Eine Gleichung ist eine mathematische Behauptung, die die Gleichheit von zwei Ausdrücken behauptet. In der modernen Notation wird das durch das Stellen der Ausdrücke auf beiden Seiten eines Gleichheitszeichens geschrieben (=), zum Beispiel

behauptet, dass x+3 5 gleich ist. = wurde Symbol von Robert Recorde (1510-1558) erfunden, wer gedacht hat, dass nichts gleicher sein konnte als parallele Geraden mit derselben Länge.

Knowns und unknowns

Gleichungen drücken häufig Beziehungen zwischen gegebenen Mengen, dem knowns und den Mengen noch aus, um, der unknowns bestimmt zu werden. Durch die Tagung werden unknowns durch Briefe am Ende des Alphabetes, x, y, z, w, … angezeigt, während knowns durch Briefe am Anfang, a, b, c, d, … angezeigt werden. Der Prozess, den unknowns in Bezug auf den knowns auszudrücken, wird genannt, die Gleichung lösend. In einer Gleichung mit einer unbekannten Single wird ein Wert davon, das unbekannt ist, für den die Gleichung wahr ist, eine Lösung oder Wurzel der Gleichung genannt. In einem Satz gleichzeitige Gleichungen oder Gleichungssystem werden vielfache Gleichungen mit vielfachem unknowns gegeben. Eine Lösung des Systems ist eine Anweisung von Werten zum ganzen unknowns, so dass alle Gleichungen wahr sind.

Typen von Gleichungen

Gleichungen können gemäß den Typen von Operationen und beteiligten Mengen klassifiziert werden. Wichtige Typen schließen ein:

• Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung, die nur algebraische Ausdrücke in den unknowns einschließt. Diese werden weiter durch den Grad klassifiziert.
• Eine geradlinige Gleichung ist eine algebraische Gleichung des Grads ein.
• Eine polynomische Gleichung ist eine Gleichung, in der ein Polynom gleich einem anderen Polynom gesetzt wird.
• Eine transzendentale Gleichung ist eine Gleichung, die eine transzendente Funktion von einer seiner Variablen einschließt.
• Eine funktionelle Gleichung ist eine Gleichung, in der die unknowns Funktionen aber nicht einfache Mengen sind.
• Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die Ableitungen einschließt.
• Eine Integralgleichung ist eine Gleichung, die Integrale einschließt.
• Eine Diophantine Gleichung ist eine Gleichung, wo die unknowns erforderlich sind, ganze Zahlen zu sein.
• Eine quadratische Gleichung

Identität

Ein Gebrauch von Gleichungen ist in der mathematischen Identität, Behauptungen, die wahrer Unabhängiger der Werte irgendwelcher innerhalb ihrer enthaltenen Variablen sind. Zum Beispiel für jeden gegebenen Wert von x ist es das wahr

Jedoch können Gleichungen auch für nur bestimmte Werte der Variablen richtig sein. In diesem Fall können sie gelöst werden, um die Werte zu finden, die die Gleichheit befriedigen. Denken Sie zum Beispiel das folgende.

Die Gleichung ist nur für zwei Werte von x, die Lösungen der Gleichung wahr. In diesem Fall sind die Lösungen und.

Viele Mathematiker bestellen den Begriff Gleichung exklusiv für den zweiten Typ vor, um eine Gleichheit zu bedeuten, die nicht eine Identität ist. Die Unterscheidung zwischen den zwei Konzepten kann fein sein; zum Beispiel,

ist eine Identität, während

ist eine Gleichung mit Lösungen und. Ob eine Behauptung gemeint wird, um eine Identität zu sein, oder eine Gleichung gewöhnlich von seinem Zusammenhang bestimmt werden kann. In einigen Fällen wird eine Unterscheidung zwischen dem Gleichheitszeichen für eine Gleichung und dem Gleichwertigkeitssymbol für eine Identität gemacht.

Briefe vom Anfang des Alphabetes wie a, b, c zeigen... häufig Konstanten im Zusammenhang der Diskussion in der Nähe an, während Briefe vom Ende des Alphabetes, wie... x, y, z, gewöhnlich für die Variablen, eine von Descartes begonnene Tagung vorbestellt werden.

Eigenschaften

Wenn, wie man bekannt, eine Gleichung in der Algebra wahr ist, können die folgenden Operationen verwendet werden, um eine andere wahre Gleichung zu erzeugen:

1. Jede reelle Zahl kann zu beiden Seiten hinzugefügt werden.
2. Jede reelle Zahl kann von beiden Seiten abgezogen werden.
3. Jede reelle Zahl kann zu beiden Seiten multipliziert werden.
4. Jede reelle Nichtnullzahl kann beide Seiten teilen.
5. Einige Funktionen können auf beide Seiten angewandt werden. Vorsicht muss geübt werden, um sicherzustellen, dass die Operation Vermisste oder fremde Lösungen nicht verursacht. Zum Beispiel hat die Gleichung 2 Sätze von Lösungen: (mit jedem x) und (mit jedem y). Die Aufhebung beider Seiten zur Hochzahl 2 (was bedeutet, die Funktion auf beide Seiten der Gleichung anwendend) ändert unsere Gleichung darin, der nicht nur alle vorherigen Lösungen hat sondern auch einen neuen Satz von fremden Lösungen, mit und x einführt, der jede Zahl ist.

Die algebraischen Eigenschaften (1-4) deuten an, dass Gleichheit eine Kongruenz-Beziehung für ein Feld ist; tatsächlich ist es im Wesentlichen das einzige.

Das weithin bekanntste System von Zahlen, das alle diese Operationen erlaubt, ist die reellen Zahlen, der ein Beispiel eines Feldes ist. Jedoch, wenn die Gleichung auf den natürlichen Zahlen zum Beispiel basiert hat, können einige dieser Operationen (wie Abteilung und Subtraktion) nicht als negative Zahlen gültig sein, und nichtganzen Zahlen wird nicht erlaubt. Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel eines integrierten Gebiets, das alle Abteilungen als wieder nicht erlaubt, sind ganze Zahlen erforderlich. Jedoch wird Subtraktion erlaubt, und ist der umgekehrte Maschinenbediener in diesem System.

Wenn eine Funktion, die nicht injective ist, auf beide Seiten einer wahren Gleichung angewandt wird, dann wird die resultierende Gleichung noch wahr sein, aber es kann weniger nützlich sein. Formell hat man eine Implikation, nicht eine Gleichwertigkeit, so kann der Lösungssatz größer werden. Die Funktionen, die in Eigenschaften (1), (2), und (4) einbezogen sind, sind immer injective, wie (3) ist, wenn wir durch die Null nicht multiplizieren. Einige verallgemeinerte Produkte, wie ein Punktprodukt, sind nie injective.

Mehr Information beim Gleichungslösen.

Siehe auch

• Kubische Gleichung
• Differenzialgleichung
• Gleichung von Diophantine
• Gleichung, lösend
• Formel-Redakteur
• Funktionelle Gleichung
• Geschichte der elementaren Algebra
• Unbestimmte Gleichung
• Ungleichheit
• Inequation
• Integralgleichung
• Geradlinige Gleichung
• Liste von Gleichungen
• Quadratische Gleichung
• Gleichung von Quartic
• Gleichung von Quintic
• Parametrische Gleichung
• Polynomische Gleichung
• Wissenschaftliche Gleichungen genannt nach Leuten
• Gleichzeitige Gleichung
• Gleichungstheorie

Außenverbindungen

• Winplot: Allgemeiner Zweck-Verschwörer, der ziehen und 2. und 3D mathematische Gleichungen beleben kann.
• Mathematischer Gleichungsverschwörer: Plant 2. mathematische Gleichungen, schätzt Integrale, und findet Lösungen online.
• Gleichungsverschwörer: Eine Webseite, um pdf oder Nachschrift-Anschläge der Lösung zu erzeugen und herunterzuladen, geht zu Gleichungen und inequations in zwei Variablen (x und y) unter.
• EqWorld — enthält Information über Lösungen vieler verschiedener Klassen von mathematischen Gleichungen.
• EquationSolver: Ein webpage, der einzelne Gleichungen und geradlinige Gleichungssysteme lösen kann.