Sonderanalyse ist ein Zweig der klassischen Mathematik, die Analyse mit einem strengen Begriff einer unendlich kleinen Zahl formuliert.

Sonderanalyse wurde am Anfang der 1960er Jahre vom Mathematiker Abraham Robinson eingeführt. Er hat geschrieben:

: [...] die Idee von ungeheuer kleinen oder unendlich kleinen Mengen scheint, natürlich an unsere Intuition zu appellieren. Auf jeden Fall war der Gebrauch von infinitesimals während der formenden Stufen der Unterschiedlichen und Integralrechnung weit verbreitet. Bezüglich des Einwands [...], dass die Entfernung zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen nicht ungeheuer klein sein kann, hat G. W. Leibniz behauptet, dass die Theorie von infinitesimals die Einführung von idealen Zahlen einbezieht, die ungeheuer klein oder im Vergleich zu den reellen Zahlen ungeheuer groß sein könnten, aber die dieselben Eigenschaften wie die Letzteren besitzen sollten.

Robinson hat behauptet, dass dieses Gesetz der Kontinuität von Leibniz ein Vorgänger des Übertragungsgrundsatzes ist. Robinson hat weitergemacht:

:However, weder er noch seine Apostel und Nachfolger sind im Stande gewesen, eine vernünftige Entwicklung zu geben, die bis zu einem System dieser Sorte führt. Infolgedessen ist die Theorie von infinitesimals allmählich in die Ehrlosigkeit gefallen und wurde schließlich durch die klassische Theorie von Grenzen ersetzt.

Robinson macht weiter:

:It wird in diesem Buch gezeigt, dass die Ideen von Leibniz völlig verteidigt werden können, und dass sie zu einer neuartigen und fruchtbaren Annäherung an die klassische Analyse und an viele andere Zweige der Mathematik führen. Der Schlüssel zu unserer Methode wird durch die ausführliche Analyse der Beziehung zwischen mathematischen Sprachen und mathematischen Strukturen zur Verfügung gestellt, der an der Unterseite von der zeitgenössischen Mustertheorie liegt.

1973, intuitionist Arend Heyting hat Sonderanalyse als "ein Standardmodell der wichtigen mathematischen Forschung" gelobt.

Einführung

Ein Nichtnullelement eines bestellten Feldes F ist unendlich klein, wenn, und nur wenn sein absoluter Wert kleiner ist als jedes Element von F der Form 1/n, für n eine normale natürliche Zahl. Bestellte Felder, die unendlich kleine Elemente haben, werden auch non-Archimedean genannt. Mehr allgemein ist Sonderanalyse jede Form der Mathematik, die sich auf Sondermodelle und den Übertragungsgrundsatz verlässt. Ein Feld, das den Übertragungsgrundsatz für reelle Zahlen befriedigt, ist ein hyperechtes Feld, und echte Sonderanalyse verwendet diese Felder als Sondermodelle der reellen Zahlen.

Die ursprüngliche Annäherung von Robinson hat auf diesen Sondermodellen des Feldes von reellen Zahlen basiert. Sein klassisches Foundational-Buch auf der unterworfenen Sonderanalyse wurde 1966 veröffentlicht und ist noch im Druck. Auf der Seite 88 schreibt Robinson:

Die:The-Existenz von Sondermodellen der Arithmetik wurde von Thoralf Skolem (1934) entdeckt. Die Methode von Skolem lässt den Ultramacht-Aufbau [...] ahnen

Mehrere technische Probleme müssen gerichtet werden, um eine Rechnung von infinitesimals zu entwickeln. Zum Beispiel ist es nicht genug, ein bestelltes Feld mit infinitesimals zu bauen. Sieh den Artikel über hyperreelle Zahlen für eine Diskussion von einigen der relevanten Ideen.

Motivation

Es gibt mindestens drei Gründe, Sonderanalyse zu denken: historisch, pedogogical, und technisch.

Historisch

Viel von der frühsten Entwicklung der unendlich kleinen Rechnung durch Newton und Leibniz wurde mit Ausdrücken wie unendlich kleine Zahl und verschwindende Menge formuliert. Wie bemerkt, im Artikel über hyperreelle Zahlen wurden diese Formulierungen von George Berkeley und anderen weit kritisiert. Es war eine Herausforderung, eine konsequente Theorie der Analyse mit infinitesimals und der ersten Person zu entwickeln, um zu tun, das auf eine befriedigende Weise war Abraham Robinson.

1958 haben Curt Schmieden und Detlef Laugwitz einen Artikel "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" - "Eine Erweiterung der Unendlich kleinen Rechnung" veröffentlicht, die einen Aufbau eines Rings vorgeschlagen hat, der infinitesimals enthält. Der Ring wurde von Folgen von reellen Zahlen gebaut. Zwei Folgen wurden gleichwertig betrachtet, wenn sie sich nur in einer begrenzten Zahl der Elemente unterschieden haben. Arithmetische Operationen wurden elementwise definiert. Jedoch enthält der Ring gebaut auf diese Weise Nullteiler und kann so kein Feld sein.

Pädagogisch

H. Jerome Keisler, David Tall und andere Pädagogen behaupten, dass der Gebrauch von infinitesimals intuitiver und leichter durch Studenten ergriffen ist, als sich das so genannte "Epsilon-Delta" analytischen Konzepten nähert. Diese Annäherung kann manchmal leichtere Beweise von Ergebnissen zur Verfügung stellen als die entsprechende Formulierung des Epsilon-Deltas des Beweises. Viel von der Vereinfachung kommt daraus, sehr leichte Regeln der Sonderarithmetik nämlich anzuwenden:

:: unendlich kleiner × ist = unendlich kleiner gesprungen

:: unendlich klein + unendlich klein = unendlich kleiner

zusammen mit dem Übertragungsgrundsatz, der unten erwähnt ist.

Eine andere pädagogische Anwendung der Sonderanalyse ist die Behandlung von Edward Nelson der Theorie von stochastischen Prozessen.

Technisch

Etwas neue Arbeit ist in der Analyse mit Konzepten von der Sonderanalyse, besonders im Nachforschen von Begrenzungsprozessen der Statistik und mathematischen Physik getan worden. Albeverio. besprechen einige dieser Anwendungen.

Annäherungen an die Sonderanalyse

Es gibt zwei sehr verschiedene Annäherungen an die Sonderanalyse: die semantische oder mustertheoretische Annäherung und die syntaktische Annäherung. Beide diese Annäherungen gelten für andere Gebiete der Mathematik außer der Analyse, einschließlich der Zahlentheorie, Algebra und Topologie.

Die ursprüngliche Formulierung von Robinson der Sonderanalyse fällt in die Kategorie der semantischen Annäherung. Wie entwickelt, durch ihn in seinen Zeitungen basiert es auf studierenden Modellen (in besonderen durchtränkten Modellen) einer Theorie. Seitdem die Arbeit von Robinson zuerst erschienen ist, ist eine einfachere semantische Annäherung (wegen Elias Zakons) mit rein mit dem Satz theoretischen Gegenständen genannt Oberbauten entwickelt worden. In dieser Annäherung wird ein Modell einer Theorie durch einen Gegenstand genannt einen Oberbau V (S) über einen Satz S ersetzt. Wenn man von einem Oberbau V (S) anfängt, baut man einen anderen Gegenstand *V (S) das Verwenden des Ultramacht-Aufbaus zusammen damit, V (S)  *V (S) kartografisch darzustellen

der den Übertragungsgrundsatz befriedigt. Die Karte * verbindet formelle Eigenschaften V (S) und *V (S). Außerdem ist es möglich zu denken, dass eine einfachere Form der Sättigung zählbare Sättigung genannt hat. Diese vereinfachte Annäherung ist auch für den Gebrauch durch Mathematiker passender, die nicht Fachmänner in der Mustertheorie oder Logik sind.

Die syntaktische Annäherung verlangt viel weniger Logik- und Mustertheorie, zu verstehen und zu verwenden. Diese Annäherung wurde Mitte der 1970er Jahre vom Mathematiker Edward Nelson entwickelt. Nelson hat eine völlig axiomatische Formulierung der Sonderanalyse eingeführt, dass er Internal Set Theory (IST) genannt hat. IST ist eine Erweiterung der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZST) darin neben der grundlegenden binären Mitgliedschaft-Beziehung, es führt einen neuen unären Prädikat-Standard ein, der auf Elemente des mathematischen Weltalls zusammen mit einigen Axiomen angewandt werden kann, um mit diesem neuen Prädikat vernünftig zu urteilen.

Syntaktische Sonderanalyse verlangt sehr viel Sorge in der Verwendung des Grundsatzes der Satz-Bildung (formell bekannt als das Axiom des Verständnisses), den Mathematiker gewöhnlich als selbstverständlich betrachten. Wie Nelson darauf hinweist, ist ein allgemeiner Scheinbeweis im Denken in IST der der ungesetzlichen Satz-Bildung. Zum Beispiel gibt es keinen Satz in IST, dessen Elemente genau die normalen ganzen Zahlen sind (hier, wird Standard im Sinne des neuen Prädikats verstanden). Um ungesetzliche Satz-Bildung zu vermeiden, muss man nur Prädikate von ZFC verwenden, um Teilmengen zu definieren.

Ein anderes Beispiel der syntaktischen Annäherung ist die Alternative durch Vopěnka eingeführte Mengenlehre, versuchend, Mengenlehre-Axiome vereinbarer mit der Sonderanalyse zu finden, als die Axiome des ZST.

Anwendungen

Es gab eine anfängliche Hoffnung in der mathematischen Gemeinschaft das

Sonderanalyse würde die Weise verändern, wie Mathematiker an gedacht

haben

und geschlossen mit reellen Zahlen. Diese Erwartung hat sich langsam verwirklicht

wegen des Glaubens, dass Sonderanalyse etwas im beweisen wird

klassische Mathematik, die durch die Standardmethoden nicht demonstriert werden kann.

Aber Sonderanalyse verwendet eine konservative Erweiterung von Zermelo-Fraenkel

Mengenlehre, und so jeder Lehrsatz von ZFC, der durch umgangssprachlichen bewiesen wird

Analyse kann demonstriert werden, ohne die neuen Werkzeuge zu verwenden.

Das erste Beispiel, den Glauben bestätigend, war der Lehrsatz, der von Abraham Robinson und Allen Bernstein bewiesen ist, dass jeder polynomisch kompakte geradlinige Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert einen invariant Subraum hat.

In Anbetracht eines Maschinenbedieners auf dem Raum von Hilbert, denken Sie die Bahn eines Punkts unter dem Wiederholen dessen. Verwendung des Gramms-Schmidt erhält man eine orthonormale Basis dafür. Lassen Sie, der entsprechende Anhänger von "Koordinaten"-Subräumen von H zu sein. Die Matrix, die T in Bezug darauf ausdrückt, ist dreieckig im Sinn fast ober, dass nur die Koeffizienten Nichtnull sind. Bernstein und Robinson zeigen dass, wenn polynomisch kompakt ist, dann gibt es einen hyperbegrenzten solchen Index, dass der Matrixkoeffizient unendlich klein ist. Dann denken Sie den Subraum dessen. Wenn begrenzte Norm hat, dann ungeheuer in der Nähe davon ist.

Nach dem Lesen eines Vorabdrucks des Papiers von Bernstein-Robinson hat Paul Halmos ihren Beweis mit Standardtechniken wiederinterpretiert. Beide Papiere sind zurück zum Rücken in demselben Problem der Pazifischen Zeitschrift der Mathematik geschienen. Einige der im Beweis von Halmos verwendeten Ideen sind viele Jahre später in der eigenen Arbeit von Halmos an Quasidreiecksmaschinenbedienern wieder erschienen.

Andere Ergebnisse wurden entlang der Linie der Wiederinterpretation oder des Tadelns vorher bekannter Ergebnisse erhalten. Vom besonderen Interesse ist der Beweis von Kamae des individuellen ergodic Lehrsatzes oder van den Dries und der Behandlung von Wilkie des Lehrsatzes von Gromov auf Gruppen des polynomischen Wachstums. NSA wurde von Larry Manevitz und Shmuel Weinberger verwendet, um ein Ergebnis in der algebraischen Topologie zu beweisen.

Die echten Beiträge der Sonderanalyse liegen jedoch in den Konzepten und Lehrsätzen, der die neue verlängerte Sprache der Sondermengenlehre verwertet.

Unter der Liste von neuen Anwendungen in der Mathematik gibt es neue Annäherungen an die Wahrscheinlichkeit

Wasserdrucklehre,

Maß-Theorie,

nichtglatte und harmonische Analyse, usw.

Es gibt auch Anwendungen der Sonderanalyse zur Theorie von stochastischen Prozessen, besonders Aufbauten der Brownschen Bewegung als zufällige Spaziergänge. Albeverio haben und-al eine ausgezeichnete Einführung in dieses Gebiet der Forschung.

Anwendungen auf die Rechnung

Als eine Anwendung auf die mathematische Ausbildung hat H. Jerome Keisler geschrieben. Sonderrechnung bedeckend, entwickelt es unterschiedliche und Integralrechnung mit den hyperreellen Zahlen, die unendlich kleine Elemente einschließen. Diese Anwendungen der Sonderanalyse hängen von der Existenz des Standardteils eines begrenzten hyperechten r ab. Der Standardteil von r, der angezeigte St. (r), ist eine normale reelle Zahl ungeheuer in der Nähe von r. Eines der Vergegenwärtigungsgeräte, die Keisler verwendet, ist das eines imaginären Mikroskops der unendlichen Vergrößerung, um Punkte ungeheuer eng miteinander zu unterscheiden. Das Buch von Keisler ist jetzt vergriffen, aber ist von seiner Website frei verfügbar; sieh Verweisungen unten.

Kritik

Trotz der Anmut und Bitte von einigen Aspekten der Sonderanalyse hat es Skepsis in der mathematischen Gemeinschaft darüber gegeben, ob die Sondermaschinerie irgendetwas hinzufügt, was durch Standardmethoden nicht leicht erreicht werden kann. Diese Kritiken nichtsdestoweniger, jedoch, gibt es keine Meinungsverschiedenheit über die mathematische Gültigkeit der Annäherung und die Ergebnisse der Sonderanalyse.

Es ist bekannt, dass IST eine konservative Erweiterung von ZFC ist. Das wird in der AMS 1977-Meldungszeitung von Edward Nelson in einem von William Powell geschriebenen Anhang gezeigt.

Die Kritik des Bischofs von NSA und des elementaren auf der Theorie von Robinson gestützten Rechnungsbuches von Keisler wird bei der Kritik von umgangssprachlichen analysis#Bishop Kritik dokumentiert.

Logisches Fachwerk

In Anbetracht jedes Satzes S ist der Oberbau über einen Satz S der Satz V (S)

definiert durch die Bedingungen

::

2^ {V_ {n} (\mathbf {S})} </Mathematik>

:

So wird der Oberbau über S durch das Starten von S und das Wiederholen der Operation erhalten, an den Macht-Satz von S anzugrenzen und die Vereinigung der resultierenden Folge zu nehmen. Der Oberbau über die reellen Zahlen schließt einen Reichtum von mathematischen Strukturen ein: Zum Beispiel enthält es isomorphe Kopien aller trennbaren metrischen Räume und metrizable topologischer Vektorräume. Eigentlich geht die ganze Mathematik, die einen Analytiker interessiert, innerhalb von V(R) weiter.

Die Arbeitsansicht von der Sonderanalyse ist ein Satz *R und kartografisch darzustellen

:

der einige zusätzliche Eigenschaften befriedigt.

Um diese Grundsätze zu formulieren, setzen wir zuerst einige Definitionen fest:

Eine Formel hat Quantifizierung wenn und nur wenn der einzige begrenzt

quantifiers, die in der Formel vorkommen, haben über Sätze eingeschränkte Reihe, der ist, sind die ganze Form:

::

Zum Beispiel, die Formel

:

hat Quantifizierung, die allgemein gemessene Variable x Reihen über A, die existenziell gemessene Variable y Reihen über den powerset von B begrenzt. Andererseits,

:

hat begrenzte Quantifizierung nicht, weil die Quantifizierung von y uneingeschränkt ist.

Innere Sätze

Ein Satz x ist inner, wenn, und nur wenn x ein Element von *A für ein Element von V(R) ist. *A selbst ist inner, wenn A V(R) gehört.

Wir formulieren jetzt das grundlegende logische Fachwerk der Sonderanalyse:

• Erweiterungsgrundsatz: * kartografisch darzustellen, ist die Identität auf R.
• Übertragungsgrundsatz: Für jede Formel P (x..., x) mit der begrenzten Quantifizierung und mit freien Variablen x..., x, und für irgendwelche Elemente A..., V(R), hält die folgende Gleichwertigkeit:

::

• Zählbare Sättigung: Wenn einer abnehmenden Folge von nichtleeren inneren Sätzen mit k zu sein, der sich über die natürlichen Zahlen, dann erstreckt

::

Man kann Verwenden-Ultraprodukte zeigen, dass solch eine Karte * besteht. Elemente von V(R) werden normal genannt. Elemente von *R werden hyperreelle Zahlen genannt.

Die ersten Folgen

Das Symbol *N zeigt die umgangssprachlichen natürlichen Zahlen an. Durch den Erweiterungsgrundsatz ist das eine Obermenge von N. Der Satz *N  N ist nichtleer. Um das zu sehen, wenden Sie zählbare Sättigung auf die Folge von inneren Sätzen an

:

Die Folge {Ein} Haben einer nichtleeren Kreuzung, das Ergebnis beweisend.

Wir beginnen mit einigen Definitionen: Hyperreals r, s sind ungeheuer wenn und nur wenn nah

:

Ein hyperechter r ist unendlich klein, wenn, und nur wenn er ungeheuer 0 nah ist. Zum Beispiel, wenn

n ist eine hyperganze Zahl, d. h. ein Element von *N  N dann ist 1/n ein unendlich kleiner. Ein hyperechter r wird beschränkt oder begrenzt, wenn, und nur wenn sein absoluter Wert durch (weniger beherrscht wird als) eine normale ganze Zahl.

Die begrenzten hyperreals bilden einen Subring von *R, der den reals enthält. In diesem Ring sind die unendlich kleinen hyperreals ein Ideal.

Der Satz von begrenztem hyperreals oder der Satz von unendlich kleinem hyperreals sind Außenteilmengen V (*R); was das bedeutet, in der Praxis ist, der Quantifizierung begrenzt hat, wo das bestimmte ein innerer Satz, nie Reihen über diese Sätze ist.

Beispiel: Das Flugzeug (x, y) mit x und y, der sich über *R erstreckt, ist inner, und ist ein Modell der Euklidischen Flugzeug-Geometrie. Das Flugzeug mit x und y, der auf begrenzte Werte eingeschränkt ist (analog dem Flugzeug von Dehn) ist äußerlich, und in diesem begrenzten Flugzeug wird das parallele Postulat verletzt. Zum Beispiel ist jede Linie, die den Punkt (0,1) auf der Y-Achse durchführt und unendlich kleinen Hang hat, zur X-Achse parallel.

Lehrsatz. Für jeden begrenzten hyperechten r gibt es einen einzigartigen echten Standard hat den St. (r) ungeheuer in der Nähe von r angezeigt. Der kartografisch darstellende St. ist ein Ringhomomorphismus vom Ring von begrenztem hyperreals zu R.

Der kartografisch darstellende St. ist auch äußerlich.

Eine Denkart des Standardteils eines hyperechten, ist in Bezug auf Kürzungen von Dedekind; jeder begrenzte hyperechte s definiert eine Kürzung durch das Betrachten

das Paar von Sätzen (L, U), wo L der Satz des Standards rationals weniger ist als s und U, ist der Satz des Standards rationals b größer als s. Wie man sehen kann, befriedigt die reelle Zahl entsprechend (L, U) die Bedingung, der Standardteil von s zu sein.

Eine intuitive Charakterisierung der Kontinuität ist wie folgt:

Lehrsatz. Eine reellwertige Funktion f auf dem Zwischenraum [a, b] ist wenn und nur wenn für jeden hyperechten x im Zwischenraum * [a, b], dauernd

:

Ähnlich

Lehrsatz. Eine reellwertige Funktion f ist differentiable am echten Wert x wenn und nur wenn für jede unendlich kleine hyperreelle Zahl h, der Wert

: