In der Rechnung stellt der äußerste Wertlehrsatz dass fest, wenn eine reellwertige Funktion f im geschlossenen und begrenzten Zwischenraum [a, b] dauernd ist, dann muss f seinen maximalen und minimalen Wert, jeder mindestens einmal erreichen. D. h. dort bestehen Sie Nummern c und d in [a, b] solch dass:

Ein zusammenhängender Lehrsatz ist der boundedness Lehrsatz, der feststellt, dass eine dauernde Funktion f im geschlossenen Zwischenraum [a, b] auf diesem Zwischenraum begrenzt wird. D. h. dort bestehen Sie reelle Zahlen M und solche M dass:

Der äußerste Wertlehrsatz bereichert den boundedness Lehrsatz durch den Ausspruch, dass nicht nur die Funktion begrenzt wird, aber es erreicht auch sein am wenigsten oberes gebunden als sein Maximum und sein als sein Minimum tiefer gebundenes größtes.

Der äußerste Wertlehrsatz wird verwendet, um den Lehrsatz von Rolle zu beweisen. In einer Formulierung wegen Karl Weierstrass stellt dieser Lehrsatz fest, dass eine dauernde Funktion von einem Kompaktraum bis eine Teilmenge der reellen Zahlen sein Maximum und Minimum erreicht.

Geschichte

Der äußerste Wertlehrsatz wurde von Bernard Bolzano in den 1830er Jahren in einer Arbeitsfunktionstheorie ursprünglich bewiesen, aber die Arbeit ist unveröffentlicht bis 1930 geblieben. Der Beweis von Bolzano hat aus der Vertretung bestanden, dass eine dauernde Funktion auf einem geschlossenen Zwischenraum begrenzt wurde, und dann zeigend, dass die Funktion seinen maximalen und minimalen Wert erreicht hat. Beide Beweise haben eingeschlossen, was heute als der Bolzano-Weierstrass Lehrsatz bekannt ist. Das Ergebnis wurde auch später von Weierstrass 1860 entdeckt.

Funktionen, für die Lehrsatz nicht gilt

Die folgende Beispiel-Show, warum das Funktionsgebiet geschlossen und in der Größenordnung vom Lehrsatz begrenzt werden muss, um zu gelten. Jeder scheitert, ein Maximum auf dem gegebenen Zwischenraum zu erreichen.

1. ƒ (x) = x definiert über [0, ) wird von oben nicht begrenzt.
2. ƒ (x) = definiert über [0, ) wird begrenzt, aber erreicht seinen kleinsten oberen bestimmten 1 nicht.
3. ƒ (x) = definiert darüber (0, 1] wird von oben nicht begrenzt.
4. ƒ (x) = 1 - x definiert darüber (0, 1] wird begrenzt, aber erreicht nie seinen kleinsten oberen bestimmten 1.

Das Definieren ƒ (0) = 0 in den letzten zwei Beispielen zeigt, dass beide Lehrsätze Kontinuität auf [a, b] verlangen.

Erweiterung auf halbdauernde Funktionen

Wenn die Kontinuität der Funktion f zur Halbkontinuität geschwächt wird, dann hält die entsprechende Hälfte des boundedness Lehrsatzes und des äußersten Wertlehrsatzes, und den Werten -  oder + , beziehungsweise, von der verlängerten Linie der reellen Zahl kann als mögliche Werte erlaubt werden. Genauer:

Lehrsatz: Wenn eine Funktion f: [a, b]  [-, ) ist halbdauernd ober, das bedeutend

für den ganzen x in [a, b], dann wird f oben begrenzt und erreicht sein Supremum.

Beweis: Wenn f (x) = -  für den ganzen x in [a, b], dann ist das Supremum auch -  und der Lehrsatz, wahr ist. In allen anderen Fällen ist der Beweis eine geringe Modifizierung der Beweise, die oben gegeben sind. Im Beweis des boundedness Lehrsatzes deutet die obere Halbkontinuität von f an x nur an, dass die Grenze, die der Subfolge {f (x)} höher ist, oben durch f (x) begrenzt wird)}, wird oben durch f (d) begrenzt, aber das genügt, um dass f (d) = M.  zu beschließen

Die Verwendung dieses Ergebnisses zu −f erweist sich:

Lehrsatz: Wenn eine Funktion f: [a, b]  (-, ] ist halbdauernd niedriger, das bedeutend

für den ganzen x in [a, b], dann wird f unten begrenzt und erreicht seinen infimum.

Eine reellwertige Funktion ist sowie niedrigere halbdauernd ober, wenn, und nur wenn es im üblichen Sinn dauernd ist. Folglich beziehen diese zwei Lehrsätze den boundedness Lehrsatz und den äußersten Wertlehrsatz ein.

Topologische Formulierung

In der allgemeinen Topologie folgt der äußerste Wertlehrsatz aus der allgemeinen Tatsache, dass Kompaktheit durch dauernde Funktionen und die Tatsache bewahrt wird, dass eine Teilmenge der echten Linie kompakt ist, wenn, und nur wenn es sowohl geschlossen und begrenzt wird.

Beweis der Lehrsätze

Wir schauen auf den Beweis für das obere gebunden und das Maximum von f. Durch die Verwendung dieser Ergebnisse auf die Funktion-f, die Existenz tiefer bestimmten und des Ergebnisses für das Minimum von f folgt. Bemerken Sie auch, dass alles im Beweis innerhalb des Zusammenhangs der reellen Zahlen getan wird.

Wir beweisen zuerst den boundedness Lehrsatz, der ein Schritt im Beweis des äußersten Wertlehrsatzes ist. Die grundlegenden am Beweis des äußersten Wertlehrsatzes beteiligten Schritte sind:

1. Beweisen Sie den boundedness Lehrsatz.
2. Finden Sie eine Folge, so dass sein Image zum Supremum von f zusammenläuft.
3. Zeigen Sie, dass dort eine Subfolge besteht, die zu einem Punkt im Gebiet zusammenläuft.
4. Verwenden Sie Kontinuität, um zu zeigen, dass das Image der Subfolge zum Supremum zusammenläuft.

Beweis des boundedness Lehrsatzes

Nehmen Sie an, dass die Funktion f oben auf dem Zwischenraum [a, b] nicht begrenzt wird. Dann, durch das Eigentum von Archimedean der reellen Zahlen, für jede natürliche Zahl n, dort besteht ein x in [a, b] solch dass f (x)> n. Das definiert eine Folge {x}. Weil [a, b] begrenzt wird, deutet der Bolzano-Weierstrass Lehrsatz an, dass dort eine konvergente Subfolge {} {x} besteht. Zeigen Sie seine Grenze durch x an. Als [a, b] wird geschlossen, es enthält x. Weil f an x dauernd ist, wissen wir, dass {f } zur reellen Zahl f (x) zusammenläuft (weil f an x. folgend dauernd ist), Aber f (x)> n  k für jeden k, der andeutet, dass {f (x)} zu + , ein Widerspruch abweicht. Deshalb wird f oben auf [a, b] begrenzt. 

Beweis des äußersten Wertlehrsatzes

Durch den boundedness Lehrsatz wird f von oben, folglich, durch die Dedekind-Vollständigkeit der reellen Zahlen, das am wenigsten obere bestimmte (Supremum) begrenzt die M von f besteht. Es ist notwendig, einen d in [a, b] solch dass M = f (d) zu finden. Lassen Sie n eine natürliche Zahl sein. Da M das gebundene am wenigsten obere ist, ist M - 1/n nicht ein für f gebundener oberer. Deshalb, dort besteht d in [a, b] so dass M - 1/n). Das definiert eine Folge {d}. Da M ein für f gebundener oberer ist, haben wir M - 1/n)  M für den ganzen n. Deshalb läuft die Folge {f (d)} zur M zusammen.

Der Bolzano-Weierstrass Lehrsatz sagt uns, dass dort eine Subfolge {} besteht, der zu einem d zusammenläuft und, weil [a, b] geschlossen wird, ist d in [a, b]. Da f an d dauernd ist, läuft die Folge {f } zu f (d) zusammen. Aber {f (d)} ist eine Subfolge {f (d)}, der zur M, so M = f (d) zusammenläuft. Deshalb erreicht f sein Supremum M an d. 

Alternativer Beweis des äußersten Wertlehrsatzes

Der Satz} ist ein begrenzter Satz. Folglich besteht sein gebundenes am wenigsten oberes durch kleinstes oberes bestimmtes Eigentum der reellen Zahlen. Lassen Sie M = Mund voll (f (x)) auf [a, b]. Wenn es nichts x auf [a, b] so dass f (x) = M dann gibt

f (x)

Beweis mit dem hyperreals

In der Einstellung der Sonderrechnung, lassen Sie N  seien Sie eine unendliche hyperganze Zahl. Der Zwischenraum [0, 1] hat eine natürliche hyperechte Erweiterung. Denken Sie, dass seine Teilung in N Subzwischenräume der gleichen unendlich kleinen Länge 1/N, mit der Teilung x = ich/N anspitzt, als ich von 0 bis N "laufe". Die Funktion ƒ  wird auch zu einer Funktion ƒ* definiert auf dem hyperreals zwischen 0 und 1 natürlich erweitert. Bemerken Sie das in der Standardeinstellung (wenn N  ist begrenzt), ein Punkt mit dem maximalen Wert ƒ kann immer unter dem N+1-Punkt-x durch die Induktion gewählt werden. Folglich, durch den Übertragungsgrundsatz, gibt es eine hyperganze Zahl i solch dass 0  i  N und   für alles ich = 0, …, N. Denken Sie den echten Punkt

wo der St. die Standardteil-Funktion ist. Ein willkürlicher echter Punkt x liegt in einem passenden Subzwischenraum der Teilung, nämlich, so that  der St. (x) = x. Die Applying St zur Ungleichheit, wir herrschen vor. Durch die Kontinuität ƒ  wir haben

:.

Folglich ƒ (c)  ƒ (x), für den ganzen echten x, sich c erweisend, um ein Maximum &fnof zu sein;. sieh.

Links

• Ein Beweis für den äußersten Wertlehrsatz an der Knoten-Kürzung
• Äußerster Wertlehrsatz durch Jacqueline Wandzura mit zusätzlichen Beiträgen durch Stephen Wandzura, das Wolfram-Demonstrationsprojekt.