In der Mathematik ist der cardinality eines Satzes ein Maß der "Zahl der Elemente des Satzes". Zum Beispiel enthält der Satz = {2, 4, 6} 3 Elemente, und deshalb hat A einen cardinality 3. Es gibt zwei Annäherungen an cardinality - derjenige, der Sätze direkt mit Bijektionen und Einspritzungen vergleicht, und ein anderer, der Grundzahlen verwendet.

Der cardinality eines Satzes A wird gewöhnlich | A | mit einer vertikalen Bar auf jeder Seite angezeigt; das ist dieselbe Notation wie absoluter Wert, und die Bedeutung hängt von Zusammenhang ab. Wechselweise kann der cardinality eines Satzes A durch n (A), oder # A. angezeigt werden

Das Vergleichen von Sätzen

Fall 1:  A 

| B | ===

:Two setzt A, und B haben denselben cardinality, wenn dort eine Bijektion, d. h. ein injective und Surjective-Funktion, von bis B besteht.

:For-Beispiel, der Satz E = {0, 2, 4, 6...} nichtnegativer gerader Zahlen hat denselben cardinality wie der Satz N = {0, 1, 2, 3...} natürlicher Zahlen da ist die Funktion f (n) = 2n eine Bijektion von N bis E.

Fall 2:  A    B 

:A hat cardinality größer oder gleich dem cardinality von B, wenn dort eine Injective-Funktion von B in A besteht.

Fall 3:  A >  B 

:A hat cardinality, der ausschließlich größer ist als der cardinality von B, wenn es eine Injective-Funktion, aber keine bijektive Funktion von B bis A gibt.

:For-Beispiel, der Satz R aller reellen Zahlen hat cardinality, der ausschließlich größer ist als der cardinality des Satzes N von allen natürlichen Zahlen, weil die Einschließungskarte i: N  ist R injective, aber es kann gezeigt werden, dass dort keine bijektive Funktion von N bis R besteht (sieh das diagonale Argument des Kantoren oder den ersten uncountability Beweis des Kantoren).

Grundzahlen

Oben wurde "cardinality" funktionell definiert. D. h. der "cardinality" eines Satzes wurde als ein spezifischer Gegenstand selbst nicht definiert. Jedoch kann solch ein Gegenstand wie folgt definiert werden.

Die Beziehung, denselben cardinality zu haben, wird equinumerosity genannt, und das ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf der Klasse aller Sätze. Die Gleichwertigkeitsklasse eines Satzes unter dieser Beziehung besteht dann aus allen jenen Sätzen, die denselben cardinality wie A haben. Es gibt zwei Weisen, "cardinality eines Satzes" zu definieren:

1. Der cardinality eines Satzes A wird als seine Gleichwertigkeitsklasse unter equinumerosity definiert.
2. Ein vertretender Satz wird für jede Gleichwertigkeitsklasse benannt. Die allgemeinste Wahl ist die anfängliche Ordnungszahl in dieser Klasse. Das wird gewöhnlich als die Definition der Grundzahl in der axiomatischen Mengenlehre genommen.

Die cardinalities der unendlichen Sätze werden angezeigt

:

Für jeden Ordnungs-α, ist die am wenigsten Grundzahl, die größer ist als.

Der cardinality der natürlichen Zahlen wird aleph-ungültig angezeigt , während der cardinality der reellen Zahlen durch c angezeigt wird, und auch den cardinality des Kontinuums genannt wird. Kantor hat sich, mit dem diagonalen Argument, das c> gezeigt. Wir können dem c = 2 zeigen; das auch der cardinality des Satzes aller Teilmengen der natürlichen Zahlen zu sein. Die Kontinuum-Hypothese sagt, dass = 2, d. h. 2 die kleinste Grundzahl ist, die größer ist als, d. h. es keinen Satz gibt, dessen cardinality ausschließlich zwischen dieser der ganzen Zahlen und dieser der reellen Zahlen ist. Die Kontinuum-Hypothese bleibt noch ungelöst in einem "absoluten" Sinn. Sieh unten für mehr Details auf dem cardinality des Kontinuums.

Begrenzte, zählbare und unzählbare Sätze

Wenn das Axiom der Wahl hält, hält das Gesetz von trichotomy für cardinality. So können wir die folgenden Definitionen machen:

• Jeder Satz X mit cardinality weniger als diese der natürlichen Zahlen, oder  X  wird gesagt, ein zählbar unendlicher Satz zu sein.
• Jeder Satz X mit dem cardinality, der größer ist als diese der natürlichen Zahlen, oder  X >  N  zum Beispiel  R  = c>  N  wird gesagt, unzählbar zu sein.

Unendliche Sätze

Unsere von begrenzten Sätzen gewonnene Intuition bricht wenn zusammen, sich mit unendlichen Sätzen befassend. Gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts Georg Cantor, Gottlob Frege, haben Richard Dedekind und andere die Ansicht von Galileo zurückgewiesen (der auf Euklid zurückzuführen gewesen ist), dass der Ganze dieselbe Größe wie der Teil nicht sein kann. Ein Beispiel davon ist das Paradox von Hilbert des Grand Hotels.

Der Grund dafür besteht darin, dass die verschiedenen Charakterisierungen dessen, was es für den Satz bedeutet, größer zu sein als Satz B, oder dieselbe Größe, wie gesetzt, B zu sein, die die ganze Entsprechung für begrenzte Sätze sind, für unendliche Sätze nicht mehr gleichwertig sind. Verschiedene Charakterisierungen können verschiedene Ergebnisse nachgeben. Zum Beispiel in der populären Charakterisierung der Größe, die vom Kantoren manchmal gewählt ist, ist ein unendlicher Satz A (in diesem Sinn) größer als ein unendlicher Satz B; während andere Charakterisierungen das nachgeben können, ist ein unendlicher Satz A immer dieselbe Größe wie ein unendlicher Satz B.

Für begrenzte Sätze bildet das Zählen gerade eine Bijektion (d. h., eine isomorphe Ähnlichkeit) zwischen dem Satz, der wird aufzählt und einem anfänglichen Segment der positiven ganzen Zahlen. So gibt es keinen Begriff, der dazu gleichwertig ist, unendliche Sätze wert zu sein. Während das Zählen ein einzigartiges Ergebnis, wenn angewandt, auf einen begrenzten Satz gibt, kann ein unendlicher Satz in eine isomorphe Ähnlichkeit mit vielen verschiedenen Ordinalzahlen je nachdem gelegt werden, wie man beschließt "zu zählen" (bestellen) es.

Zusätzlich werden verschiedene Charakterisierungen der Größe, wenn erweitert, zu unendlichen Sätzen, verschiedene "Regeln" brechen, die für begrenzte Sätze gehalten haben. Welche Regeln gebrochen werden, ändert sich von der Charakterisierung bis Charakterisierung. Zum Beispiel bricht die Charakterisierung des Kantoren, während sie die Regel bewahrt, dass manchmal ein Satz größer ist als ein anderer, die Regel, dass das Löschen eines Elements den Satz kleiner macht. Eine andere Charakterisierung kann die Regel bewahren, dass das Löschen eines Elements den Satz kleiner macht, aber brechen Sie eine andere Regel. Außerdem kann etwas Charakterisierung keine Regel "direkt" brechen, aber sie kann es entweder im Sinn nicht "direkt" hochhalten, der, welch auch immer der Fall ist, von einem umstrittenen Axiom wie das Axiom der Wahl oder der Kontinuum-Hypothese abhängt. So gibt es drei Möglichkeiten. Jede Charakterisierung wird einige Regeln brechen, einige andere hochhalten, und kann über einige andere nicht entscheidend sein.

Wenn man sich bis zu Mehrsätze ausstreckt, werden weitere Regeln gebrochen (das Annehmen der Annäherung des Kantoren), die für begrenzte Mehrsätze halten. Wenn wir zwei Mehrsätze A und B haben, nicht größer zu sein, als B und B, der nicht größer ist, als A nicht notwendigerweise andeutet, dass A dieselbe Größe wie B hat. Diese Regel hält für Mehrsätze, die begrenzt sind. Selbstverständlich wird das Gesetz von trichotomy in diesem Fall im Vergleich mit der Situation mit Sätzen ausführlich übertreten, wo es zum Axiom der Wahl gleichwertig ist.

Dedekind hat einfach einen unendlichen Satz definiert als, dieselbe Größe (im Sinn des Kantoren) als mindestens ein seiner richtigen Teile ein zu haben; dieser Begriff der Unendlichkeit wird unendlichen Dedekind genannt. Diese Definition arbeitet nur in Gegenwart von einer Form des Axioms der Wahl jedoch, so wird nicht betrachtet, durch einige Mathematiker zu arbeiten.

Kantor hat die oben erwähnten Grundzahlen eingeführt und hat gezeigt, dass (im Sinn des Kantoren) einige unendliche Sätze größer sind als andere. Der kleinste unendliche cardinality ist der der natürlichen Zahlen .

Cardinality des Kontinuums

Eines der wichtigsten Ergebnisse des Kantoren war, dass der cardinality des Kontinuums größer ist als diese der natürlichen Zahlen ; d. h. es gibt mehr reelle Zahlen R als ganze Zahlen N. Namely, Kantor hat dem gezeigt

:

: (sieh das diagonale Argument des Kantoren oder den ersten uncountability Beweis des Kantoren).

Die Kontinuum-Hypothese stellt fest, dass es keine Grundzahl zwischen dem cardinality des reals und dem cardinality der natürlichen Zahlen gibt, der, ist

:

: (sieh Beth eine).

Jedoch kann diese Hypothese weder bewiesen noch innerhalb der weit akzeptierten ZFC axiomatischen Mengenlehre widerlegt werden, wenn ZFC entspricht.

Grundsätzliche Arithmetik kann verwendet werden, um nicht nur zu zeigen, dass die Zahl von Punkten in einer Linie der reellen Zahl der Zahl von Punkten in jedem Segment dieser Linie gleich ist, aber dass das der Zahl von Punkten auf einem Flugzeug und tatsächlich in jedem endlich-dimensionalen Raum gleich ist. Diese Ergebnisse sind hoch gegenintuitiv, weil sie andeuten, dass dort richtige Teilmengen und richtige Obermengen eines unendlichen Satzes S bestehen, die dieselbe Größe wie S haben, obwohl S Elemente enthält, die seinen Teilmengen nicht gehören, und die Obermengen von S Elemente enthalten, die darin nicht eingeschlossen werden.

Das erste von diesen Ergebnissen ist durch das Betrachten, zum Beispiel, der Tangente-Funktion offenbar, die eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen dem Zwischenraum (−½, ½π) und R zur Verfügung stellt (sieh auch das Paradox von Hilbert des Grand Hotels).

Das zweite Ergebnis wurde zuerst vom Kantoren 1878 demonstriert, aber es ist mehr offenbar 1890 geworden, als Giuseppe Peano die raumfüllenden Kurven, gebogene Linien eingeführt hat, die sich drehen und sich genug drehen, um ganzes jedes Quadrat, oder Würfel, oder Hyperwürfel oder endlich-dimensionalen Raum zu füllen. Diese Kurven sind nicht ein direkter Beweis, dass eine Linie dieselbe Zahl von Punkten wie ein endlich-dimensionaler Raum hat, aber sie können leicht verwendet werden, um solch einen Beweis zu erhalten.

Kantor hat auch gezeigt, dass Sätze mit cardinality, der ausschließlich größer ist als, bestehen (sieh sein verallgemeinertes diagonales Argument und Lehrsatz). Sie schließen zum Beispiel ein:

:* der Satz aller Teilmengen von R, d. h., der Macht-Satz von R, schriftlichem P(R) oder 2

:* der Satz R aller Funktionen von R bis R

Beide haben cardinality

:

: (sieh Beth zwei).

Die grundsätzlichen Gleichheiten und können mit der grundsätzlichen Arithmetik demonstriert werden:

:::

Beispiele und Eigenschaften

• Wenn X = {a, b, c} und Y = {Äpfel, Orangen, Pfirsiche}, dann  X  =  Y  weil {(a, Äpfel), (b, Orangen), (c, Pfirsiche)} eine Bijektion zwischen den Sätzen X und Y ist. Der cardinality von jedem X und Y ist 3.
• Wenn  X  <  Y  dann dort besteht solcher Z dass  X  =  Z  und Z  Y.
• Sätze mit cardinality des Kontinuums

Vereinigung und Kreuzung

Wenn A und B zusammenhanglose Sätze, dann sind

:

Davon kann man zeigen, dass im Allgemeinen die cardinalities von Vereinigungen und Kreuzungen durch verbunden sind

:

Siehe auch

• Zahl von Aleph
• Zahl von Beth
• Ordinality
• Zählbarer Satz