In der Mathematik ist ein Einheitsvektor in einem normed Vektorraum ein Vektor (häufig ein Raumvektor), wessen Länge 1 (die Einheitslänge) ist. Ein Einheitsvektor wird häufig durch einen Kleinbuchstaben mit einem "Hut", wie das angezeigt: (ausgesprochener "I-Hut").

Im Euklidischen Raum ist das Punktprodukt von zwei Einheitsvektoren einfach der Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Das folgt aus der Formel für das Punktprodukt, da die Längen beide 1 sind.

Der normalisierte Vektor oder versor eines Nichtnullvektoren sind der Einheitsvektor, der mit, d. h., gleichgerichtet

ist:

wo die Norm (oder Länge) davon ist. Normalisierter Vektor des Begriffes wird manchmal als ein Synonym für den Einheitsvektor verwendet.

Die Elemente einer Basis werden gewöhnlich gewählt, um Einheitsvektoren zu sein. Jeder Vektor im Raum kann als eine geradlinige Kombination von Einheitsvektoren geschrieben werden. Die meistens gestoßenen Basen sind Kartesianische, polare und kugelförmige Koordinaten. Jeder verwendet verschiedene Einheitsvektoren gemäß der Symmetrie des Koordinatensystems. Da auf diese Systeme in so vielen verschiedenen Zusammenhängen gestoßen wird, ist es ziemlich üblich, auf verschiedene Namengeben-Vereinbarung zu stoßen, als diejenigen, die hier verwendet sind.

Kartesianische Koordinaten

Im dreidimensionalen Kartesianischen Koordinatensystem werden die Einheitsvektoren, die mit dem x, y, und den z Äxten gleichgerichtet sind, manchmal versors vom Koordinatensystem genannt.

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Diese werden häufig mit der normalen Vektor-Notation (z.B ich, oder) aber nicht der Zirkumflex-Notation geschrieben, und in den meisten Zusammenhängen kann es angenommen werden, dass ich, j, und k, (oder und) versors eines Kartesianischen Koordinatensystems (folglich ein Begriff von gegenseitig orthogonalen Einheitsvektoren) sind. Die Notationen, oder, mit oder ohne Hut/Zirkumflex, werden auch besonders in Zusammenhängen verwendet, wo ich, j, k zu Verwirrung mit einer anderen Menge führen könnte (zum Beispiel mit Index-Symbolen wie, habe ich, j, k, gepflegt, ein Element eines Satzes oder Reihe oder Folge von Variablen zu identifizieren). Diese Vektoren vertreten ein Beispiel einer Standardbasis.

Wenn ein Einheitsvektor im Raum mit der Kartesianischen Notation ausgedrückt wird, weil eine geradlinige Kombination von mir, j, k, seine drei Skalarbestandteile Richtungskosinus genannt werden können. Der Wert jedes Bestandteils ist dem Kosinus des Winkels gleich, der durch den Einheitsvektor mit dem jeweiligen Basisvektoren gebildet ist. Das ist eine der Methoden, die verwendet sind, um die Orientierung (winkelige Position) einer Gerade, Segmentes der Gerade zu beschreiben, hat Achse oder Segment der orientierten Achse (Vektor) orientiert.

Zylindrische Koordinaten

Die zur zylindrischen Symmetrie passenden Einheitsvektoren sind: (auch benannt oder), die Entfernung von der Achse der Symmetrie; der Winkel hat gegen den Uhrzeigersinn von der positiven X-Achse gemessen; und. Sie sind mit der Kartesianischen Basis verbunden, durch:

: =

: =:

Es ist wichtig zu bemerken, dass und Funktionen dessen sind, und in der Richtung nicht unveränderlich sind. Wenn man differenziert oder in zylindrische Koordinaten integriert, müssen diese Einheitsvektoren selbst auch darauf bedient werden. Für eine mehr ganze Beschreibung, sieh Matrix von Jacobian. Die Ableitungen in Bezug darauf sind:

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Kugelförmige Koordinaten

Die zur kugelförmigen Symmetrie passenden Einheitsvektoren sind: die Richtung in der die radiale Entfernung von den Ursprung-Zunahmen; die Richtung, in der der Winkel im x-y Flugzeug gegen den Uhrzeigersinn von der positiven X-Achse zunimmt; und, die Richtung, in der der Winkel von der positiven z Achse zunimmt. Um Entartung zu minimieren, wird der polare Winkel gewöhnlich genommen. Es ist besonders wichtig, den Zusammenhang jedes befohlenen Drillings zu bemerken, der in kugelförmigen Koordinaten, als die Rollen dessen geschrieben ist, und wird häufig umgekehrt. Hier wird die amerikanische "Physik"-Tagung verwendet. Das reist ab der scheitelwinklige Winkel hat dasselbe als in zylindrischen Koordinaten definiert. Die Kartesianischen Beziehungen sind:

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Die kugelförmigen Einheitsvektoren hängen von beiden ab und, und folglich gibt es 5 mögliche Nichtnullableitungen. Für eine mehr ganze Beschreibung, sieh Jacobian. Die Nichtnullableitungen sind:

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Krummlinige Koordinaten

Im Allgemeinen kann ein Koordinatensystem mit mehreren linear unabhängigen Einheitsvektoren einzigartig angegeben werden, die den Graden der Freiheit des Raums gleich sind. Für den 3-Räume-gewöhnlichen können diese Vektoren angezeigt werden. Es ist fast immer günstig, das System zu definieren, um orthonormal und rechtshändig zu sein:

wo δ das Delta von Kronecker ist (der ein ist, weil ich = j und Null sonst) und das Symbol von Levi-Civita ist (der ein für Versetzungen bestellt als ijk und minus eine für Versetzungen bestellt als kji ist).

Siehe auch

• Kartesianisches Koordinatensystem
• Polarkoordinate-System
• Koordinatensystem
• Krummlinige Koordinaten
• Jacobian
• Recht versor
• Vier-Geschwindigkeiten-