In der Mathematik sind die trigonometrischen Funktionen (auch genannt kreisförmige Funktionen) Funktionen eines Winkels. Sie werden verwendet, um die Winkel eines Dreiecks zu den Längen der Seiten eines Dreiecks zu verbinden. Trigonometrische Funktionen sind in der Studie von Dreiecken und dem Modellieren periodischer Phänomene unter vielen anderen Anwendungen wichtig.

Die vertrautesten trigonometrischen Funktionen sind der Sinus, der Kosinus und die Tangente. Im Zusammenhang des Standardeinheitskreises mit dem Radius 1, wo ein Dreieck durch einen Strahl gebildet wird, der am Ursprung entsteht und einen Winkel mit der X-Achse macht, gibt der Sinus des Winkels die Länge des Y-Bestandteils (Anstieg) des Dreiecks, der Kosinus gibt die Länge des X-Bestandteils (geführt), und die Tangente-Funktion gibt den Hang (Y-Bestandteil, der durch den X-Bestandteil geteilt ist). Über genauere Definitionen wird unten ausführlich berichtet. Trigonometrische Funktionen werden als Verhältnisse von zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes allgemein definiert, das den Winkel enthält, und können als die Längen von verschiedenen Liniensegmenten von einem Einheitskreis gleichwertig definiert werden. Modernere Definitionen drücken sie als unendliche Reihe oder als Lösungen bestimmter Differenzialgleichungen aus, ihre Erweiterung auf willkürliche positive und negative Werte und sogar auf komplexe Zahlen erlaubend.

Trigonometrische Funktionen haben eine breite Reihe des Gebrauches einschließlich der Computerwissenschaft unbekannter Längen und Winkel in Dreiecken (häufig rechtwinklige Dreiecke). In diesem Gebrauch werden trigonometrische Funktionen, zum Beispiel, in der Navigation, Technik und Physik verwendet. Eine übliche Anwendung in der einfachen Physik löst einen Vektoren in Kartesianische Koordinaten auf. Der Sinus und die Kosinus-Funktionen werden auch allgemein verwendet, um periodische Funktionsphänomene wie gesunde und leichte Wellen, die Position und Geschwindigkeit von harmonischen Oszillatoren, Sonnenlicht-Intensität und Tageslänge und durchschnittlichen Temperaturschwankungen im Laufe des Jahres zu modellieren.

Im modernen Gebrauch gibt es sechs grundlegende trigonometrische Funktionen, tabellarisiert hier mit Gleichungen, die sie mit einander verbinden. Besonders mit den letzten vier werden diese Beziehungen häufig als die Definitionen jener Funktionen genommen, aber man kann sie ebenso gut geometrisch, oder durch andere Mittel definieren, und dann diese Beziehungen ableiten.

Rechtwinklige Dreieck-Definitionen

Der Begriff, dass es eine Standardähnlichkeit zwischen den Längen der Seiten eines Dreiecks und der Winkel des Dreiecks geben sollte, kommt, sobald man anerkennt, dass ähnliche Dreiecke dieselben Verhältnisse zwischen ihren Seiten aufrechterhalten. D. h. für jedes ähnliche Dreieck bleibt das Verhältnis der Hypotenuse (zum Beispiel) und einer anderen der Seiten dasselbe. Wenn die Hypotenuse zweimal so lang ist, die Seiten auch. Es sind diese Verhältnisse, die die trigonometrischen Funktionen ausdrücken.

Um die trigonometrischen Funktionen für den Winkel A zu definieren, fangen Sie mit jedem rechtwinkligen Dreieck an, das den Winkel A enthält. Die drei Seiten des Dreiecks werden wie folgt genannt:

• Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem richtigen Winkel, in diesem Fall Seite h. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.
• Die Gegenseite ist die Seite gegenüber dem Winkel wir interessieren uns für (biegen Sie A um), in diesem Fall Seite a.
• Die angrenzende Seite ist die Seite, die sowohl die Winkel von Interesse hat (biegen Sie A als auch richtigen Winkel C um), in diesem Fall Seite b.

In der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie, gemäß dem Dreieck-Postulat, den Innenwinkeln jedes Dreiecks 180 Gesamt° (π radians). Deshalb, in einem rechtwinkligen Dreieck, biegt das zwei Nichtrecht 90 Gesamt° um (π/2 radians), so muss jeder dieser Winkel im Rahmen (0 °, 90 °), wie ausgedrückt, in der Zwischenraum-Notation sein. Die folgenden Definitionen gelten für Winkel in diesem 0 ° - 90 °-Reihe. Sie können zum vollen Satz von echten Argumenten durch das Verwenden des Einheitskreises, oder durch das Verlangen bestimmten symmetries und dass sie erweitert werden, periodische Funktionen sein. Zum Beispiel zeigt die Zahl Sünde θ für Winkel θ, π  θ, π + θ, und 2π  θ gezeichnet auf dem Einheitskreis (Spitze) und als ein Graph (Boden). Der Wert des Sinus wiederholt sich abgesondert vom Zeichen in allen vier Quadranten, und wenn die Reihe von θ zu zusätzlichen Folgen erweitert wird, wiederholt sich dieses Verhalten regelmäßig mit einer Periode 2π.

Die trigonometrischen Funktionen werden im folgenden Tisch zusammengefasst und ausführlicher unten beschrieben. Der Winkel θ ist der Winkel zwischen der Hypotenuse und der angrenzenden Linie - der Winkel an im Begleitdiagramm.

So, als θ von 0 bis zu einem richtigen Winkel geht, geht Sünde θ von 0 bis 1, Lohe θ geht von 0 bis , und sec θ geht von 1 bis .]]

Sinus, Kosinus und Tangente

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenseite zur Länge der Hypotenuse. (Das Wort kommt aus der lateinischen Kurve für den Golf oder die Bucht seitdem in Anbetracht eines Einheitskreises, es ist die Seite des Dreiecks, auf dem sich der Winkel öffnet). In unserem Fall

:

Bemerken Sie, dass dieses Verhältnis von Größe des besonderen rechtwinkligen Dreieckes gewählt nicht abhängt, so lange es den Winkel A enthält, da alle diese Dreiecke ähnlich sind.

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite zur Länge der Hypotenuse: So genannt, weil es der Sinus des ergänzenden oder Co-Winkels ist. In unserem Fall

:

Die Tangente eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenseite zur Länge der angrenzenden Seite: So genannt, weil es als eine Liniensegment-Tangente zum Kreis vertreten werden kann, der die Linie ist, die den Kreis, von lateinischem linea tangens oder rührender Linie (vgl tangere berührt, um sich zu berühren). In unserem Fall

:

Die Akronyme "SOHCAHTOA" ("Zehe-Einweichen", "Socke-toa", "Einweichen-toa") und "OHSAHCOAT" sind allgemein verwendete Gedächtniskunst für diese Verhältnisse.

Gegenseitige Funktionen

Die restlichen drei Funktionen werden am besten mit den obengenannten drei Funktionen definiert.

Der cosecant csc (A), oder cosec (A), ist das Gegenstück der Sünde (A), d. h. das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge der Gegenseite:

:

Die Sekante sec (A) ist das Gegenstück weil (A), d. h. das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge der angrenzenden Seite:

:

Es ist so genannt, weil es die Linie vertritt, die den Kreis schneidet (von Latein: Secare, um zu schneiden).

Das Kotangens-Kinderbettchen (A) ist das Gegenstück der Lohe (A), d. h. das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite zur Länge der Gegenseite:

:

Steigungsdefinitionen

Gleichwertig zu den Definitionen des rechtwinkligen Dreieckes können die trigonometrischen Funktionen auch in Bezug auf den Anstieg definiert, und Hang eines Liniensegmentes hinsichtlich des horizontalen geführt werden. Der Hang wird als "Anstieg über den geführten" allgemein unterrichtet oder. Die drei trigonometrischen Hauptfunktionen werden im Ordnungssinus, dem Kosinus, der Tangente allgemein unterrichtet. Mit einer Liniensegment-Länge 1 (als in einem Einheitskreis) zeigen die folgenden mnemonischen Geräte die Ähnlichkeit von Definitionen:

1. "Sinus ist erst, Anstieg bedeutet zuerst", dass Sinus den Winkel des Liniensegmentes nimmt und seinen vertikalen Anstieg erzählt, wenn die Länge der Linie 1 ist.
2. "Kosinus ist zweit, geführt ist das zweite" Meinen, dass Kosinus den Winkel des Liniensegmentes nimmt und seinen horizontalen Lauf erzählt, wenn die Länge der Linie 1 ist.
3. "Tangente verbindet den Anstieg und das geführte" Meinen, dass Tangente den Winkel des Liniensegmentes nimmt und seinen Hang erzählt; oder wechselweise, erzählt den vertikalen Anstieg, wenn der horizontale Lauf des Segmentes der Linie 1 ist.

Das zeigt den Hauptgebrauch der Tangente und arctangent: Das Umwandeln zwischen den zwei Weisen, die Schräge einer Linie, d. h., Winkel und Hang zu erzählen. (Bemerken Sie, dass der arctangent oder "die umgekehrte Tangente" mit dem Kotangens nicht verwirrt sein sollen, der durch den Sinus geteilter Kosinus ist.)

Während die Länge des Liniensegmentes keinen Unterschied für den Hang macht (der Hang hängt von der Länge der abgeschrägten Linie nicht ab), es betrifft wirklich Anstieg und laufen. Um den wirklichen Anstieg anzupassen und zu finden und zu um laufen, wenn die Linie keine Länge 1, gerade hat, multiplizieren Sie den Sinus und Kosinus durch die Linienlänge. Zum Beispiel, wenn das Liniensegment Länge 5 hat, ist der Lauf in einem Winkel von 7 ° 5 weil (7 °)

Einheitskreis-Definitionen

Die sechs trigonometrischen Funktionen können auch in Bezug auf den Einheitskreis, den Kreis des Radius ein in den Mittelpunkt gestellter am Ursprung definiert werden. Die Einheitskreisdefinition stellt wenig im Weg der praktischen Berechnung zur Verfügung; tatsächlich verlässt es sich auf rechtwinklige Dreiecke für die meisten Winkel.

Die Einheitskreisdefinition erlaubt wirklich jedoch die Definition der trigonometrischen Funktionen für alle positiven und negativen Argumente, nicht nur für Winkel zwischen 0 und π/2 radians.

Es stellt auch ein einzelnes Sehbild zur Verfügung, das sofort alle wichtigen Dreiecke kurz zusammenfasst. Vom Pythagoreischen Lehrsatz ist die Gleichung für den Einheitskreis:

:

Im Bild werden einige allgemeine Winkel, die in radians gemessen sind, gegeben. Maße in gegen den Uhrzeigersinn ist Richtung positive Winkel und Maße in im Uhrzeigersinn Richtung ist negative Winkel.

Lassen Sie eine Linie durch den Ursprung, einen Winkel von θ mit der positiven Hälfte der X-Achse machend, schneiden Sie den Einheitskreis durch. Der x- und die Y-Koordinaten dieses Punkts der Kreuzung sind weil θ und Sünde θ beziehungsweise gleich.

Das Dreieck in der Grafik macht die Formel geltend; der Radius ist der Hypotenuse gleich und hat Länge 1, so haben wir Sünde θ = y/1 und weil θ = x/1. Vom Einheitskreis kann als eine Weise gedacht werden, auf eine unendliche Zahl von Dreiecken durch das Verändern der Längen ihrer Beine, aber das Halten der Längen ihrer Hypotenusen gleich 1 zu schauen.

Bemerken Sie, dass diese Werte in der Form leicht eingeprägt werden können

:

aber die Winkel sind nicht ebenso unter Drogeneinfluss.

Die Werte für 15 °, 54 ° und 75 ° sind ein bisschen mehr kompliziert.

:::

die Werte für 3º, 6º, 9º, 18º, 36º, 72º, 84º, 87º sind der ganze viel mehr komplizierte

::::::::

Für Winkel, die größer sind als 2π oder weniger als 2π, setzen Sie einfach fort, um den Kreis zu rotieren; Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 2π:

::

für jeden Winkel θ und jede ganze Zahl k.

Die kleinste positive Periode einer periodischen Funktion wird die primitive Periode der Funktion genannt.

Die primitive Periode des Sinus oder Kosinus ist ein Vollkreis, d. h. 2π radians oder 360 Grade.

Oben wurden nur Sinus und Kosinus direkt durch den Einheitskreis definiert, aber andere trigonometrische Funktionen können definiert werden durch:

:

\begin {richten }\aus

\tan\theta & = \frac {\\sin\theta} {\\cos\theta}, \\cot\theta = \frac {\\cos\theta} {\\sin\theta} = \frac {1} {\\tan\theta} \\

\sec\theta & = \frac {1} {\\cos\theta}, \\csc\theta = \frac {1} {\\sin\theta }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

So:

• Die primitive Periode der Sekante oder cosecant ist auch ein Vollkreis, d. h. 2π radians oder 360 Grade.
• Die primitive Periode der Tangente oder des Kotangens ist nur ein Halbkreis, d. h. π radians oder 180 Grade.

]]

Das Image am Recht schließt einen Graphen der Tangente-Funktion ein.

• Seine θ-intercepts entsprechen denjenigen der Sünde (θ), während seine unbestimmten Werte dem θ-intercepts weil (θ) entsprechen.
• Die Funktion wechselt langsam Winkel von kπ, aber ändert sich schnell in Winkeln in der Nähe von (k + 1/2) π.
• Der Graph der Tangente-Funktion hat auch eine vertikale Asymptote an θ = (k + 1/2) π, der θ-intercepts der Kosinus-Funktion, weil sich die Funktion Unendlichkeit als θ Annäherungen (k + 1/2) π vom links und minus die Unendlichkeit nähert, wie es sich (k + 1/2) π vom Recht nähert.

Wechselweise können alle grundlegenden trigonometrischen Funktionen in Bezug auf einen Einheitskreis definiert werden, der an O (wie gezeigt, im Bild nach rechts) in den Mittelpunkt gestellt ist, und ähnlich ist, solche geometrischen Definitionen wurden historisch verwendet.

• Insbesondere für einen Akkord ist AB des Kreises, wo θ Hälfte des entgegengesetzten Winkels, Sünde (θ) ist, AC (Hälfte des Akkords), eine in Indien eingeführte Definition (sieh Geschichte).
• weil (θ) die horizontale Entfernung OC und versin (θ) = 1  ist, weil (θ) CD ist.
• Lohe (θ) ist die Länge des Segmentes AE der Tangente-Linie durch A, folglich die Worttangente für diese Funktion. Kinderbettchen (θ) ist ein anderes Tangente-Segment, NIEDERFREQUENZ.
• sec (θ) = sind OE und csc (θ) = DESSEN Segmente von schneidenden Linien (den Kreis an zwei Punkten durchschneidend), und können auch als Vorsprünge von OA entlang der Tangente an zu den horizontalen und vertikalen Äxten beziehungsweise angesehen werden.
• DE ist exsec (θ) = sec (θ)  1 (der Teil der Sekante draußen, oder ab, der Kreis).
• Von diesen Aufbauten ist es leicht zu sehen, dass die Sekante und Tangente-Funktionen abweichen, weil sich θ π/2 (90 Grade) nähert, und dass der cosecant und Kotangens abweichen, weil sich θ Null nähert. (Viele ähnliche Aufbauten sind möglich, und die grundlegende trigonometrische Identität kann auch grafisch bewiesen werden.)

Reihe-Definitionen

Trigonometrische Funktionen sind analytische Funktionen. Mit nur die Geometrie und Eigenschaften von Grenzen kann es gezeigt werden, dass die Ableitung des Sinus Kosinus ist und die Ableitung des Kosinus die Verneinung des Sinus ist. (Hier, und allgemein in der Rechnung werden alle Winkel in radians gemessen; sieh auch die Bedeutung von radians unten.) Kann man dann die Theorie der Reihe von Taylor verwenden zu zeigen, dass die folgende Identität für alle reellen Zahlen x hält:

:\begin {richten }\aus

\sin x & = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + \cdots \\

& = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {(-1) ^n x^ {2n+1}} {(2n+1)!}, \\

\cos x & = 1 - \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} + \cdots \\

& = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {(-1) ^n x^ {2n}} {(2n)!}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Diese Identität wird manchmal als die Definitionen des Sinus und der Kosinus-Funktion genommen. Sie werden häufig als der Startpunkt in einer strengen Behandlung von trigonometrischen Funktionen und ihren Anwendungen (z.B, in der Reihe von Fourier) verwendet, da die Theorie der unendlichen Reihe entwickelt, von irgendwelchen geometrischen Rücksichten von den Fundamenten des Systems der reellen Zahl unabhängig werden kann. Der differentiability und die Kontinuität dieser Funktionen werden dann aus den Reihe-Definitionen allein gegründet.

Das Kombinieren dieser zwei Reihen gibt die Formel von Euler: Weil x + ich x = e sündige.

Andere Reihe kann gefunden werden. Für die folgenden trigonometrischen Funktionen:

: U ist das n-te/unten Zahl,

: B ist die n-te Zahl von Bernoulli und

der

: E ist (unten) die n-te Zahl von Euler.

Tangente

: \begin {richten }\aus

\tan x & {} = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {U_ {2n+1} x^ {2n+1}} {(2n+1)!} \\

& {} = \sum_ {n=1} ^\\infty \frac {(-1) ^ {n-1} 2^ {2n} (2^ {2n}-1) B_ {2n} x^ {2n-1}} {(2n)!} \\

& {} = x + \frac {1} {3} x^3 + \frac {2} {15} x^5 + \frac {17} {315} x^7 + \cdots, \qquad \text {für} |x |

Wenn diese Reihe für die Tangente-Funktion in einer Form ausgedrückt wird, in der die Nenner der entsprechende factorials, die Zähler sind, hat die "Tangente-Zahlen" genannt, haben eine kombinatorische Interpretation: Sie zählen Wechselversetzungen von begrenzten Sätzen von sonderbarem cardinality auf.

Cosecant

: \begin {richten }\aus

\csc x & {} = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {(-1) ^ {n+1} 2 (2^ {2n-1}-1) B_ {2n} x^ {2n-1}} {(2n)!} \\

& {} = x^ {-1} + \frac {1} {6} x + \frac {7} {360} x^3 + \frac {31} {15120} x^5 + \cdots, \qquad \text {für} 0

Sekante

: \begin {richten }\aus

\sec x & {} = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {U_ {2n} x^ {2n}} {(2n)! }\

\sum_ {n

0\^\\infty \frac {(-1) ^n E_ {2n} x^ {2n}} {(2n)!} \\

& {} = 1 + \frac {1} {2} x^2 + \frac {5} {24} x^4 + \frac {61} {720} x^6 + \cdots, \qquad \text {für} |x |

Wenn diese Reihe für die schneidende Funktion in einer Form ausgedrückt wird, in der die Nenner der entsprechende factorials, die Zähler sind, hat die "schneidenden Zahlen" genannt, haben eine kombinatorische Interpretation: Sie zählen Wechselversetzungen von begrenzten Sätzen sogar cardinality auf.

Kotangens

: \begin {richten }\aus

\cot x & {} = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {(-1) ^n 2^ {2n} B_ {2n} x^ {2n-1}} {(2n)!} \\

& {} = x^ {-1} - \frac {1} {3} x - \frac {1} {45} x^3 - \frac {2} {945} x^5 - \cdots, \qquad \text {für} 0

Von einem Lehrsatz in der komplizierten Analyse gibt es eine einzigartige analytische Verlängerung dieser echten Funktion zum Gebiet von komplexen Zahlen. Sie haben dieselbe Reihe von Taylor, und so werden die trigonometrischen Funktionen auf den komplexen Zahlen mit der Reihe von Taylor oben definiert.

Es gibt eine Reihe-Darstellung als teilweise Bruchteil-Vergrößerung, wo gerade übersetzt, gegenseitige Funktionen werden summiert, solch, dass die Pole des Kotangens fungieren und das gegenseitige Funktionsmatch:

:

\pi \cdot \cot (\pi x) = \lim_ {N\to\infty }\\sum_ {n =-n} ^N \frac {1} {x+n}.

</Mathematik>

Diese Identität kann mit dem Trick von Herglotz bewiesen werden.

Durch das Kombinieren des-th mit dem-Th-Begriff kann es als eine absolut konvergente Reihe ausgedrückt werden:

:

\pi \cdot \cot (\pi x) = \frac {1} {x} + \sum_ {n=1} ^\\infty \frac {2x} {x^2-n^2}.

</Mathematik>

Beziehung zur Exponentialfunktion und den komplexen Zahlen

Es kann aus den Reihe-Definitionen gezeigt werden, dass der Sinus und die Kosinus-Funktionen die imaginären und echten Teile beziehungsweise von der komplizierten Exponentialfunktion sind, wenn sein Argument rein imaginär ist:

:

Diese Identität wird die Formel von Euler genannt. Auf diese Weise werden trigonometrische Funktionen notwendig in der geometrischen Interpretation der komplizierten Analyse. Zum Beispiel, mit der obengenannten Identität, wenn man den Einheitskreis im komplizierten Flugzeug denkt, das durch e, und als oben parametrisiert ist, können wir diesen Kreis in Bezug auf Kosinus und Sinus parametrisieren, die Beziehung zwischen dem Komplex Exponential- und den trigonometrischen Funktionen wird mehr offenbar.

Die Formel von Euler kann auch verwendet werden, um etwas trigonometrische Identität, durch das Schreiben des Sinus und Kosinus als abzuleiten:

::

Außerdem berücksichtigt das die Definition der trigonometrischen Funktionen für komplizierte Argumente z:

::

wo ich = 1. Der Sinus und dadurch definierte Kosinus sind komplette Funktionen. Außerdem für rein echten x,

::

Es ist auch manchmal nützlich, den komplizierten Sinus und die Kosinus-Funktionen in Bezug auf die echten und imaginären Teile ihrer Argumente auszudrücken.

::

Das stellt eine tiefe Beziehung zwischen dem komplizierten Sinus und den Kosinus-Funktionen und ihrem echten (Sünde, weil) und hyperbolisch echt (sinh, Totschläger) Kopien aus.

Imaginäre Einheit

Die Formel von Euler kann durch das Verwenden der Macht-Formeln und Logarithmen dichtgemacht werden.

: und

oder und

beweisen Sie den Sinus, und Kosinus-Funktionen können mit der imaginären Einheit zur Macht von x vertreten werden.

: c ist ein notwendiger Umwandlungsfaktor für die vernunftwidrige Funktion, wie eine regelmäßige trigonometrische Funktion zu arbeiten

Diese Formel ist auch eine einfache Umwandlungsmethode, die rechteckigen Koordinaten von x und y von Polarkoordinaten zu finden.

: und

Jedoch ist das nicht dasselbe als die regelmäßigen trigonometrischen Funktionen, die das eine vernunftwidrige trigonometrische Funktion oder ein Vektor auf dem Einheitskreis machen.

&

Deshalb

Die vernunftwidrige trigonometrische Funktion verlangt, dass ein völlig verschiedener Satz von Gleichungen löst, als eine regelmäßige trigonometrische Funktion.

Zum Beispiel:

Mit einer vernunftwidrigen trigonometrischen Funktion ist die doppelte Winkelformel für den Kosinus

:

Wohingegen mit einer regelmäßigen trigonometrischen Funktion die doppelte Winkelformel für den Kosinus ist

:

Komplizierte Graphen

In den folgenden Graphen ist das Gebiet das komplizierte Flugzeug geschildert, und die Reihe-Werte werden an jedem Punkt durch die Farbe angezeigt. Helligkeit zeigt die Größe (absoluter Wert) des Reihe-Werts mit dem Schwarzen an, der Null ist. Farbton ändert sich mit dem Argument oder Winkel, der von der positiven echten Achse gemessen ist.

Definitionen über Differenzialgleichungen

Sowohl der Sinus als auch die Kosinus-Funktionen befriedigen die Differenzialgleichung:

:

Das heißt, ist jeder das zusätzliche Gegenteil seiner eigenen zweiten Ableitung. Innerhalb des 2-dimensionalen Funktionsraums V, aus allen Lösungen dieser Gleichung, bestehend

• die Sinusfunktion ist die einzigartige Lösung, die die anfängliche Bedingung und den befriedigt
• die Kosinus-Funktion ist die einzigartige Lösung, die die anfängliche Bedingung befriedigt.

Da der Sinus und die Kosinus-Funktionen linear unabhängig sind, zusammen bilden sie eine Basis V. Diese Methode, den Sinus und die Kosinus-Funktionen zu definieren, ist zum Verwenden der Formel von Euler im Wesentlichen gleichwertig. (Sieh lineare Differenzialgleichung.) Stellt es sich heraus, dass diese Differenzialgleichung nicht nur verwendet werden kann, um den Sinus und die Kosinus-Funktionen zu definieren sondern auch die trigonometrische Identität für den Sinus und die Kosinus-Funktionen zu beweisen.

Weiter, die Beobachtung, dass Sinus und Kosinus y&prime;&prime befriedigen; = &minus;y bedeutet, dass sie eigenfunctions des Maschinenbedieners der zweiten Ableitung sind.

Die Tangente-Funktion ist die einzigartige Lösung der nichtlinearen Differenzialgleichung

:

die Zufriedenheit der anfänglichen Bedingung y (0) = 0. Es gibt einen sehr interessanten Sehbeweis, dass die Tangente-Funktion diese Differenzialgleichung befriedigt.

Die Bedeutung von radians

Radians geben einen Winkel durch das Messen der Länge um den Pfad des Einheitskreises an und setzen ein spezielles Argument für den Sinus und die Kosinus-Funktionen ein. Insbesondere nur Sinus und Kosinus, die radians zu Verhältnissen kartografisch darstellen, befriedigen die Differenzialgleichungen, die sie klassisch beschreiben. Wenn ein Argument für den Sinus oder Kosinus in radians durch die Frequenz, erklettert wird

:

dann werden die Ableitungen durch den Umfang klettern.

:

Hier ist k eine Konstante, die vertritt zwischen Einheiten kartografisch darzustellen. Wenn x in Graden, dann ist

:

Das bedeutet, dass die zweite Ableitung eines Sinus in Graden die Differenzialgleichung nicht befriedigt

:

aber eher

:

Die zweite Ableitung des Kosinus benimmt sich ähnlich.

Das bedeutet, dass diese Sinus und Kosinus verschiedene Funktionen sind, und dass die vierte Ableitung des Sinus Sinus wieder nur sein wird, wenn das Argument in radians ist.

Identität

Viele Identität bringt die trigonometrischen Funktionen zueinander in Beziehung. Unter am häufigsten verwendetem ist die Pythagoreische Identität, die feststellt, dass für jeden Winkel das Quadrat des Sinus plus das Quadrat des Kosinus 1 ist. Das ist leicht, durch das Studieren eines rechtwinkligen Dreieckes der Hypotenuse 1 und die Verwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes zu sehen. In der symbolischen Form wird die Pythagoreische Identität geschrieben

:

wo Sünde x +, weil x Standardnotation für (Sünde x) + (weil x) ist.

Andere Schlüsselbeziehungen sind die Summe und Unterschied-Formeln, die den Sinus und den Kosinus der Summe und den Unterschied von zwei Winkeln in Bezug auf Sinus und die Kosinus der Winkel selbst geben. Diese können geometrisch, mit Argumenten dieses Datum an Ptolemy abgeleitet werden. Man kann sie auch die Formel von algebraisch verwendendem Euler erzeugen.

::::

wenn sie in zusammen für eine 3 Zahl-Summe verwendet werden, verwandelt sie sich in eine andere ähnliche Gleichung

::

Wenn die zwei Winkel gleich sind, nehmen die Summe-Formeln zu einfacheren als die Formeln des doppelten Winkels bekannten Gleichungen ab.

::

wenn es drei Zahlen gibt, kann man eine andere Formel eine "Formel des dreifachen Winkels" verwenden

::

Diese Identität kann auch verwendet werden, um die Identität des Produktes zur Summe abzuleiten, die in der Altertümlichkeit verwendet wurde, um das Produkt von zwei Zahlen in eine Summe von Zahlen und außerordentlich Geschwindigkeitsoperationen viel wie die Logarithmus-Funktion umzugestalten.

Rechnung

Für Integrale und Ableitungen von trigonometrischen Funktionen, sieh die relevanten Abteilungen der Unterscheidung von trigonometrischen Funktionen, Listen von Integralen und Liste von Integralen von trigonometrischen Funktionen. Unten ist die Liste der Ableitungen und Integrale der sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Die Nummer C ist eine Konstante der Integration.

:

Definitionen mit funktionellen Gleichungen

In der mathematischen Analyse kann man die trigonometrischen Funktionen mit funktionellen Gleichungen definieren, die auf Eigenschaften wie die Summe und Unterschied-Formeln gestützt sind. Wie gegeben, diese Formeln und die Pythagoreische Identität zum Beispiel nehmend, kann man beweisen, dass nur zwei echte Funktionen jene Bedingungen befriedigen. Symbolisch sagen wir, dass dort genau ein Paar von echten Funktionen — und — solch besteht, dass für alle reellen Zahlen und die folgenden Gleichungen halten:

:::

mit der zusätzlichen Bedingung das

:

Andere Abstammungen, von anderen funktionellen Gleichungen anfangend, sind auch möglich, und solche Abstammungen können zu den komplexen Zahlen erweitert werden.

Als ein Beispiel kann diese Abstammung verwendet werden, um Trigonometrie in Feldern von Galois zu definieren.

Berechnung

Die Berechnung von trigonometrischen Funktionen ist ein kompliziertes Thema, das heute von den meisten Menschen wegen der weit verbreiteten Verfügbarkeit von Computern und wissenschaftlichen Rechenmaschinen vermieden werden kann, die eingebaute trigonometrische Funktionen für jeden Winkel zur Verfügung stellen. Diese Abteilung beschreibt jedoch Details ihrer Berechnung in drei wichtigen Zusammenhängen: Der historische Gebrauch von trigonometrischen Tischen, die modernen Techniken, die durch Computer und einige "wichtige" Winkel verwendet sind, wo einfache genaue Werte leicht gefunden werden.

Der erste Schritt in der Computerwissenschaft jeder trigonometrischen Funktion ist die Reihe-Verminderung — das Reduzieren des gegebenen Winkels zu einem "reduzierten Winkel" innerhalb einer kleinen Reihe von Winkeln, sagen Sie 0 π/2, mit der Periodizität und symmetries der trigonometrischen Funktionen.

Vor Computern haben Leute normalerweise trigonometrische Funktionen bewertet, indem sie von einem ausführlichen Tisch ihrer Werte interpoliert haben, die zu vielen bedeutenden Zahlen berechnet sind. Solche Tische sind für verfügbar gewesen, so lange trigonometrische Funktionen beschrieben worden sind (sieh Geschichte unten), und wurden normalerweise durch die wiederholte Anwendung des Halbwinkels und der Winkelhinzufügungsidentität erzeugt, die von einem bekannten Wert (wie Sünde (π/2) = 1) anfängt.

Moderne Computer verwenden eine Vielfalt von Techniken. Eine übliche Methodik, besonders auf Verarbeitern des höheren Endes mit Schwimmpunkt-Einheiten, soll eine polynomische oder vernünftige Annäherung (wie Annäherung von Tschebyscheff, beste gleichförmige Annäherung und Annäherung von Padé, und normalerweise für höher oder variable Präzision, Taylor und Reihe von Laurent) mit der Reihe-Verminderung und einem Tisch lookup verbinden — sie schlagen zuerst den nächsten Winkel in einem kleinen Tisch nach, und verwenden dann das Polynom, um die Korrektur zu schätzen. Geräte, die an Hardware-Vermehrern häufig Mangel haben, verwenden einen Algorithmus genannt CORDIC (sowie verwandte Techniken), der nur Hinzufügung, Subtraktion, bitshift, und Tisch lookup verwendet. Diese Methoden werden in Hardware-Schwimmpunkt-Einheiten aus Leistungsgründen allgemein durchgeführt.

Für sehr hohe Präzisionsberechnungen, wenn Reihenentwicklungskonvergenz zu langsame, trigonometrische Funktionen wird, kann durch das arithmetische geometrische Mittel näher gekommen werden, das selbst der trigonometrischen Funktion durch das (komplizierte) elliptische Integral näher kommt.

Schließlich, für einige einfache Winkel, können die Werte durch die Hand mit dem Pythagoreischen Lehrsatz, als in den folgenden Beispielen leicht geschätzt werden. Zum Beispiel können der Sinus, der Kosinus und die Tangente jeder ganzen Zahl, die von radians (3 °) vielfach ist, genau mit der Hand gefunden werden.

Denken Sie ein rechtwinkliges Dreieck, wo die zwei anderen Winkel gleich sind, und deshalb beide radians (45 °) sind. Dann die Länge der Seite b und die Länge der Seite gleich zu sein; wir können wählen. Die Werte des Sinus, des Kosinus und der Tangente eines Winkels von radians (45 °) können dann mit dem Pythagoreischen Lehrsatz gefunden werden:

:

Deshalb:

::

Um die trigonometrischen Funktionen für Winkel von π/3 radians (60 Grade) und π/6 radians (30 Grade) zu bestimmen, fangen wir mit einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 1 an. Alle seine Winkel sind π/3 radians (60 Grade). Indem wir es in zwei teilen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit π/6 radians (30 Grade) und π/3 radians (60 Grade) Winkel. Für dieses Dreieck, die kürzeste Seite = 1/2, die folgende größte Seite = (3)/2 und die Hypotenuse = 1. Das trägt:

:::

Spezielle Werte in trigonometrischen Funktionen

Es gibt einige allgemein verwendete spezielle Werte in trigonometrischen Funktionen, wie gezeigt, im folgenden Tisch.

Das Symbol hier vertritt den Punkt bei der Unendlichkeit auf der echten projektiven Linie, die Grenze auf der verlängerten echten Linie ist auf einer Seite und auf dem anderen.

Umgekehrte Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen, sind und folglich nicht injective periodisch, so ausschließlich haben sie keine umgekehrte Funktion. Um deshalb eine umgekehrte Funktion zu definieren, müssen wir ihre Gebiete einschränken, so dass die trigonometrische Funktion bijektiv ist. Im folgenden werden die Funktionen links durch die Gleichung rechts definiert; das ist nicht bewiesene Identität. Die Hauptgegenteile werden gewöhnlich als definiert:

Die Notationen sündigen, und weil häufig für arcsin und arccos usw. verwendet werden. Wenn diese Notation verwendet wird, konnten die umgekehrten Funktionen mit den multiplicative Gegenteilen der Funktionen verwirrt sein. Die Notation mit dem "Kreisbogen -" Präfix vermeidet solche Verwirrung, obwohl "arcsec" mit "arcsecond" verwirrt sein kann.

Gerade wie der Sinus und Kosinus können die umgekehrten trigonometrischen Funktionen auch in Bezug auf die unendliche Reihe definiert werden. Zum Beispiel,

:

\arcsin z = z + \left (\frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left (\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left (\frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^7} {7} + \cdots \. </math>

Diese Funktionen können auch durch den Beweis definiert werden, dass sie Antiableitungen anderer Funktionen sind. Der arcsine kann zum Beispiel als das folgende Integral geschrieben werden:

:

\arcsin z =

\int_0^z (1 - x^2) ^ {-1/2 }\\, dx, \quad |z |

Analoge Formeln für die anderen Funktionen können an Umgekehrten trigonometrischen Funktionen gefunden werden. Mit dem komplizierten Logarithmus kann man alle diese Funktionen zu komplizierten Argumenten verallgemeinern:

:

\arcsin z =-i \log \left (ich z + \sqrt {1 - z^2} \right), \,

</Mathematik>:

\arccos z =-i \log \left (z + \sqrt {z^2 - 1 }\\Recht), \,

</Mathematik>:

\arctan z = \frac12i \log\left (\frac {1-iz} {1+iz }\\Recht).

</Mathematik>

Eigenschaften und Anwendungen

Die trigonometrischen Funktionen, wie der Name darauf hinweist, sind von entscheidender Wichtigkeit in der Trigonometrie hauptsächlich wegen der folgenden zwei Ergebnisse.

Gesetz von Sinus

Das Gesetz von Sinus stellt fest, dass für ein willkürliches Dreieck mit Seiten a, b, und c und gegenüber jenen Seiten A, B und C angelt:

:

oder, gleichwertig,

:

wo R der circumradius des Dreiecks ist.

Es kann durch das Teilen des Dreiecks in zwei richtige und das Verwenden der obengenannten Definition des Sinus bewiesen werden. Das Gesetz von Sinus ist nützlich, für die Längen der unbekannten Seiten in einem Dreieck zu schätzen, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Das ist eine allgemeine Situation, die in der Triangulation, eine Technik vorkommt, um unbekannte Entfernungen durch das Messen von zwei Winkeln und einer zugänglichen beiliegenden Entfernung zu bestimmen.

Gesetz von Kosinus

Das Gesetz von Kosinus (auch bekannt als die Kosinus-Formel) ist eine Erweiterung des Pythagoreischen Lehrsatzes:

:

oder gleichwertig,

:

In dieser Formel ist der Winkel an C gegenüber der Seite c. Dieser Lehrsatz kann durch das Teilen des Dreiecks in zwei richtige und das Verwenden des Pythagoreischen Lehrsatzes bewiesen werden.

Das Gesetz von Kosinus kann verwendet werden, um eine Seite eines Dreiecks zu bestimmen, wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind. Es kann auch verwendet werden, um die Kosinus eines Winkels zu finden (und folglich die Winkel selbst), wenn die Längen aller Seiten bekannt sind.

Gesetz von Tangenten

Das folgende die ganze Form das Gesetz von Tangenten

:::

Die Erklärung der Formeln in Wörtern, würde aber die Muster von Summen und Unterschieden beschwerlich sein; für die Längen und entsprechenden entgegengesetzten Winkel, sind im Lehrsatz offenbar.

Gesetz von Kotangens

Wenn

:

(der Radius des eingeschriebenen Kreises für das Dreieck) und

:

(der Halbumfang für das Dreieck), dann das folgende die ganze Form das Gesetz von Kotangens

:::

Hieraus folgt dass

:

In Wörtern ist der Lehrsatz: Der Kotangens eines Halbwinkels kommt dem Verhältnis des Halbumfangs minus die Gegenseite zu vorerwähntem Winkel zum inradius für das Dreieck gleich.

Andere nützliche Eigenschaften

Sinus und Kosinus von Summen von Winkeln

Periodische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen sind auch in der Physik wichtig. Der Sinus und die Kosinus-Funktionen werden zum Beispiel verwendet, um einfache harmonische Bewegung, der Modelle viele natürliche Phänomene wie die Bewegung einer Masse zu beschreiben, die einem Frühling und, für kleine Winkel, die pendular Bewegung einer Masse beigefügt ist, die durch eine Schnur hängt. Der Sinus und die Kosinus-Funktionen sind eindimensionale Vorsprünge der gleichförmigen kreisförmigen Bewegung.

Trigonometrische Funktionen erweisen sich auch, in der Studie von allgemeinen periodischen Funktionen nützlich zu sein. Die charakteristischen Welle-Muster von periodischen Funktionen sind nützlich, um wiederkehrende Phänomene wie gesunde oder leichte Wellen zu modellieren.

Unter ziemlich allgemeinen Bedingungen, eine periodische Funktion &fnof; (x) kann als eine Summe von Sinus-Wellen oder Kosinus-Wellen in einer Reihe von Fourier ausgedrückt werden. Den Sinus oder die Kosinus-Basisfunktionen durch φ anzeigend, nimmt die Vergrößerung des periodischen Funktions-ƒ (t) die Form an:

:

Zum Beispiel kann die Quadratwelle als die Reihe von Fourier geschrieben werden

:

Im Zeichentrickfilm einer Quadratwelle am Spitzenrecht kann es gesehen werden, dass gerade einige Begriffe bereits eine ziemlich gute Annäherung erzeugen. Die Überlagerung von mehreren Begriffen in der Vergrößerung einer Sägezahnwelle wird unten gezeigt.

Geschichte

Während die frühe Studie der Trigonometrie zur Altertümlichkeit verfolgt werden kann, wurden die trigonometrischen Funktionen, wie sie im Gebrauch heute sind, in der mittelalterlichen Periode entwickelt.

Die Akkord-Funktion wurde von Hipparchus von Nicaea (180-125 v. Chr.) und Ptolemy aus römischem Ägypten (90-165 n.Chr.) entdeckt.

Der Funktionssinus und Kosinus können zum jyā und den Koti-Jyā-Funktionen verfolgt werden, die in der Periode-Indianerastronomie von Gupta (Aryabhatiya, Surya Siddhanta) über die Übersetzung von Sanskrit bis Arabisch und dann von Arabisch bis Latein verwendet sind.

Alle sechs trigonometrischen Funktionen im aktuellen Gebrauch waren in der islamischen Mathematik vor dem 9. Jahrhundert bekannt, wie das Gesetz von Sinus war, die im Lösen von Dreiecken verwendet sind.

al-Khwārizmī hat Tische von Sinus, Kosinus und Tangenten erzeugt.

Sie wurden von Autoren einschließlich Omar Khayyáms, Bhāskara II, Al-Lärms von Nasir al-Tusi, Jamshīd al-Kāshī (das 14. Jahrhundert) studiert, Ulugh Bitten (das 14. Jahrhundert), Regiomontanus (1464), Rheticus und der Student von Rheticus Valentinus Otho

Madhava von Sangamagrama (c. 1400) hat frühe Schritte in der Analyse von trigonometrischen Funktionen in Bezug auf die unendliche Reihe gemacht.

Der erste veröffentlichte Gebrauch der Abkürzungen 'sündigt', 'weil', und 'Lohe' durch den französischen Mathematiker des 16. Jahrhunderts Albert Girard ist.

In einer 1682 veröffentlichten Zeitung hat Leibniz bewiesen, dass Sünde x nicht eine algebraische Funktion von x ist.

Der Introductio von Leonhard Euler in analysin infinitorum (1748) war dafür größtenteils verantwortlich, die analytische Behandlung von trigonometrischen Funktionen in Europa zu gründen, auch sie als unendliche Reihe definierend und "die Formel von Euler", sowie die nah-moderne Abkürzungssünde präsentierend. weil. Griffzapfen. Kinderbettchen. sec. und cosec.

Einige Funktionen waren historisch üblich, aber werden jetzt selten, wie der Akkord (crd (θ) = 2 Sünde (θ/2)), der versine (versin (θ) = 1  weil (θ) = 2 Sünde (θ/2)) verwendet (der in den frühsten Tischen erschienen ist), der haversine (haversin (θ) = versin (θ) / 2 = Sünde (θ/2)), die Ex-Sekante (exsec (θ) = sec (θ)  1) und der excosecant (excsc (θ) = exsec (π/2  θ) = csc (θ)  1). Noch viele Beziehungen zwischen diesen Funktionen werden im Artikel über die trigonometrische Identität verzeichnet.

Etymologisch ist der Wortsinus auf das sanskritische Wort für die Hälfte des Akkords, jya-ardha, abgekürzt zu jiva zurückzuführen. Das wurde auf Arabisch als jiba transliteriert, jb, Vokale geschrieben, auf Arabisch nicht geschrieben. Dann wurde diese Transkription im 12. Jahrhundert in Latein als unter dem falschen Eindruck mis-übersetzt, dass jb für das Wort jaib eingetreten ist, was "Busen" oder "Bucht" oder "Falte" auf Arabisch bedeutet, wie Kurve in Latein tut. Schließlich hat englischer Gebrauch die lateinische Wortkurve zum Sinus umgewandelt. Die Worttangente kommt aus lateinischem tangens Bedeutung "des Berührens", da die Linie den Kreis des Einheitsradius berührt, wohingegen schneidende Stämme von lateinischem secans — — seit der Linie "schneidend", den Kreis schneiden.

Siehe auch

• Das Erzeugen trigonometrischer Tische
• Der Sinus-Tisch von Aryabhata
• Der Sinus-Tisch von Madhava
• Reihe von Madhava
• Bhaskara bin ich Sinus-Annäherungsformel
• Hyperbelfunktion
• Einheitsvektor (erklärt Richtungskosinus)
• Tisch der Newtonischen Reihe
• Liste der trigonometrischen Identität
• Beweise der trigonometrischen Identität
• Die Formel von Euler
• Polarer Sinus — eine Generalisation zum Scheitelpunkt biegt um
• Alle Studenten Nehmen Rechnung — ein mnemonischer, für die Zeichen von trigonometrischen Funktionen in einem besonderen Quadranten eines Kartesianischen Flugzeugs zurückzurufen
• Der fortlaufende Bruchteil von Gauss — eine fortlaufende Bruchteil-Definition für die Tangente fungiert
• Verallgemeinerte Trigonometrie

Zeichen

• Abramowitz, Milton und Irene A. Stegun, Handbuch von Mathematischen Funktionen mit Formeln, Graphen, und Mathematischen Tischen, Dover, New York. (1964). Internationale Standardbuchnummer 0-486-61272-4.
• Lars Ahlfors, Komplizierte Analyse: eine Einführung in die Theorie von analytischen Funktionen einer komplizierter variabler, zweiter Ausgabe, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
• Boyer, Carl B., Eine Geschichte der Mathematik, John Wiley & Sons, Inc., 2. Ausgabe. (1991). Internationale Standardbuchnummer 0-471-54397-7.
• Mädchen, Shmuel und Bachelis, Boris. Eine genaue elementare mathematische Bibliothek für den IEEE, der Punkt-Standard, ACM Transaktion auf der Mathematischen Software (1991) schwimmen lässt.
• Joseph, George G., Der Kamm des Pfaus: Nichteuropäische Wurzeln der Mathematik, 2. Hrsg.-Pinguin-Bücher, Londons. (2000). Internationale Standardbuchnummer 0-691-00659-8.
• Kantabutra, Vitit, "Auf der Hardware, um trigonometrische und Exponentialfunktionen," IEEE Trans zu schätzen. Computer 45 (3), 328-339 (1996).
• Maor, Eli, Trigonometrische Freuden, Princeton Univ. Drücken. (1998). Nachdruck-Ausgabe (am 25. Februar 2002): Internationale Standardbuchnummer 0-691-09541-8.
• Needham, Tristan, "Einleitung"" zur Komplizierten Sehanalyse. Presse der Universität Oxford, (1999). Internationale Standardbuchnummer 0-19-853446-9.
• O'Connor, J.J. und E.F. Robertson, "Trigonometrische Funktionen", Geschichte von MacTutor des Mathematik-Archivs. (1996).
• O'Connor, J.J. und E.F. Robertson, "Madhava von Sangamagramma", Geschichte von MacTutor des Mathematik-Archivs. (2000).
• Pearce, Ian G., "Madhava von Sangamagramma", Geschichte von MacTutor des Mathematik-Archivs. (2002).
• Weisstein, Eric W., "Tangente" von MathWorld, hat am 21. Januar 2006 zugegriffen.

Außenverbindungen

• Visionlearning Modul auf der Welle-Mathematik
• GonioLab: Vergegenwärtigung des Einheitskreises, trigonometrische und hyperbolische Funktionen
• Das draggable Diagramm von Dave. (Verlangt javanischen Browser Steck-)