In der Mathematik sind ein Grenze-Punkt (oder Anhäufungspunkt) eines Satzes S in einem topologischen Raum X ein Punkt x (der in X, aber nicht notwendigerweise in S ist), dem durch Punkte von S im Sinn "näher gekommen" werden kann, dass jede Nachbarschaft von x in Bezug auf die Topologie auf X auch einen Punkt von S außer x selbst enthält. Bemerken Sie, dass x kein Element von S sein muss. Dieses Konzept verallgemeinert rentabel den Begriff einer Grenze und ist die Untermauerung von Konzepten, solch wie geschlossen gesetzt, und der topologische Verschluss. Tatsächlich wird ein Satz geschlossen, wenn, und nur wenn er alle seine Grenze-Punkte und die topologische Verschluss-Operation enthält, als eine Operation gedacht werden kann, die einen Satz durch das Hinzufügen seiner Grenze-Punkte bereichert.

Jeder begrenzte oder begrenzte Zwischenraum der reellen Zahlen, der eine unendliche Zahl von Punkten enthält, muss mindestens einen Punkt der Anhäufung haben. Wenn ein begrenzter Zwischenraum eine unendliche Zahl von Punkten und nur einem Punkt der Anhäufung enthält, dann läuft die Folge von Punkten zum Punkt der Anhäufung zusammen.

Definition

Lassen Sie S eine Teilmenge eines topologischen Raums X. sein

Ein Punkt x in X ist ein Grenze-Punkt von S, wenn jeder offene Satz, der x enthält, mindestens einen Punkt von S enthält, der von x selbst verschieden ist.

Das ist in einem T Raum zum Verlangen gleichwertig, dass jede Nachbarschaft von x ungeheuer viele Punkte von S. enthält (Es ist häufig günstig, die "offene Nachbarschaft" Form der Definition zu verwenden, um zu zeigen, dass ein Punkt ein Grenze-Punkt ist und die "allgemeine Nachbarschaft" Form der Definition zu verwenden, um Tatsachen von einem bekannten Grenze-Punkt abzuleiten.)

Wechselweise, wenn der Raum X folgend ist, können wir das x &isin sagen; X ist ein Grenze-Punkt von S wenn und nur, wenn es ω-sequence Punkte in S \{x} gibt, dessen Grenze x ist; folglich wird x einen Grenze-Punkt genannt.

Typen von Grenze-Punkten

Wenn jeder offene Satz, der x enthält, ungeheuer viele Punkte von S dann x enthält, ist ein spezifischer Typ des Grenze-Punkts genannt einen ω-accumulation Punkt von S.

Wenn jeder offene Satz, der x enthält, unzählbar viele Punkte von S dann x enthält, ist ein spezifischer Typ des Grenze-Punkts genannt einen Kondensationspunkt von S.

Wenn jeder offene Satz U, x enthaltend, dann x befriedigt, ist ein spezifischer Typ des Grenze-Punkts genannt von S.

Ein Punkt ist ein Traube-Punkt einer Folge (x) wenn, für jede Nachbarschaft V von x, es gibt ungeheuer viele natürliche Zahlen n solch dass x  V. Wenn der Raum folgend ist, ist das zur Behauptung gleichwertig, dass x eine Grenze von einer Subfolge der Folge (x) ist.

Das Konzept eines Netzes verallgemeinert die Idee von einer Folge. Traube-Punkte in Netzen umfassen die Idee sowohl von Kondensationspunkten als auch von ω-Accumulation-Punkten. Das Sammeln und Grenze-Punkte wird auch für das zusammenhängende Thema von Filtern definiert.

Der Satz aller Traube-Punkte einer Folge wird manchmal einen Grenze-Satz genannt.

Einige Tatsachen

• Wir haben die folgende Charakterisierung von Grenze-Punkten: X ist ein Grenze-Punkt von S, wenn, und nur wenn es im Verschluss von S \{x} ist.
• Beweis: Wir verwenden die Tatsache, dass ein Punkt im Verschluss eines Satzes ist, wenn, und nur wenn jede Nachbarschaft des Punkts den Satz entspricht. Jetzt ist x ein Grenze-Punkt von S, wenn, und nur wenn jede Nachbarschaft von x einen Punkt von S außer x enthält, wenn, und nur wenn jede Nachbarschaft von x einen Punkt von S \{x} enthält, wenn, und nur wenn x im Verschluss von S \{x} ist.
• Wenn wir L (S) verwenden, um den Satz von Grenze-Punkten von S anzuzeigen, dann haben wir die folgende Charakterisierung des Verschlusses von S: Der Verschluss von S ist der Vereinigung von S und L (S) gleich.
• Beweis: ("Verlassen Teilmenge") nehmen An, dass x im Verschluss von S ist. Wenn x in S ist, werden wir getan. Wenn x nicht in S ist, dann enthält jede Nachbarschaft von x einen Punkt von S, und dieser Punkt kann nicht x sein. Mit anderen Worten ist x ein Grenze-Punkt von S, und x ist in L (S). ("Richtige Teilmenge"), Wenn x in S ist, dann entspricht jede Nachbarschaft von x klar S, so ist x im Verschluss von S. Wenn x in L (S) ist, dann enthält jede Nachbarschaft von x einen Punkt von S (anders als x), so ist x wieder im Verschluss von S. Das vollendet den Beweis.
• Eine Folgeerscheinung dieses Ergebnisses gibt uns eine Charakterisierung von geschlossenen Sätzen: Ein Satz S wird geschlossen, wenn, und nur wenn er alle seine Grenze-Punkte enthält.
• Beweis: S wird geschlossen, wenn, und nur wenn S seinem Verschluss gleich ist, wenn und nur wenn S = S  L (S) wenn, und nur wenn L (S) in S enthalten wird.
• Ein anderer Beweis: Lassen Sie S ein geschlossener Satz und x ein Grenze-Punkt von S sein. Wenn x nicht in S ist, dann können wir einen offenen Satz um x enthalten völlig in der Ergänzung von S finden. Aber dann enthält dieser Satz nichts in S, so ist x nicht ein Grenze-Punkt, der unserer ursprünglichen Annahme widerspricht. Nehmen Sie umgekehrt an, dass S alle seine Grenze-Punkte enthält. Wir werden zeigen, dass die Ergänzung von S ein offener Satz ist. Lassen Sie x ein Punkt in der Ergänzung von S sein. Durch die Annahme ist x nicht ein Grenze-Punkt, und folglich dort besteht eine offene Nachbarschaft U x, der S nicht durchschneidet, und so liegt U völlig in der Ergänzung von S. Da dieses Argument für willkürlichen x in der Ergänzung von S hält, kann die Ergänzung von S als eine Vereinigung der offenen Nachbarschaft der Punkte in der Ergänzung von S ausgedrückt werden. Folglich ist die Ergänzung von S offen.
• Kein isolierter Punkt ist ein Grenze-Punkt jedes Satzes.
• Beweis: Wenn x ein isolierter Punkt ist, dann ist {x} eine Nachbarschaft von x, der keine Punkte außer x enthält.
• Ein Raum X ist getrennt, wenn, und nur wenn keine Teilmenge X einen Grenze-Punkt hat.
• Beweis: Wenn X getrennt ist, dann wird jeder Punkt isoliert und kann kein Grenze-Punkt keines Satzes sein. Umgekehrt, wenn X nicht getrennt ist, dann gibt es einen Singleton {x}, der nicht offen ist. Folglich enthält jede offene Nachbarschaft von {x} einen Punkt y  x, und so ist x ein Grenze-Punkt X.
• Wenn ein Raum X die triviale Topologie hat und S eine Teilmenge X mit mehr als einem Element ist, dann sind alle Elemente X Grenze-Punkte von S. Wenn S ein Singleton ist, dann ist jeder Punkt X \S noch ein Grenze-Punkt von S.
• Beweis: So lange S \ist {x} nichtleer, sein Verschluss wird X sein. Es ist nur leer, wenn S leer ist oder x das einzigartige Element von S ist.
• Definitionsgemäß ist jeder Grenze-Punkt ein anklebender Punkt.

Links