In der Mathematik ist der Hahn-Banach Lehrsatz ein Hauptwerkzeug in der Funktionsanalyse. Es erlaubt die Erweiterung von begrenztem geradlinigem functionals, der auf einem Subraum von einem Vektorraum zum ganzen Raum definiert ist, und es zeigt auch, dass es "genug" dauernder geradliniger auf jedem normed Vektorraum definierter functionals gibt, um die Studie des Doppelraums "interessant" zu machen. Eine andere Version des Hahn-Banach Lehrsatzes ist als Hahn-Banach Trennungslehrsatz oder der sich trennende Hyperflugzeug-Lehrsatz bekannt, und hat zahlreichen Nutzen in der konvexen Geometrie. Es wird für Hans Hahn und Stefan Banach genannt, der diesen Lehrsatz unabhängig gegen Ende der 1920er Jahre bewiesen hat, obwohl ein spezieller Fall früher (1912) von Eduard Helly bewiesen wurde, und ein allgemeiner Erweiterungslehrsatz, von dem der Hahn-Banach Lehrsatz abgeleitet werden kann, 1923 von Marcel Riesz bewiesen wurde.

Formulierung

Die allgemeinste Formulierung des Lehrsatzes braucht etwas Vorbereitung. In Anbetracht eines Vektorraums V über Feld R von reellen Zahlen wird eine Funktion subgeradlinig wenn genannt

: für irgendwelchen

\mathbb {R} _ + </Mathematik> und jeder x &isin; V (positive Gleichartigkeit),

: für jeden x, y &isin; V (Subadditivität).

Jede Halbnorm auf V (insbesondere jede Norm auf V) sind subgeradlinig. Andere subgeradlinige Funktionen können ebenso, besonders Minkowski functionals konvexer Sätze nützlich sein.

Der Hahn-Banach Lehrsatz stellt fest, dass, wenn eine subgeradlinige Funktion ist, und ein geradliniger funktioneller auf einem geradlinigen Subraum U  V ist, der durch auf U, beherrscht wird

:

dann dort besteht eine geradlinige Erweiterung zum ganzen Raum V, d. h., dort besteht ein geradliniger funktioneller solcher ψ dass

:und:

Eine andere Version des Hahn-Banach Lehrsatzes stellt fest, dass, wenn V ein Vektorraum über das Skalarfeld K (entweder die reellen Zahlen R oder die komplexen Zahlen C) ist, wenn eine Halbnorm ist, und ein K-linear funktioneller auf einem K-linear Subraum U von V ist, der durch auf U im absoluten Wert, beherrscht wird

:

dann dort besteht eine geradlinige Erweiterung von φ zum ganzen Raum V, d. h., dort besteht ein K-linear funktioneller solcher ψ dass

:und:

Im komplizierten Fall dieses Lehrsatzes, der C-Linearitätsannahme-Nachfrage, zusätzlich zu den Annahmen für den echten Fall, dem für jeden Vektoren x  U, der Vektor, auch in U sein, und.

Die Erweiterung ψ wird im Allgemeinen durch φ nicht einzigartig angegeben, und der Beweis gibt keine ausführliche Methode betreffs, wie man ψ findet: Im Fall von einem unendlichen dimensionalen Raum V hängt es vom Lemma von Zorn, einer Formulierung des Axioms der Wahl ab.

Es ist möglich, ein bisschen die Sublinearitätsbedingung zu entspannen auf, nur das verlangend

:

gemäß (Reed und Simon, 1980). Das offenbart die vertraute Verbindung zwischen dem Hahn-Banach Lehrsatz und der Konvexität.

Das Mizar-Projekt hat völlig formalisiert und automatisch den Beweis des Hahn-Banach Lehrsatzes in der HAHNBAN Datei überprüft.

Wichtige Folgen

Der Lehrsatz hat mehrere wichtige Folgen, von denen einige auch manchmal "Hahn-Banach Lehrsatz" genannt werden:

• Wenn V ein normed Vektorraum mit dem geradlinigen Subraum U (nicht notwendigerweise geschlossen) ist, und wenn dauernd und geradlinig ist, dann dort besteht eine Erweiterung von φ, der auch dauernd und geradlinig ist, und der dieselbe Norm wie φ hat (sieh Banachraum für eine Diskussion der Norm einer geradlinigen Karte). Mit anderen Worten, in der Kategorie von normed Vektorräumen, ist der Raum K ein Injective-Gegenstand.
• Wenn V ein normed Vektorraum mit dem geradlinigen Subraum U (nicht notwendigerweise geschlossen) ist, und wenn z ein Element V nicht im Verschluss von U ist, dann dort besteht eine dauernde geradlinige Karte mit ψ (x) = 0 für den ganzen x in U, ψ (z) = 1 und ψ = 1 / dist (z, U).
• Insbesondere wenn V ein normed Vektorraum ist, und wenn z ein Element V ist, dann dort besteht eine dauernde geradlinige Karte mit ψ (z) = z und ψ  1. Das deutet an, dass die natürliche Einspritzung J von einem normed Raum V in seinen doppelten Doppel-isometrisch ist.

Hahn-Banach Trennungslehrsatz

Eine andere Version des Hahn-Banach Lehrsatzes ist als der Hahn-Banach Trennungslehrsatz bekannt. Es hat zahlreichen Nutzen in der konvexen Geometrie, Optimierungstheorie und Volkswirtschaft. Der Trennungslehrsatz wird aus der ursprünglichen Form des Lehrsatzes abgeleitet.

Lehrsatz: Lassen Sie V ein topologischer Vektorraum sein

über =  oder ,

und A, B konvexe, nichtleere Teilmengen V.

Nehmen Sie dass Ein  B =  an.

Dann

(i) Wenn A, offen

ist

dann dort besteht eine dauernde geradlinige Karte

und

solch dass

für alle,

(ii) Wenn V, lokal konvex

ist

A, ist kompakt

und B, hat geschlossen

dann dort besteht eine dauernde geradlinige Karteundsolch dass

für alle.

Beziehung zum Axiom der Wahl

Wie erwähnt, früher bezieht das Axiom der Wahl den Hahn-Banach Lehrsatz ein. Das gegenteilige ist nicht wahr. Eine Weise, das zu sehen, ist durch die Anmerkung, dass das Ultrafilterlemma, das ausschließlich schwächer ist als das Axiom der Wahl, verwendet werden kann, um den Hahn-Banach Lehrsatz zu zeigen, obwohl das gegenteilige nicht der Fall ist. Der Hahn-Banach Lehrsatz kann tatsächlich mit noch schwächeren Hypothesen bewiesen werden als das Ultrafilterlemma. Für trennbare Banachräume haben Brown und Simpson bewiesen, dass der Hahn-Banach Lehrsatz aus WKL, einem schwachen Subsystem der Arithmetik der zweiten Ordnung folgt, die das Lemma von König als ein Axiom nimmt.

Der Doppelraum

Wir haben die folgende Folge des Hahn-Banach Lehrsatzes.

Vorschlag. Lassen

für alle.

Außerdem, wo die Gesamtschwankung dessen anzeigt.

Siehe auch

• Erweiterungslehrsatz von M. Riesz
• Das Trennen des Achse-Lehrsatzes

Referenzen

• Lawrence Narici und Edward Beckenstein, "Der Hahn-Banach Lehrsatz: Das Leben und Zeiten", Topologie und seine Anwendungen, Band 77, Seiten 193-211 der Ausgabe 2 (1997).
• Michael Reed und Barry Simon, Methoden der Modernen Mathematischen Physik, Vol. 1, Funktionsanalyse, Abschnitt III.3. Akademische Presse, San Diego, 1980. Internationale Standardbuchnummer 0-12-585050-6.
• Terence Tao, Der Hahn-Banach Lehrsatz, der Lehrsatz von Menger und der Lehrsatz von Helly
• Eberhard Zeidler, Angewandte Funktionsanalyse: Hauptgrundsätze und ihre Anwendungen, Springer, 1995.