In der abstrakten Algebra ist ein Erzeugen-Satz einer Gruppe eine Teilmenge, die in keiner richtigen Untergruppe der Gruppe enthalten wird. Gleichwertig ist ein Erzeugen-Satz einer Gruppe eine solche Teilmenge, dass jedes Element der Gruppe als die Kombination (unter der Gruppenoperation) begrenzt vieler Elemente der Teilmenge und ihrer Gegenteile ausgedrückt werden kann.

Mehr allgemein, wenn S eine Teilmenge einer Gruppe G, dann ist

Wenn G = <S> dann sagen wir, dass S G erzeugt; und die Elemente in S werden Generatoren oder Gruppengeneratoren genannt. Wenn S der leere Satz, dann ist

Wenn es nur ein einzelne Element x in S gibt,

x hat Ordnung |G |.

Begrenzt erzeugte Gruppe

Wenn S, dann eine Gruppe G = begrenzt

Jede begrenzte Gruppe wird seitdem begrenzt erzeugt

Verschiedene Teilmengen derselben Gruppe können Teilmengen erzeugen; zum Beispiel, wenn p und q ganze Zahlen mit gcd (p, q) = 1 sind, dann {p, q} erzeugt auch die Gruppe von ganzen Zahlen unter der Hinzufügung (durch die Identität von Bézout).

Während es wahr ist, dass jeder Quotient einer begrenzt erzeugten Gruppe begrenzt erzeugt wird (einfach nehmen die Images der Generatoren im Quotienten), eine Untergruppe einer begrenzt erzeugten Gruppe braucht nicht begrenzt erzeugt zu werden. Lassen Sie zum Beispiel G die freie Gruppe in zwei Generatoren, x und y sein (der klar, seitdem G = begrenzt erzeugt wird

Freie Gruppe

Die allgemeinste Gruppe, die durch einen Satz S erzeugt ist, ist die durch S frei erzeugte Gruppe. Jede durch S erzeugte Gruppe ist zu einem Quotienten dieser Gruppe, eine Eigenschaft isomorph, die im Ausdruck einer Präsentation einer Gruppe verwertet wird.

Untergruppe von Frattini

Ein interessantes dazugehöriges Thema ist das von Nichtgeneratoren. Ein Element x der Gruppe G ist ein Nichtgenerator, wenn jeder Satz S, x enthaltend, der G erzeugt, noch G erzeugt, wenn x von S entfernt wird. In den ganzen Zahlen mit der Hinzufügung ist der einzige Nichtgenerator 0. Der Satz aller Nichtgeneratoren bildet eine Untergruppe von G, die Untergruppe von Frattini.

Beispiele

Die Gruppe von Einheiten U (Z) ist die Gruppe aller ganzen Zahlen, die zu 9 unter der Multiplikation mod 9 (U = {1, 2, 4, 5, 7, 8}) relativ erst sind. Die ganze Arithmetik hier wird modulo 9 getan. Sieben ist nicht ein Generator von U (Z), seitdem

während 2 seitdem ist:

Andererseits für n> 2 ist die symmetrische Gruppe des Grads n nicht zyklisch, so wird es durch kein Element erzeugt. Jedoch wird es durch die zwei Versetzungen (1 2) und (1 2 3... n) erzeugt. Zum Beispiel für S haben wir:

:e = (1 2) (1 2)

: (1 2) = (1 2)

: (1 3) = (1 2) (1 2 3)

: (2 3) = (1 2 3) (1 2)

: (1 2 3) = (1 2 3)

: (1 3 2) = (1 2) (1 2 3) (1 2)

Unendliche Gruppen können auch begrenzte Erzeugen-Sätze haben. Die zusätzliche Gruppe von ganzen Zahlen hat 1 als ein Erzeugen-Satz. Das Element 2 ist nicht ein Erzeugen-Satz, weil die ungeraden Zahlen vermisst werden werden. Die Zwei-Elemente-Teilmenge {3, 5} ist ein Erzeugen-Satz, seitdem (−5) + 3 + 3 = 1 (tatsächlich, jedes Paar von coprime Zahlen, ist demzufolge der Identität von Bézout).

Siehe auch

• Graph von Cayley
• Das Erzeugen des Satzes (Begriffserklärung) für zusammenhängende Bedeutungen in anderen Strukturen
• Präsentation einer Gruppe

Außenverbindungen

• Mathworld: Gruppengeneratoren