In der Mathematik ist ein Beweis eine Demonstration dass, wenn, wie man annimmt, einige grundsätzliche Behauptungen (Axiome) wahr sind, dann ist eine mathematische Behauptung notwendigerweise wahr. Beweise werden beim deduktiven Denken, aber nicht bei induktiven oder empirischen Argumenten erhalten; ein Beweis muss demonstrieren, dass eine Behauptung immer wahr ist (gelegentlich durch die Auflistung aller möglichen Fälle und die Vertretung, dass es in jedem hält), anstatt viele bestätigende Fälle aufzuzählen. Ein unbewiesener Vorschlag, der, wie man glaubt, wahr ist, ist als eine Vermutung bekannt.

Eine Behauptung, die bewiesen wird, wird häufig einen Lehrsatz genannt. Sobald ein Lehrsatz bewiesen wird, kann er als die Basis verwendet werden, um weitere Behauptungen zu beweisen. Ein Lehrsatz kann auch ein Lemma besonders genannt werden, wenn er für den Gebrauch als ein Sprungbrett im Beweis eines anderen Lehrsatzes beabsichtigt ist.

Beweise verwenden Logik, aber schließen gewöhnlich einen Betrag der natürlichen Sprache ein, die gewöhnlich etwas Zweideutigkeit zulässt. Tatsächlich kann die große Mehrheit von Beweisen in der schriftlichen Mathematik als Anwendungen der strengen informellen Logik betrachtet werden. Rein formelle Beweise, die auf der symbolischen Sprache statt natürlicher Sprache geschrieben sind, werden in der Probetheorie betrachtet. Die Unterscheidung zwischen formellen und informellen Beweisen hat zu viel Überprüfung der aktuellen und historischen mathematischen Praxis, des Quasiempirismus in der Mathematik und so genannten Volksmathematik (in beiden Sinnen dieses Begriffes) geführt. Die Philosophie der Mathematik ist mit der Rolle der Sprache und Logik in Beweisen und Mathematik als eine Sprache beschäftigt.

Geschichte und Etymologie

Das Wort Beweis kommt aus der lateinischen pro-bloßen Bedeutung, "um zu prüfen". Zusammenhängende moderne Wörter sind die englische "Untersuchung", "Probe" und "Wahrscheinlichkeit", die spanische "Pro-Bar" (um zu riechen oder, oder (kleinerer Gebrauch) Berührung oder Test zu schmecken), italienischer "provare" (um zu versuchen), und der deutsche "probieren" (um zu versuchen). Der frühe Gebrauch "der Rechtschaffenheit" war in der Präsentation von gesetzlichen Beweisen. Wie man sagte, hatte eine Person der Autorität, wie ein Adliger, Rechtschaffenheit, wodurch die Beweise durch seine Verhältnisautorität waren, die empirisches Zeugnis überwogen hat.

Glaubhaftigkeitsargumente mit heuristischen Geräten wie Bilder und Analogien sind strengem mathematischem Beweis vorangegangen. Es ist wahrscheinlich, dass die Idee, einen Beschluss zu demonstrieren, zuerst im Zusammenhang mit der Geometrie entstanden ist, die ursprünglich dasselbe als "Landmaß" bedeutet hat. Die Entwicklung des mathematischen Beweises ist in erster Linie das Produkt der alten griechischen Mathematik und eines seiner größten Ergebnisse. Thales (624-546 BCE) hat einige Lehrsätze in der Geometrie bewiesen. Eudoxus (408-355 BCE) und Theaetetus (417-369 BCE) formulierte Lehrsätze, aber hat sie nicht bewiesen. Aristoteles (384-322 BCE) hat gesagt, dass Definitionen das Konzept beschreiben sollten, das in Bezug auf andere bereits bekannte Konzepte wird definiert. Mathematische Beweise wurden von Euklid revolutioniert (300 BCE), wer die axiomatische Methode noch im Gebrauch heute eingeführt hat, mit unbestimmten Begriffen und Axiomen (Vorschläge bezüglich der unbestimmten Begriffe anfangend, die angenommen sind, vom griechischen "axios" Bedeutung "von etwas Würdigem" selbstverständlich wahr zu sein), und diese verwendet hat, um Lehrsätze mit der deduktiven Logik zu beweisen. Sein Buch, die Elemente, wurde von jedem gelesen, der gebildet im Westen bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts betrachtet wurde. Zusätzlich zu den vertrauten Lehrsätzen der Geometrie, wie der Pythagoreische Lehrsatz, schließen die Elemente einen Beweis ein, dass die Quadratwurzel zwei vernunftwidrig ist, und dass es ungeheuer viele Primzahlen gibt.

Weitere Fortschritte haben in der mittelalterlichen islamischen Mathematik stattgefunden. Während frühere griechische Beweise größtenteils geometrische Demonstrationen waren, hat die Entwicklung der Arithmetik und Algebra durch islamische Mathematiker allgemeinere Beweise erlaubt, die nicht mehr von Geometrie abgehangen haben. Im 10. Jahrhundert CE, der irakische Mathematiker Al-Hashimi hat allgemeine Beweise für Zahlen zur Verfügung gestellt (aber nicht geometrische Demonstrationen), weil er Multiplikation, Abteilung usw. für "Linien" gedacht hat. Er hat diese Methode verwendet, einen Beweis der Existenz von irrationalen Zahlen zur Verfügung zu stellen. Ein induktiver Beweis für arithmetische Folgen wurde im Al-Fakhri (1000) von Al-Karaji eingeführt, der ihn verwendet hat, um den binomischen Lehrsatz und die Eigenschaften des Dreiecks des Pascal zu beweisen. Alhazen hat auch die Methode des Beweises durch den Widerspruch, als der erste Versuch des Beweises des Euklidischen parallelen Postulates entwickelt.

Moderne Probetheorie behandelt Beweise als induktiv definierte Datenstrukturen. Es gibt nicht mehr eine Annahme, dass Axiome in jedem Sinn "wahr" sind; das berücksichtigt parallele mathematische Theorien hat auf abwechselnde Sätze von Axiomen gebaut (sieh Axiomatische Mengenlehre und Nicht-euklidische Geometrie für Beispiele).

Natur und Zweck

Es gibt zwei verschiedene Vorstellungen des mathematischen Beweises. Das erste ist ein informeller Beweis, ein strenger Ausdruck der natürlichen Sprache, der beabsichtigt ist, um das Publikum der Wahrheit eines Lehrsatzes zu überzeugen. Wegen ihres Gebrauches der natürlichen Sprache werden die Standards der Strenge für informelle Beweise vom Publikum des Beweises abhängen. Um als ein Beweis jedoch betrachtet zu werden, muss das Argument streng genug sein; ein vages oder unvollständiges Argument ist nicht ein Beweis. Informelle Beweise sind der Typ des in der veröffentlichten Mathematik normalerweise gestoßenen Beweises. Sie werden manchmal "formelle Beweise" wegen ihrer Strenge genannt, aber Logiker gebrauchen den Begriff "formeller Beweis", um sich auf einen verschiedenen Typ des Beweises völlig zu beziehen.

In der Logik wird ein formeller Beweis in einer natürlichen Sprache nicht geschrieben, aber verwendet stattdessen eine formelle Sprache, die aus bestimmten Reihen von Symbolen von einem festen Alphabet besteht. Das erlaubt der Definition eines formellen Beweises, ohne jede Zweideutigkeit genau angegeben zu werden. Das Feld der Probetheorie studiert formelle Beweise und ihre Eigenschaften. Obwohl jeder informelle Beweis, in der Theorie, in einen formellen Beweis umgewandelt werden kann, wird das in der Praxis selten getan. Die Studie von formellen Beweisen wird verwendet, um Eigenschaften im Allgemeinen zu bestimmen und zu zeigen, dass bestimmte unentscheidbare Behauptungen nicht nachweisbar sind.

Eine klassische Frage in der Philosophie fragt, ob mathematische Beweise analytisch oder synthetisch sind. Kant, der die analytisch-synthetische Unterscheidung eingeführt hat, hat geglaubt, dass mathematische Beweise synthetisch sind.

Beweise können als ästhetische Gegenstände angesehen werden, die für ihre mathematische Schönheit bewundert sind. Der Erdős des Mathematikers Paul war bekannt, um Beweise zu beschreiben, er hat besonders elegant als kommend aus "Dem Buch", ein hypothetischer Wälzer gefunden, der die schönste Methode (N) enthält, jeden Lehrsatz zu beweisen. Das Buch Beweise aus DEM BUCH, veröffentlicht 2003, wird dem Präsentieren von 32 Beweisen gewidmet seine Redakteure finden besonders angenehm.

Methoden des Beweises

Direkter Beweis

Im direkten Beweis wird der Beschluss durch das logische Kombinieren der Axiome, Definitionen und früheren Lehrsätze gegründet. Zum Beispiel kann direkter Beweis verwendet werden, um festzustellen, dass die Summe zwei sogar ganze Zahlen immer gleich ist:

:Consider zwei sogar ganze Zahlen x und y. Da sie sogar sind, können sie als x=2a und y=2b beziehungsweise für ganze Zahlen a und b geschrieben werden. Dann die Summe. Davon ist es klarer x+y hat 2 als ein Faktor und ist deshalb sogar, so ist die Summe irgendwelcher zwei sogar ganze Zahlen gleich.

Dieser Beweis verwendet Definition von sogar ganzen Zahlen, sowie Vertriebsgesetz.

Beweis durch die mathematische Induktion

Mathematische Induktion ist nicht dasselbe als Induktion in der Logik, obwohl das Gesamtkonzept verbunden ist. Im Beweis durch die mathematische Induktion wird ein einzelner "Grundfall" bewiesen, und eine "Induktionsregel" wird bewiesen, der dass feststellt, wenn ein bestimmter Fall wahr ist, dann ist ein anderer Fall wahr. Wenn sie die Induktion anwendet, beweist Regel wiederholt, vom unabhängig bewiesenen Grundfall anfangend, viele, häufig ungeheuer viele, andere Fälle. Da der Grundfall wahr ist, muss die Unendlichkeit anderer Fälle auch wahr sein, selbst wenn sie alle direkt wegen ihrer unendlichen Zahl nicht bewiesen werden können. Eine Teilmenge der Induktion ist unendlicher Abstieg. Unendlicher Abstieg kann verwendet werden, um die Unvernunft der Quadratwurzel zwei zu beweisen.

Eine allgemeine Anwendung des Beweises durch die mathematische Induktion soll beweisen, dass ein Eigentum, das bekannt ist, für eine Zahl zu halten, für alle natürlichen Zahlen hält:

Lassen Sie N = {1, 2, 3, 4...}, der Satz von natürlichen Zahlen und P (n) sein, eine mathematische Behauptung sein, die die natürliche Zahl n einschließt, solchem N dass gehörend

• (i) P (1) ist wahr, d. h., P ist (n) für n = 1 wahr
• (ii) P (n + 1) ist wahr, wann auch immer P (n) wahr ist, d. h., P ist (n) wahr deutet an, dass P (n + 1) wahr ist.

Dann P ist (n) für alle natürlichen Zahlen n wahr.

Es ist für den Ausdruck "Beweis durch die Induktion" üblich, für einen "Beweis durch die mathematische Induktion" verwendet zu werden.

Beweis durch die Umstellung

Beweis durch die Umstellung oder Beweis durch contrapositive gründen den Beschluss "wenn p dann q" durch den Beweis der gleichwertigen contrapositive Behauptung "wenn nicht q dann nicht p".

Beispiel:

• Vorschlag: Wenn x ² sogar dann x ist, ist gleich.
• Beweis von Contrapositive:

Wenn x (nicht sogar) dann x = 2k + 1 für eine ganze Zahl k seltsam ist.

So x ² = (2k + 1) ² = 4k ² + 4k + 1 = 2 (2k ² + 2k) + 1, wo (2k ² + 2k) eine ganze Zahl ist.

Deshalb x ist ² (nicht sogar) seltsam.

Um den ursprünglichen Vorschlag zu sehen, nehmen Sie an, dass x ² gleich ist. Wenn x seltsam waren, dann haben wir gerade gezeigt, dass x ² seltsam sein würde, wenn auch er gleich sein soll; so ist dieser Fall unmöglich. Die einzige weitere Möglichkeit besteht darin, dass x gleich ist.

Beweis durch den Widerspruch

Im Beweis durch den Widerspruch (auch bekannt als reductio Anzeige absurdum, Latein für "durch die Verminderung zum absurden"), wird es gezeigt, dass, wenn eine Behauptung wahr war, ein logischer Widerspruch folglich vorkommt, muss die Behauptung falsch sein. Ein berühmtes Beispiel des Beweises durch den Widerspruch zeigt, dass das eine irrationale Zahl ist:

:Suppose, die eine rationale Zahl also definitionsgemäß waren, wo a und b ganze Nichtnullzahlen ohne gemeinsamen Faktor sind. So. Quadrieren beide Seiten trägt 2b = a. Seitdem 2 teilt die linke Seite, 2 muss auch die rechte Seite teilen (weil sie gleich sind und beide ganzen Zahlen). So sogar zu sein, der dass ein Müssen andeutet, auch gleich zu sein. So können wir = 2c schreiben, wo c auch eine ganze Zahl ist. Der Ersatz in die ursprüngliche Gleichung trägt 2b = (2c) = 4c. Das Teilen beider Seiten durch 2 Erträge b = 2c. Aber dann, durch dasselbe Argument wie zuvor, 2 teilt b, so muss b gleich sein. Jedoch, wenn a und b beide sogar sind, teilen sie einen Faktor, nämlich 2. Das widerspricht unserer Annahme, so werden wir gezwungen zu beschließen, dass das eine irrationale Zahl ist.

Beweis durch den Aufbau

Beweis durch den Aufbau oder Beweis durch das Beispiel, ist der Aufbau eines konkreten Beispiels mit einem Eigentum zu zeigen, dass etwas, dieses Eigentum habend, besteht. Joseph Liouville hat zum Beispiel die Existenz von transzendenten Zahlen bewiesen, indem er ein ausführliches Beispiel gebaut hat.

Beweis durch die Erschöpfung

Im Beweis durch die Erschöpfung wird der Beschluss durch das Teilen davon in eine begrenzte Zahl von Fällen und den Beweis von jedem getrennt gegründet. Die Zahl von Fällen kann manchmal sehr groß werden. Zum Beispiel war der erste Beweis des vier Farbenlehrsatzes ein Beweis durch die Erschöpfung mit 1,936 Fällen. Dieser Beweis war umstritten, weil die Mehrheit der Fälle durch ein Computerprogramm nicht mit der Hand überprüft wurde. Der kürzeste bekannte Beweis des vier Farbenlehrsatzes hat noch mehr als 600 Fälle.

Beweis von Probabilistic

Ein probabilistic Beweis ist derjenige, in dem, wie man zeigt, ein Beispiel, mit der Gewissheit, durch das Verwenden von Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht. Das soll mit einem Argument nicht verwirrt sein, dass ein Lehrsatz 'wahrscheinlich' wahr ist. Der letzte Typ des Denkens kann ein 'Glaubhaftigkeitsargument' genannt werden und ist nicht ein Beweis; im Fall von der Vermutung von Collatz ist es klar, wie weit das von einem echten Beweis ist. Beweis von Probabilistic, wie Beweis durch den Aufbau, ist eine von vielen Weisen, Existenz-Lehrsätze zu zeigen.

Kombinatorischer Beweis

Ein kombinatorischer Beweis gründet die Gleichwertigkeit von verschiedenen Ausdrücken durch die Vertretung, dass sie denselben Gegenstand unterschiedlich aufzählen. Häufig wird eine Bijektion zwischen zwei Sätzen verwendet, um zu zeigen, dass die Ausdrücke für ihre zwei Größen gleich sind. Wechselweise stellt ein doppeltes zählendes Argument zwei verschiedene Ausdrücke für die Größe eines einzelnen Satzes zur Verfügung, wieder zeigend, dass die zwei Ausdrücke gleich sind.

Nichtkonstruktiver Beweis

Ein nichtkonstruktiver Beweis stellt fest, dass ein bestimmter mathematischer Gegenstand bestehen muss (z.B, "Befriedigen ungefähr X f (X)"), ohne zu erklären, wie solch ein Gegenstand gefunden werden kann. Häufig nimmt das die Form eines Beweises durch den Widerspruch an, in dem, wie man beweist, das Nichtsein des Gegenstands unmöglich ist. Im Gegensatz stellt ein konstruktiver Beweis fest, dass ein besonderer Gegenstand durch die Versorgung einer Methode besteht, es zu finden. Ein berühmtes Beispiel eines

nichtkonstruktiver Beweis zeigt, dass dort zwei irrationale Zahlen a und solcher b bestehen, der eine rationale Zahl ist:

:Either ist eine rationale Zahl, und wir werden getan (nehmen), oder ist vernunftwidrig, so können wir schreiben und. Das gibt dann, der so eine vernünftige von der Form ist

Statistische Beweise in der reinen Mathematik

Der Ausdruck "statistischer Beweis" kann technisch oder umgangssprachlich in Gebieten der reinen Mathematik, wie das Beteiligen der Geheimschrift, chaotischen Reihe, und probabilistic oder analytischen Zahlentheorie verwendet werden. Es wird weniger allgemein verwendet, um sich auf einen mathematischen Beweis im Zweig der als mathematische Statistik bekannten Mathematik zu beziehen. Siehe auch "Statistischen Beweis mit Daten" Abteilung unten.

Computergestützte Beweise

Bis zum zwanzigsten Jahrhundert wurde es angenommen, dass jeder Beweis im Prinzip von einem fähigen Mathematiker überprüft werden konnte, um seine Gültigkeit zu bestätigen. Jedoch werden Computer jetzt verwendet, sowohl um Lehrsätze zu beweisen als auch Berechnungen auszuführen, die sind, auch sehnen sich nach jedem Menschen oder Mannschaft von Menschen zu überprüfen; der erste Beweis des vier Farbenlehrsatzes ist ein Beispiel eines computergestützten Beweises. Einige Mathematiker werden besorgt, dass die Möglichkeit eines Fehlers in einem Computerprogramm oder eines Laufzeitfehlers in seinen Berechnungen die Gültigkeit solcher computergestützten Beweise in Zweifel zieht. In der Praxis können die Chancen eines Fehlers, einen computergestützten Beweis ungültig machend, durch das Verbinden der Überfülle reduziert werden und checken in Berechnungen, und durch das Entwickeln vielfacher unabhängiger Annäherungen und Programme selbstein. Fehler können im Falle der Überprüfung eines Beweises von Menschen auch besonders nie völlig ausgeschlossen werden, wenn der Beweis natürliche Sprache enthält und tief mathematische Scharfsinnigkeit verlangt.

Unentscheidbare Behauptungen

Eine Behauptung, die weder nachweisbar noch von einer Reihe von Axiomen widerlegbar ist, wird unentscheidbar (von jenen Axiomen) genannt. Ein Beispiel ist das parallele Postulat, das weder nachweisbar noch von den restlichen Axiomen der Euklidischen Geometrie widerlegbar ist.

Mathematiker haben gezeigt, dass es viele Behauptungen gibt, die weder nachweisbar noch in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit dem Axiom der Wahl (ZFC), des Standardsystems der Mengenlehre in der Mathematik widerlegbar sind (das Annehmen, dass ZFC entspricht); sieh Liste von in ZFC unentscheidbaren Behauptungen.

(Der erste) Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel zeigt, dass viele Axiom-Systeme vom mathematischen Interesse unentscheidbare Behauptungen haben werden.

Heuristische Mathematik und experimentelle Mathematik

Während frühe Mathematiker wie Eudoxus von Cnidus Beweise von Euklid zu den foundational Mathematik-Entwicklungen der späten 19. und 20. Jahrhunderte nicht verwendet haben, waren Beweise ein wesentlicher Teil der Mathematik. Mit der Zunahme in der Rechenmacht in den 1960er Jahren hat bedeutende Arbeit begonnen, getan zu werden, mathematische Gegenstände außerhalb des Probelehrsatz-Fachwerks in der experimentellen Mathematik untersuchend. Frühe Pioniere dieser Methoden haben die Arbeit schließlich beabsichtigt, um in einem klassischen Probelehrsatz-Fachwerk, z.B die frühe Entwicklung der fractal Geometrie eingebettet zu werden, die schließlich so eingebettet wurde.

Zusammenhängende Konzepte

Sehbeweis

Obwohl nicht ein formeller Beweis, eine Sehdemonstration eines mathematischen Lehrsatzes manchmal einen "Beweis ohne Wörter" genannt wird. Das linke Bild ist unten ein Beispiel eines historischen Sehbeweises des Pythagoreischen Lehrsatzes im Fall von (3,4,5) Dreieck.

Beweis von Image:Chinese pythagoras.jpg|Visual für (3, 4, 5) Dreieck als im Chou Pei Suan Ching 500-200 v. Chr.

File:Pythagoras-2a.gif|Visual Beweis für den Pythagoreischen Lehrsatz durch die Neuordnung.

Elementarer Beweis

Ein elementarer Beweis ist ein Beweis, der nur grundlegende Techniken verwendet. Mehr spezifisch wird der Begriff in der Zahlentheorie gebraucht, um sich auf Beweise zu beziehen, die keinen Gebrauch der komplizierten Analyse machen. Für einige Zeit wurde es gedacht, dass bestimmte Lehrsätze, wie der Primzahl-Lehrsatz, nur mit "der höheren" Mathematik bewiesen werden konnten. Jedoch, mit der Zeit, sind viele dieser Ergebnisse mit nur elementare Techniken getadelt worden.

Zwei-Säulen-Beweis

Eine besondere Weise, einen Beweis mit zwei parallelen Säulen zu organisieren, wird häufig in elementaren Geometrie-Klassen in den Vereinigten Staaten verwendet. Der Beweis wird als eine Reihe von Linien in zwei Säulen geschrieben. In jeder Linie enthält die linke Säule einen Vorschlag, während die rechte Säule eine kurze Erklärung dessen enthält, wie der entsprechende Vorschlag in der linken Säule entweder ein Axiom, eine Hypothese ist, oder aus vorherigen Vorschlägen logisch abgeleitet werden kann. Die linke Säule wird normalerweise angeführt "Erklärungen" und die rechte Säule werden normalerweise "Gründe" angeführt.

Umgangssprachlicher Gebrauch des "mathematischen Beweises"

Der Ausdruck "mathematischer Beweis" wird von Laien verwendet, um sich auf das Verwenden mathematischer Methoden oder Argumentieren mit mathematischen Gegenständen wie Zahlen zu beziehen, etwas über das tägliche Leben zu demonstrieren, oder wenn in einem Argument verwendete Daten Zahlen sind. Es wird einmal auch verwendet, um einen "statistischen Beweis" (unten), besonders wenn verwendet, zu bedeuten, von Daten zu streiten.

Statistischer Beweis mit Daten

"Statistischer Beweis" von Daten verweist auf die Anwendung der Statistik, Datenanalyse oder Analyse von Bayesian, Vorschläge bezüglich der Wahrscheinlichkeit von Daten abzuleiten. Während es mathematischen Beweis verwendet, um Lehrsätze in der Statistik zu gründen, ist es gewöhnlich nicht ein mathematischer Beweis darin die Annahmen, von denen Wahrscheinlichkeitsbehauptungen abgeleitet werden, verlangen, dass empirische Beweise von der Außenseite der Mathematik nachprüfen. In der Physik, zusätzlich zu statistischen Methoden, "kann statistischer Beweis" auf die mathematischen Spezialmethoden der Physik verweisen, die angewandt ist, Daten in einem Partikel-Physik-Experiment oder Beobachtungsstudie in der Kosmologie zu analysieren. "Statistischer Beweis" kann sich auch auf rohe Daten beziehen, oder ein überzeugendes Diagramm, das Daten wie Streuung einschließt, verschwört sich, wenn die Daten oder das Diagramm ohne weitere Analyse entsprechend überzeugend sind.

Induktive Logikbeweise und Analyse von Bayesian

Beweise mit der induktiven Logik, die, während betrachtet, in der Natur mathematisch ist, bemühen sich, Vorschläge mit einem Grad der Gewissheit zu gründen, die auf eine ähnliche Weise zur Wahrscheinlichkeit handelt, und weniger als eine Gewissheit sein kann. Analyse von Bayesian gründet Behauptungen betreffs des Grads eines subjektiven Glaubens einer Person. Induktive Logik sollte mit der mathematischen Induktion nicht verwirrt sein.

Beweise als geistige Gegenstände

Psychologism sieht mathematische Beweise als psychologische oder geistige Gegenstände an. Mathematiker-Philosophen, wie Leibniz, Frege, und Carnap, haben versucht, eine Semantik dafür zu entwickeln, was sie gedacht haben, um die Sprache des Gedankens zu sein, wodurch Standards des mathematischen Beweises auf die empirische Wissenschaft angewandt werden könnten.

Einfluss von mathematischen Probemethoden außerhalb der Mathematik

Philosophen-Mathematiker wie Schopenhauer haben versucht, philosophische Argumente auf eine axiomatische Weise zu formulieren, wodurch mathematische Probestandards auf die Beweisführung in der allgemeinen Philosophie angewandt werden konnten. Andere Mathematiker-Philosophen haben versucht, Standards des mathematischen Beweises und Grunds ohne Empirismus zu verwenden, Behauptungen außerhalb der Mathematik zu erreichen, aber die Gewissheit von Vorschlägen zu haben, die in einem mathematischen Beweis wie das cogito Argument von Descarte abgeleitet sind.

Ende eines Beweises

Manchmal, die Abkürzung "Q.E.D". wird geschrieben, um das Ende eines Beweises anzuzeigen. Diese Abkürzung tritt für "Quod Erat Demonstrandum" ein, der "dafür lateinisch ist, was demonstriert werden sollte". Eine allgemeinere Alternative soll ein Quadrat oder ein Rechteck, solcher als oder, bekannt als ein "Grabstein" oder "halmos" nach seinem eponym Paul Halmos verwenden. Häufig, "der gezeigt werden sollte", wird wörtlich festgesetzt, wenn man "QED", "", oder "" in einer mündlichen Präsentation auf einem Ausschuss schreibt.

Siehe auch

• Automatisierter Lehrsatz, der sich erweist
• Ungültiger Beweis
• Liste von unvollständigen Beweisen
• Liste von langen Beweisen
• Liste von mathematischen Beweisen
• Nichtkonstruktiver Beweis
• Beweis durch die Einschüchterung
• Was die Schildkröte Achilles (das Denken von Lewis Carroll für die paradoxe Invalidität von deduktiven Beweisen) Gesagt

Quellen

Links

• Was sind mathematische Beweise, und warum sie wichtig sind?
• 2ix.com: Logikteil einer Reihe von Artikeln, die Mathematik und Logik bedecken.
• Wie man Beweise durch Larry W. Cusick schreibt
• Wie man einen Beweis durch Leslie Lamport und die Motivation Schreibt, solch einen hierarchischen Probestil vorzuschlagen.
• Beweise in der Mathematik: Einfacher, charmanter und trügerischer
• Die Siebzehn Provers der Welt, der Hrsg. durch Freek Wiedijk, des Vorwortes von Dana S. Scott, Vortrag-Zeichen in der Informatik 3600, Springer, 2006, internationale Standardbuchnummer 3-540-30704-4. Enthält formalisierte Versionen des Beweises, der in mehreren automatisierten Probesystemen vernunftwidrig ist.
• Was ist Beweis? Gedanken auf Beweisen und Beweis.
• ProofWiki.org Ein Online-Kompendium von mathematischen Beweisen.
• planetmath.org Eine wiki Stil-Enzyklopädie von Beweisen
• Über Beweise, in von
• Die Rolle und Funktion des Beweises durch Michael de Villiers
• Das Entwickeln des Verstehens von verschiedenen Rollen des Beweises durch Michael de Villiers