In der komplizierten Analyse stellt der Lehrsatz von Liouville, genannt nach Joseph Liouville, fest, dass jede begrenzte komplette Funktion unveränderlich sein muss. D. h. jeder holomorphic fungieren f, für den dort eine positive Zahl solche M besteht, dass |f (z) |  M für den ganzen z in C unveränderlich ist.

Der Lehrsatz wird durch den kleinen Lehrsatz von Picard beträchtlich verbessert, der sagt, dass jede komplette Funktion, deren Image mindestens zwei komplexe Zahlen weglässt, unveränderlich sein muss.

Beweis

Der Lehrsatz folgt aus der Tatsache, dass Holomorphic-Funktionen analytisch sind. Da f komplett ist, kann er durch seine Reihe von Taylor ungefähr 0 vertreten werden

:

wo (durch die integrierte Formel von Cauchy)

:

a_k = \frac {f^ {(k)} (0)} {k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_ {C_r}

\frac {f (\zeta)} {\\Zeta^ {k+1} }\\, d\zeta

</Mathematik>

und C ist der Kreis ungefähr 0 des Radius r> 0. Wir können direkt schätzen

:

| a_k |

\le \frac {1} {2 \pi} \oint_ {C_r} \frac {| f (\zeta) |} {| \zeta | ^ {k+1}} \, |d\zeta|

\le \frac {1} {2 \pi} \oint_ {C_r} \frac {M} {R^ {k+1}} \, |d\zeta|

\frac {M} {2 \pi R^ {k+1}} \oint_ {C_r} d\zeta

\frac {M} {2 \pi R^ {k+1}} 2 \pi r

\frac {M} {r^k},

</Mathematik>

wo in der zweiten Ungleichheit wir die Annahme dass |f (z) |  M für den ganzen z und die Tatsache dass |z=r auf dem Kreis C angerufen haben. Aber die Wahl von r im obengenannten ist eine willkürliche positive Zahl. Deshalb neigt das Lassen r zur Unendlichkeit (wir lassen r zur Unendlichkeit neigen, da f auf dem kompletten Flugzeug analytisch ist), gibt = 0 für den ganzen k  1. So f (z) = a und beweist das den Lehrsatz.

Folgeerscheinungen

Hauptsatz der Algebra

Es gibt einen kurzen Beweis des Hauptsatzes der auf dem Lehrsatz von Liouville gestützten Algebra.

Keine komplette Funktion beherrscht eine andere komplette Funktion

Eine Folge des Lehrsatzes ist, dass "echt verschiedene" komplette Funktionen einander nicht beherrschen können, d. h. wenn f und g, und |f  |g überall, dann f = α\komplett sind · g für eine komplexe Zahl α. Um das zu zeigen, denken Sie die Funktion h = f/g. Es ist genug zu beweisen, dass h zu einer kompletten Funktion erweitert werden kann, in welchem Fall das Ergebnis durch den Lehrsatz von Liouville folgt. Der holomorphy von h ist außer an Punkten in g (0) klar. Aber da h begrenzt wird, müssen irgendwelche Eigenartigkeiten absetzbar sein. So kann h zu einer kompletten begrenzten Funktion erweitert werden, die durch den Lehrsatz von Liouville andeutet, dass es unveränderlich ist.

Wenn f weniger ist als oder gleich Skalarzeiten sein Eingang, dann ist es geradlinig

Nehmen Sie an, dass f komplett ist und |f (z) | weniger ist als oder gleich Mz, für die M eine positive reelle Zahl. Wir können die integrierte Formel von Cauchy anwenden; wir haben das

:

wo ich der Wert des integrierten Bleibens bin. Das zeigt, dass f' begrenzt und komplett wird, so muss es durch den Lehrsatz von Liouville unveränderlich sein. Integrierung zeigt dann, dass f affine und dann durch das Verweisen zurück auf die ursprüngliche Ungleichheit ist, haben wir das der unveränderliche Begriff ist Null.

Nichtunveränderliche elliptische Funktionen können auf C nicht definiert werden

Der Lehrsatz kann auch verwendet werden, um abzuleiten, dass das Gebiet einer nichtunveränderlichen elliptischen Funktion f C nicht sein kann. Nehmen Sie an, dass es war. Dann, wenn a und b zwei Perioden von solchem f dass &frasl sind; ist nicht echt, denken Sie das Parallelogramm P, dessen Scheitelpunkte 0, a, b und + b sind. Dann ist das Image von f f (P) gleich. Da f dauernd ist und P kompakt ist, f ist (P) auch kompakt und deshalb es wird begrenzt. Also, f ist unveränderlich.

Die Tatsache, dass das Gebiet einer nichtunveränderlichen elliptischen Funktion f C nicht sein kann, ist, was Liouville wirklich 1847 mit der Theorie von elliptischen Funktionen bewiesen hat. Tatsächlich war es Cauchy, der den Lehrsatz von Liouville bewiesen hat.

Komplette Funktionen haben dichte Images

Wenn f eine nichtunveränderliche komplette Funktion ist, dann ist sein Image in C dicht. Das könnte scheinen, ein viel stärkeres Ergebnis zu sein, als der Lehrsatz von Liouville, aber es ist wirklich eine leichte Folgeerscheinung. Wenn das Image von f nicht dicht ist, dann gibt es eine komplexe Zahl w und eine reelle Zahl r> 0 solches, dass die offene Platte, die an w mit dem Radius r in den Mittelpunkt gestellt ist, kein Element des Images von f hat. Definieren Sie g (z) = 1 / (f (z) &minus; w). Dann ist g eine begrenzte komplette Funktion, seitdem

:

Also, g ist unveränderlich, und deshalb ist f unveränderlich.

Bemerkungen

Lassen Sie C  {} ein Punkt compactification vom komplizierten Flugzeug C sein. Im Platz von Holomorphic-Funktionen, die auf Gebieten in C definiert sind, kann man Gebiete in C  {} denken. Angesehen dieser Weg, die einzige mögliche Eigenartigkeit für komplette Funktionen, die auf C  C  {} definiert sind, ist der Punkt . Wenn eine komplette Funktion f in einer Nachbarschaft von  begrenzt wird, dann ist  eine absetzbare Eigenartigkeit von f, d. h. f kann nicht explodieren oder sich unregelmäßig an  benehmen. Im Licht der Macht-Reihenentwicklung ist es nicht überraschend, dass der Lehrsatz von Liouville hält.

Ähnlich, wenn eine komplette Funktion einen Pol an  hat, d. h. wie z in einer Nachbarschaft von  explodiert, dann ist f ein Polynom. Diese verlängerte Version des Lehrsatzes von Liouville kann genauer festgesetzt werden: Wenn |f (z) |  M. | z für den genug großen |z, dann ist f ein Polynom des Grads am grössten Teil von n. Das kann wie folgt bewiesen werden. Nehmen Sie wieder die Reihe-Darstellung von Taylor von f,

:

Das während des Beweises verwendete Argument zeigt dem

:

Also, wenn k> n,

:

Deshalb, = 0.

Links

• Modul für den Lehrsatz von Liouville durch John H. Mathews