In der Mathematik stellt die Euler-Maclaurin Formel eine starke Verbindung zwischen Integralen zur Verfügung (sieh Rechnung), und Summen. Es kann verwendet werden, um Integralen durch begrenzte Summen näher zu kommen, oder umgekehrt begrenzte Summen und unendliche Reihe mit Integralen und der Maschinerie der Rechnung zu bewerten. Zum Beispiel werden viele asymptotische Vergrößerungen aus der Formel abgeleitet, und die Formel von Faulhaber für die Summe von Mächten ist eine unmittelbare Folge.

Die Formel wurde unabhängig von Leonhard Euler und Colin Maclaurin 1735 entdeckt (und hat später als die Formel von Darboux verallgemeinert). Euler hat es gebraucht, um langsam konvergierende unendliche Reihe zu schätzen, während Maclaurin es verwendet hat, um Integrale zu berechnen.

Die Formel

Wenn n eine natürliche Zahl ist und f (x) ein glatter ist (Bedeutung: Genug häufig differentiable) Funktion, die für alle reellen Zahlen x zwischen 0 und n, dann der integrierte definiert ist

:

kann durch die Summe (oder umgekehrt) näher gekommen werden

:

S = \frac {1} {2} f (0) +f\left (1\right) + \cdots+f\left (n-1\right) + \frac {1} {2} f (n)

</Mathematik>

(sieh trapezoide Regel). Die Euler-Maclaurin Formel stellt Ausdrücke für den Unterschied zwischen der Summe und dem Integral in Bezug auf den höheren Ableitungs-ƒ an den Endpunkten des Zwischenraums 0 und n zur Verfügung. Ausführlich, für jede natürliche Zahl p, haben wir

:

wo B = &minus;1/2, B = 1/6, B = 0, B = &minus;1/30, B = 0, B = 1/42, B = 0, B = &minus;1/30... die Zahlen von Bernoulli sind, und R ein Fehlerbegriff ist, der normalerweise für passende Werte von p klein ist. (Die Formel wird häufig mit der Subschrift geschrieben, die nimmt, nur sogar schätzt, da die sonderbaren Zahlen von Bernoulli Null abgesehen von B. sind)

Bemerken Sie das

:

Folglich können wir auch die Formel wie folgt schreiben:

:\begin {richten }\aus

& \quad \sum_ {i=0} ^n f (i) = \int^n_0f (x) \, dx-B_1\cdot (f (n) +f (0)) + \sum_ {k=1} ^p\frac {B_ {2k}} {(2k)! }\\ist (f^ {(2k-1)} (n)-f^ {(2k-1)} (0) \right) +R abgereist.

\end {richten }\aus</Mathematik>Indem

man die Ersatz-Regel verwendet, kann man diese Formel auch an Funktions-ƒ anpassen, die auf einem anderen Zwischenraum der echten Linie definiert werden.

Der Rest-Begriff

Der Rest-Begriff R wird mit den periodischen Polynomen von Bernoulli P (x) am leichtesten ausgedrückt. Die Polynome von Bernoulli B (x), n = 0, 1, 2, werden... rekursiv als definiert

::

Dann werden die periodischen Funktionen von Bernoulli P als definiert

:

wo die größte ganze Zahl das anzeigt

ist

nicht größer als x. Dann, in Bezug auf P (x), der Rest

Begriff R kann als geschrieben werden

:

oder gleichwertig, durch Teile integrierend, &fnof annehmend; ist differentiable wieder und zurückrufend, dass die sonderbaren Zahlen von Bernoulli Null sind:

:

Wenn n> 0, ihm das gezeigt werden kann

:

wo ζ den Riemann zeta Funktion anzeigt (sieh Lehmer; eine Annäherung, um die Ungleichheit zu beweisen, soll die Reihe von Fourier für die Polynome B) erhalten. Das bestimmte wird für sogar n erreicht, wenn x Null ist. Mit dieser Ungleichheit kann die Größe des Rest-Begriffes mit geschätzt werden

:

Anwendungen

Das Baseler Problem

Das Baseler Problem bittet, die Summe zu bestimmen

:

Euler hat diese Summe zu 20 dezimalen Plätzen mit nur einigen Begriffen der Euler-Maclaurin Formel 1735 geschätzt. Das hat ihn wahrscheinlich überzeugt, dass die Summe π / 6 gleichkommt, den er in demselben Jahr bewiesen hat.

Summen, die ein Polynom einschließen

Wenn f ein Polynom ist und p groß genug ist, dann verschwindet der Rest-Begriff. Zum Beispiel, wenn f (x) = x, wir p = 2 wählen können, um nach der Vereinfachung vorzuherrschen

:

(sieh die Formel von Faulhaber).

Numerische Integration

Die Euler-Maclaurin Formel wird auch für die ausführliche Fehleranalyse in der numerischen Quadratur verwendet. Es erklärt die höhere Leistung der trapezoiden Regel auf glatten periodischen Funktionen und wird in bestimmten Extrapolationsmethoden verwendet. Quadratur von Clenshaw-Curtis ist im Wesentlichen eine Änderung von Variablen, um ein willkürliches Integral in Bezug auf Integrale von periodischen Funktionen zu werfen, wo die Euler-Maclaurin-Annäherung sehr genau ist (in diesem besonderen Fall, nimmt die Euler-Maclaurin Formel die Form eines getrennten Kosinus an verwandeln sich). Diese Technik ist als eine periodizing Transformation bekannt.

Asymptotische Vergrößerung von Summen

Im Zusammenhang, asymptotische Vergrößerungen von Summen und Reihe gewöhnlich zu schätzen, ist die nützlichste Form der Euler-Maclaurin Formel

:

wo a und b ganze Zahlen sind. Häufig bleibt die Vergrößerung gültig sogar nach der Einnahme der Grenzen oder, oder beide. In vielen Fällen kann das Integral auf der rechten Seite in der geschlossenen Form in Bezug auf Elementarfunktionen bewertet werden, wenn auch die Summe auf der linken Seite nicht kann. Dann können alle Begriffe in der asymptotischen Reihe in Bezug auf Elementarfunktionen ausgedrückt werden. Zum Beispiel,

:

+ \sum_ {t=1} ^\\infty \frac {B_ {2t}} {z^ {2t+1}}. \, </math>

Hier ist die linke Seite, nämlich die Polygammafunktion der ersten Ordnung gleich, die durch definiert ist; die Gammafunktion ist dem gleich, wenn eine positive ganze Zahl ist. Das läuft auf eine asymptotische Vergrößerung dafür hinaus. Diese Vergrößerung dient abwechselnd als der Startpunkt für eine der Abstammungen von genauen Fehlerschätzungen für die Annäherung von Stirling der Factorial-Funktion.

Beispiele

• wenn

Beweise

Abstammung durch die mathematische Induktion

Wir folgen dem in (Apostol) gegebenen Argument.

Die Polynome von Bernoulli B (x), n = 0, 1, 2, können... rekursiv wie folgt definiert werden:

::

Die ersten mehrere von diesen sind

::

Die Werte B (0) sind die Zahlen von Bernoulli. Bemerken Sie das

für n  2 haben wir

:

Wir definieren die periodischen Funktionen von Bernoulli P durch

:wo die größte ganze Zahl das anzeigtist

nicht größer als x. So stimmen P mit den Polynomen von Bernoulli im Zwischenraum (0, 1) überein und sind mit der Periode 1 periodisch. So,

:

Für n = 1,

:

Lassen Sie k eine ganze Zahl sein, und den integrierten zu denken

:wo:

u & {} = f (x), \\

du & {} = f' (x) \, dx, \\

dv & {} = P_0 (x) \, dx \quad (\text {seit} P_0 (x) =1), \\

v& {} = P_1 (x).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Durch Teile integrierend, bekommen wir

:

\int_k^ {k+1} f (x) \, dx &= uv - \int v \, du & {}\\\

&= \Big [f (x) P_1 (x) \Big] _k^ {k+1} - \int_k^ {k+1} f' (x) P_1 (x) \, dx \\[8pt]

&=-B_1 (f (k) + f (k+1)) - \int_k^ {k+1} f' (x) P_1 (x) \, dx.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Summieren des obengenannten von k = 0 zu k = n &minus; 1 bekommen wir

:\begin {richten }\aus

&\\int_0^1 f (x) \, dx +\dotsb +\int_ {n-1} ^n f (x) \, dx \\

&= \int_0^n f (x) \, dx \\

&= \frac {f (0)} {2} + f (1) + \dotsb + f (n-1) + {f (n) \over 2} - \int_0^n f' (x) P_1 (x) \, dx.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

(ƒ (0) + ƒ (n))/2 zu beiden Seiten und Umordnen beitragend, haben wir

:

Die letzten zwei Begriffe geben deshalb den Fehler, wenn das Integral genommen wird, um der Summe näher zu kommen.

Dann denken Sie

:wo:

u & {} = f' (x), \\

du & {} = f (x) \, dx, \\

dv & {} = P_1 (x) \, dx, \\

v& {} = P_2 (x)/2.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Durch Teile wieder integrierend, kommen wir,

:

uv - \int v \, du & {} = \left [{f' (x) P_2 (x) \over 2} \right] _k^ {k+1} - {1 \over 2 }\\Int_k^ {k+1} f (x) P_2 (x) \, dx \\\\

& {} = {B_2 \over 2} (f' (k+1) - f' (k)) - {1 \over 2 }\\Int_k^ {k+1} f (x) P_2 (x) \, dx.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Dann von k = 0 zu k = n &minus resümierend; 1, und dann das Ersetzen des letzten Integrals in (1) damit, was wir so gezeigt haben, um ihm gleich zu sein, haben wir

:

Inzwischen wird der Leser geglaubt haben, dass dieser Prozess wiederholt werden kann. Auf diese Weise bekommen wir einen Beweis der Euler-Maclaurin Summierungsformel durch die mathematische Induktion, in der sich der Induktionsschritt auf die Integration durch Teile und auf die Identität für periodische Funktionen von Bernoulli verlässt.

Abstammung durch die Funktionsanalyse

Die Euler-MacLaurin Formel kann als eine neugierige Anwendung einiger Ideen von Räumen von Hilbert und Funktionsanalyse verstanden werden.

Zuerst schränken wir das Problem auf das Gebiet des Einheitszwischenraums [0,1] ein. Lassen Sie, die Polynome von Bernoulli zu sein. Eine Reihe von zu den Polynomen von Bernoulli Doppel-Funktionen wird durch gegeben

:

\delta^ {(n-1)} (x-1) - \delta^ {(n-1)} (x) \right] </Mathematik>

wo δ die Delta-Funktion von Dirac ist. Der obengenannte ist eine formelle Notation für die Idee, Ableitungen an einem Punkt zu nehmen; so hat man

:

F^ {(n-1)} (1) - F^ {(n-1)} (0) \right] </Mathematik>

für n &gt; 0 und fungieren einige willkürlich, aber differentiable (x) ƒ auf dem Einheitszwischenraum. Für den Fall von n = 0 definiert man. Die Polynome von Bernoulli, zusammen mit ihrem duals, bilden einen orthogonalen Satz von Staaten auf dem Einheitszwischenraum: Man hat

:

und

:

Die Euler-MacLaurin Summierungsformel folgt dann als ein Integral über die Letzteren. Man hat

:

::

\sum_ {n=1} ^N B_n (x) \frac {1} {n!}

\left [F^ {(n-1)} (1) - F^ {(n-1)} (0) \right]

- \frac {1} {(N+1)!} \int_0^1 B_ {N+1} (x-y) f^ {(N)} (y) \, dy. </math>

Dann x = 0 und umordnende Begriffe untergehend, erhält man einen Ausdruck für den ƒ (0). Bemerken Sie, dass die Zahlen von Bernoulli als B = B (0) definiert werden, und dass diese für den sonderbaren n größer verschwinden als 1.

Dann, mit der periodischen Funktion von Bernoulli P definiert oben und das Argument auf dem Zwischenraum [1,2] wiederholend, kann man einen Ausdruck von ƒ (1) erhalten. Auf diese Weise kann man Ausdrücke für den ƒ (n), n = 0, 1, 2 erhalten..., N, und sie zusammenzählend, gibt die Euler-MacLaurin Formel. Bemerken Sie, dass diese Abstammung wirklich annimmt, dass (x) ƒ genug differentiable und wohl erzogen sind; spezifisch kann diesem ƒ durch Polynome näher gekommen werden; gleichwertig ist dieser ƒ eine echte analytische Funktion. Geschrieben in ausführlichen Begriffen,

:

\sum_ {i=1} ^p {B_i \over i!} \left (F^ {(i-1)} (n) - F^ {(i-1)} (0) \right) - (-1) ^p \int_0^n {B_p (x-\lfloor x \rfloor) \over p!} f^ {(p)} (x) dx </Mathematik> oder

:

\sum_ {i=1} ^p (-1) ^i {B_i \over i!} \left (F^ {(i-1)} (n) - F^ {(i-1)} (0) \right) - (-1) ^p \int_0^n {B_p (x-\lfloor x \rfloor) \over p!} f^ {(p)} (x) dx </Mathematik>,

wo die periodischen Polynome von Bernoulli sind. Diese allgemeine Formel hält für sogar und sonderbarer p  1.

Wie man

so sehen kann, ist die Euler-MacLaurin Summierungsformel ein Ergebnis der Darstellung von Funktionen auf dem Einheitszwischenraum durch das direkte Produkt der Polynome von Bernoulli und ihres duals. Bemerken Sie jedoch, dass die Darstellung auf dem Satz von Quadrat-Integrable-Funktionen nicht abgeschlossen ist. Die Vergrößerung in Bezug auf die Polynome von Bernoulli hat einen nichttrivialen Kern. Insbesondere Sünde (2πnx) liegt im Kern; das Integral der Sünde (2πnx) verschwindet auf dem Einheitszwischenraum, wie der Unterschied seiner Ableitungen an den Endpunkten ist.

Siehe auch

• Summierung von Cesàro
• Summierung von Euler
• Quadratur-Formel von Gauss-Kronrod

Referenzen

• Seiten 16, 806, 886
• Pierre Gaspard, "r-adic eindimensionale Karten und die Summierungsformel von Euler", Zeitschrift der Physik A, 25 (Brief) L483-L485 (1992). (Beschreibt den eigenfunctions des Übertragungsmaschinenbedieners für die Karte von Bernoulli)
• Xavier Gourdon und Pascal Sebah, Einführung auf den Zahlen von Bernoulli, (2002)
• D.H. Lehmer, "Auf den Maxima und Minima von Polynomen von Bernoulli", Amerikaner Mathematisch Monatlich, Band 47, Seiten 533-538 (1940)