In der Mathematik, in der Studie von dynamischen Systemen, ist eine Bahn eine Sammlung von durch die Evolutionsfunktion des dynamischen Systems verbundenen Punkten. Die Bahn ist eine Teilmenge des Phase-Raums, und der Satz aller Bahnen ist eine Teilung des Phase-Raums, der verschiedene Bahnen ist, schneiden sich im Phase-Raum nicht. Das Verstehen der Eigenschaften von Bahnen durch das Verwenden topologischer Methode ist eines der Ziele der modernen Theorie von dynamischen Systemen.

Für die diskrete Zeit dynamische Systeme sind die Bahnen Folgen für echte dynamische Systeme die Bahnen sind Kurven, und für holomorphic dynamische Systeme sind die Bahnen Oberflächen von Riemann.

Definition

In Anbetracht eines dynamischen Systems (T, M, Φ) mit T eine Gruppe, M ein Satz und Φ die Evolutionsfunktion

: wo

wir definieren

:

dann der Satz

:

wird Bahn durch x genannt. Eine Bahn, die aus einem einzelnen Punkt besteht, wird unveränderliche Bahn genannt. Eine nichtunveränderliche Bahn wird geschlossen oder periodisch genannt, wenn dort ein t in T so dass besteht

:

für jeden Punkt x auf der Bahn.

Echtes dynamisches System

In Anbetracht eines echten dynamischen Systems (R, M, Φ), bin ich (x) ein offener Zwischenraum in den reellen Zahlen, der ist. Für jeden x in der M

:

wird positive Halbbahn durch x und genannt

:

wird negative Halbbahn durch x genannt.

Diskrete Zeit dynamisches System

Für die diskrete Zeit dynamisches System:

die Vorwärtsbahn von x ist ein Satz:

:

die rückwärts gerichtete Bahn von x ist ein Satz:

:

und die Bahn von x ist ein Satz:

:

wo:

• ist eine Evolutionsfunktion, die hier eine wiederholte Funktion, ist
• Satz ist dynamischer Raum,
• ist Zahl der Wiederholung, die natürliche Zahl und ist
• ist anfänglicher Staat des Systems und

Gewöhnlich verschiedene Notation wird verwendet:

• wird als bemerkt
• damit ist aus der obengenannten Notation.

Zeichen

Es ist häufig der Fall, dass, wie man verstehen kann, die Evolutionsfunktion die Elemente einer Gruppe zusammensetzt, in welchem Fall die gruppentheoretischen Bahnen der Gruppenhandlung dasselbe Ding wie die dynamischen Bahnen sind.

Beispiele

• Die Bahn eines Gleichgewicht-Punkts ist eine unveränderliche Bahn

Stabilität von Bahnen

Eine grundlegende Klassifikation von Bahnen ist

• unveränderliche Bahnen oder befestigte Punkte
• periodische Bahnen
• nichtunveränderliche und nichtperiodische Bahnen

Eine Bahn kann scheitern, auf zwei Weisen geschlossen zu werden.

Es konnte eine asymptotisch periodische Bahn sein, wenn es zu einer periodischen Bahn zusammenläuft. Solche Bahnen werden nicht geschlossen, weil sie sich nie aufrichtig wiederholen, aber sie werden willkürlich in der Nähe von einer sich wiederholenden Bahn.

Eine Bahn kann auch chaotisch sein. Diese Bahnen kommen willkürlich in der Nähe vom anfänglichen Punkt, aber scheitern, jemals zu einer periodischen Bahn zusammenzulaufen. Sie stellen empfindliche Abhängigkeit von anfänglichen Bedingungen aus, bedeutend, dass kleine Unterschiede im Anfangswert große Unterschiede in zukünftigen Punkten der Bahn verursachen werden.

Es gibt andere Eigenschaften von Bahnen, die verschiedene Klassifikationen berücksichtigen. Eine Bahn kann hyperbolisch sein, wenn sich nahe gelegene Punkte nähern oder aus der Bahn exponential schnell abweichen.

Siehe auch

• Wandernder Satz
• Phase-Raummethode
• Spinngewebe-Anschlag oder Diagramm von Verhulst
• Periodische Punkte von kompliziertem quadratischem mappings und Vermehrer der Bahn