Geometrie von Symplectic ist ein Zweig der Differenzialgeometrie und Differenzialtopologie, die Symplectic-Sammelleitungen studiert; d. h. differentiable Sammelleitungen, die mit einem geschlossenen, 2-Formen-nichtdegeneriertem ausgestattet sind. Geometrie von Symplectic hat seine Ursprünge in der Formulierung von Hamiltonian der klassischen Mechanik, wo der Phase-Raum von bestimmten klassischen Systemen die Struktur einer Symplectic-Sammelleitung übernimmt.

Geometrie von Symplectic hat mehrere Ähnlichkeiten und Unterschiede mit der Geometrie von Riemannian, die die Studie von Differentiable-Sammelleitungen ist, die mit dem nichtdegenerierten, symmetrischen 2 Tensor ausgestattet sind (hat metrischen Tensor genannt). Unterschiedlich im Fall von Riemannian, symplectic Sammelleitungen haben keinen lokalen invariants wie Krümmung. Das ist eine Folge des Lehrsatzes von Darboux, der feststellt, dass eine Nachbarschaft jedes Punkts eines 2n-dimensional symplectic Sammelleitung zum Standard symplectic Struktur auf einem offenen Satz von R isomorph ist. Ein anderer Unterschied mit der Geometrie von Riemannian ist, dass nicht jede Differentiable-Sammelleitung eine Symplectic-Form zulassen muss; es gibt bestimmte topologische Beschränkungen. Zum Beispiel ist jede Symplectic-Sammelleitung gleich-dimensional und orientable. Zusätzlich, wenn M eine geschlossene Symplectic-Sammelleitung ist, dann ist der 2. de Rham cohomology Gruppe H (M) nichttrivial; das deutet zum Beispiel an, dass der einzige N-Bereich, der eine Symplectic-Form zulässt, der 2-Bereiche-ist.

Jede Kähler-Sammelleitung ist auch eine Symplectic-Sammelleitung. Gut in die 1970er Jahre, symplectic Experten waren unsicher, ob ein kompakter non-Kähler symplectic Sammelleitungen bestanden hat, aber seitdem sind viele Beispiele gebaut worden (das erste war wegen William Thurstons); insbesondere Robert Gompf hat gezeigt, dass jede begrenzt präsentierte Gruppe als die grundsätzliche Gruppe von einigen symplectic 4-Sammelleitungen-in der gekennzeichneten Unähnlichkeit mit dem Fall von Kähler vorkommt.

Die meisten Symplectic-Sammelleitungen, man kann sagen, sind nicht Kähler; und so haben Sie keine integrable komplizierte mit der Symplectic-Form vereinbare Struktur. Michail Gromov hat jedoch die wichtige Beobachtung gemacht, dass Symplectic-Sammelleitungen wirklich einen Überfluss an vereinbaren fast komplizierten Strukturen zulassen, so dass sie alle Axiome für eine Sammelleitung von Kähler außer der Voraussetzung befriedigen, dass der Übergang fungiert, holomorphic sein.

Gromov hat die Existenz von fast komplizierten Strukturen auf Symplectic-Sammelleitungen verwendet, um eine Theorie von Pseudoholomorphic-Kurven zu entwickeln, die zu mehreren Förderungen in der symplectic Topologie, einschließlich einer Klasse von symplectic invariants jetzt bekannt als Gromov-Witten invariants geführt hat. Diese invariants spielen auch eine Schlüsselrolle in der Schnur-Theorie.

Name

Geometrie von Symplectic wird auch symplectic Topologie genannt, obwohl der Letztere wirklich ein Teilfeld ist, das mit wichtigen globalen Fragen in der symplectic Geometrie betroffen ist.

Der Begriff "symplectic" ist ein calque "des Komplexes", der dadurch eingeführt ist; vorher, "symplectic Gruppe" war die "Linienkomplex-Gruppe" genannt worden.

Komplex kommt aus dem lateinischen com-plexus, "geflochten zusammen" bedeutend (co - + plexus), während symplectic aus dem entsprechenden griechischen sym-plektikos () kommt; in beiden Fällen kommt die Nachsilbe aus der indogermanischen Wurzel *plek-. Dieses Namengeben widerspiegelt die tiefen Verbindungen zwischen Komplex und symplectic Strukturen.

Siehe auch

• Setzen Sie sich mit Geometrie in Verbindung
• Mechanik von Hamiltonian
• Moment-Karte
• Symplectic überfluten
• Rahmen von Symplectic stopft
• Integration von Symplectic
• Symplectic vervielfältigen
• Jean-Claude Sikorav

Referenzen

• Dusa McDuff und D. Salamon, Einführung in die Symplectic Topologie, Presse der Universität Oxford, 1998. Internationale Standardbuchnummer 0-19-850451-9.
• A. T. Fomenko, Symplectic Geometrie (2. Ausgabe) (1995) Gordon und Bruch-Herausgeber, internationale Standardbuchnummer 2-88124-901-9. (Eine Studentenniveau-Einführung.)
• Maurice de Gosson: Symplectic Geometrie und Quant-Mechanik (2006) Birkhäuser Verlag, Baseler internationale Standardbuchnummer 978-3-7643-7574-4.
• Alan Weinstein, Geometrie von Symplectic