), wo 0  ein  p  1 und n = + p · +... + p · a.

Zum Beispiel, W (1) = C und W (2) = D, die zweiflächige Gruppe des Auftrags 8, und so wird Sylow, der der symmetrischen Gruppe des Grads 7 2-Untergruppen-ist, durch {(1,3) (2,4), (1,2), (3,4), (5,6)} erzeugt und ist zu D × C isomorph.

Diese Berechnungen werden dem zugeschrieben und ausführlicher darin beschrieben. Bemerken Sie jedoch, dass das Ergebnis einer 1844-Arbeit von Cauchy zuschreibt und erwähnt, dass es sogar in der Lehrbuch-Form darin bedeckt wird.

Transitive Untergruppen

Eine transitive Untergruppe von S ist eine Untergruppe, deren Handlung auf {1, 2..., n} transitiv ist. Zum Beispiel ist die Gruppe von Galois einer (begrenzten) Erweiterung von Galois eine transitive Untergruppe von S für einen n.

Gruppe von Automorphism

Da eine ganze Gruppe ist: Sein Zentrum und automorphism Außengruppe sind beide trivial.

Für n = 2 ist die automorphism Gruppe trivial, aber ist nicht trivial: Es ist dazu isomorph, der abelian ist, und folglich das Zentrum die ganze Gruppe ist.

Für n = 6 hat es einen Außenautomorphism des Auftrags 2: Und die automorphism Gruppe ist ein halbdirektes Produkt

:

Tatsächlich, für jeden Satz X von cardinality außer 6, ist jeder automorphism der symmetrischen Gruppe auf X, ein Ergebnis zuerst wegen gemäß inner.

Homologie

Die Gruppenhomologie dessen ist ziemlich regelmäßig und stabilisiert sich: Die erste Homologie (konkret, der abelianization) ist:

:

Die erste Homologie-Gruppe ist der abelianization, und entspricht der Zeichen-Karte, die der abelianization für n  2 ist; weil n durch Involutionen erzeugt wird (2 Zyklen, die Auftrag 2 haben), so sind die einzigen nichttrivialen Karten dazu und alle Involutionen verbunden sind, folglich zu demselben Element im abelianization kartografisch darstellen (da Konjugation in abelian Gruppen trivial ist). So senden die einzigen möglichen Karten eine Involution an 1 (die triviale Karte) oder an &minus;1 (die Zeichen-Karte). Man muss auch zeigen, dass die Zeichen-Karte bestimmt ist, aber annehmend, dass das die erste Homologie von S gibt.

Die zweite Homologie (konkret, der Vermehrer von Schur) ist:

:

Das wurde darin geschätzt, und entspricht dem doppelten Deckel der symmetrischen Gruppe, 2 · S.

Bemerken Sie, dass die außergewöhnliche niedrig-dimensionale Homologie der Wechselgruppe (entsprechend nichttrivialem abelianization, und wegen des außergewöhnlichen 3-fachen Deckels) die Homologie der symmetrischen Gruppe nicht ändert; die Wechselgruppenphänomene geben wirklich symmetrische Gruppenphänomene nach - die Karte streckt sich bis zu und die dreifachen Deckel dessen aus, und strecken Sie sich bis zu dreifache Deckel aus und - aber diese sind nicht homological - die Karte ändert den abelianization dessen nicht, und die dreifachen Deckel entsprechen Homologie auch nicht.

Die Homologie "stabilisiert" "sich" im Sinne der stabilen homotopy Theorie: Es gibt eine Einschließungskarte und für festen k, die veranlasste Karte auf der Homologie ist ein Isomorphismus für genug hohen n. Das ist der Homologie von Familien analog Liegen das Gruppenstabilisieren.

Die Homologie der unendlichen symmetrischen Gruppe wird in mit der cohomology Algebra geschätzt, die eine Algebra von Hopf bildet.

Darstellungstheorie

Die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe ist ein besonderer Fall der Darstellungstheorie von begrenzten Gruppen, für die eine konkrete und ausführliche Theorie erhalten werden kann. Das hat ein großes Gebiet von potenziellen Anwendungen von der symmetrischen Funktionstheorie bis Probleme der Quant-Mechanik für mehrere identische Partikeln.

Die symmetrische Gruppe S hat Auftrag n. Seine conjugacy Klassen werden durch Teilungen von n etikettiert. Deshalb gemäß der Darstellungstheorie einer begrenzten Gruppe ist die Zahl von inequivalent nicht zu vereinfachenden Darstellungen, über die komplexen Zahlen, der Zahl von Teilungen von n gleich. Verschieden von der allgemeinen Situation für begrenzte Gruppen gibt es tatsächlich eine natürliche Weise, nicht zu vereinfachende Darstellung durch denselben Satz zu parametrisieren, der conjugacy Klassen, nämlich durch Teilungen von n oder gleichwertig Diagrammen von Young der Größe n parametrisiert.

Jede solche nicht zu vereinfachende Darstellung kann über die ganzen Zahlen (jede Versetzung begriffen werden, die auf eine Matrix mit Koeffizienten der ganzen Zahl handelt); es kann durch die Computerwissenschaft vom Young symmetrizers das Folgen einem Raum ausführlich gebaut werden, der durch die Gemälde von Young der durch das Diagramm von Young gegebenen Gestalt erzeugt ist.

Über andere Felder kann die Situation viel mehr kompliziert werden. Wenn Feld K Eigenschaft hat, die der Null gleich ist oder größer ist als n dann durch den Lehrsatz von Maschke die Gruppenalgebra, ist KS halbeinfach. In diesen Fällen geben die nicht zu vereinfachenden über die ganzen Zahlen definierten Darstellungen den ganzen Satz von nicht zu vereinfachenden Darstellungen (nach der Verminderung modulo die Eigenschaft nötigenfalls).

Jedoch sind die nicht zu vereinfachenden Darstellungen der symmetrischen Gruppe in der willkürlichen Eigenschaft nicht bekannt. In diesem Zusammenhang ist es üblicher, die Sprache von Modulen aber nicht Darstellungen zu verwenden. Die Darstellung, die bei einer nicht zu vereinfachenden über die ganzen Zahlen definierten Darstellung durch das Reduzieren modulo der Eigenschaft erhalten ist, wird nicht im Allgemeinen nicht zu vereinfachend sein. Die so gebauten Module werden Module von Specht genannt, und jeder nicht zu vereinfachende entsteht wirklich innerhalb von einem solchem Modul. Es gibt jetzt weniger irreducibles, und obwohl sie klassifiziert werden können, werden sie sehr schlecht verstanden. Zum Beispiel sind sogar ihre Dimensionen im Allgemeinen nicht bekannt.

Der Entschluss von den nicht zu vereinfachenden Modulen für die symmetrische Gruppe über ein willkürliches Feld wird als eines der wichtigsten offenen Probleme in der Darstellungstheorie weit betrachtet.

Siehe auch

• Geschichte der Gruppentheorie
• Symmetrische umgekehrte Halbgruppe
• Unterzeichnete symmetrische Gruppe
• Verallgemeinerte symmetrische Gruppe
• .

Links

• Marcus du Sautoy: Symmetrie, das Rätsel der Wirklichkeit (Video eines Gespräches)