Im mathematischen Feld der Analyse ist gleichförmige Konvergenz ein Typ der Konvergenz, die stärker ist als pointwise Konvergenz. Eine Folge {f} Funktionen läuft gleichförmig zu einer Begrenzungsfunktion f zusammen, wenn die Geschwindigkeit der Konvergenz von f (x) zu f (x) von x. nicht abhängt

Das Konzept ist wichtig, weil mehrere Eigenschaften der Funktionen f, wie Kontinuität und Riemann integrability, der Grenze f übertragen werden, wenn die Konvergenz gleichförmig ist.

Die gleichförmige Konvergenz zu einer Funktion auf einem gegebenen Zwischenraum kann in Bezug auf die gleichförmige Norm definiert werden

Geschichte

Einige Historiker behaupten, dass Augustin Louis Cauchy 1821 eine falsche Angabe veröffentlicht hat, aber mit einem behaupteten Beweis, dass die pointwise Grenze einer Folge von dauernden Funktionen immer dauernd ist; jedoch bietet Lakatos eine Umwertung der Annäherung von Cauchy an. Niels Henrik Abel 1826 hat behauptete Gegenbeispiele zu dieser Behauptung im Zusammenhang der Reihe von Fourier gefunden, behauptend, dass der Beweis von Cauchy falsch sein musste. Cauchy hat schließlich 1853 mit einer Erläuterung seiner 1821-Formulierung geantwortet.

Die Begriff-Uniform-Konvergenz wurde wahrscheinlich zuerst von Christoph Gudermann in einer 1838-Zeitung auf elliptischen Funktionen verwendet, wo er den Ausdruck "Konvergenz auf eine gleichförmige Weise" verwendet hat, wenn die "Weise der Konvergenz" einer Reihe der Variablen unabhängig ist, und Während er es eine "bemerkenswerte Tatsache" gedacht hat, als eine Reihe auf diese Weise zusammengelaufen ist, hat er keine formelle Definition gegeben, noch das Eigentum in einigen seiner Beweise verwendet.

Der Schüler des späteren Gudermanns Karl Weierstrass, der seinem Kurs über elliptische Funktionen in 1839-1840 beigewohnt hat, hat den Begriff gleichmäßig konvergent ins Leben gerufen , der er in seiner 1841-Zeitung Zur Theorie der Potenzreihen, veröffentlicht 1894 verwendet hat. Unabhängig wurde ein ähnliches Konzept von Philipp Ludwig von Seidel und George Gabriel Stokes verwendet, aber ohne jeden Haupteinfluss auf weitere Entwicklung zu haben. G. H. Hardy vergleicht die drei Definitionen in seinem Papier "Herr George Stokes und das Konzept der gleichförmigen Konvergenz" und Bemerkungen: "Die Entdeckung von Weierstrass war am frühsten, und er allein hat völlig seine weit reichende Wichtigkeit als eine der grundsätzlichen Ideen von der Analyse begriffen."

Unter dem Einfluss von Weierstrass und Bernhard Riemann wurden dieses Konzept und verwandte Fragen am Ende des 19. Jahrhunderts von Hermann Hankel, Paul du Bois-Reymond, Ulisse Dini, Cesare Arzelà und anderen höchst studiert.

Definition

Denken Sie ist ein Satz und ist eine reellwertige Funktion für jede natürliche Zahl. Wir sagen, dass die Folge mit der Grenze gleichförmig konvergent ist, wenn für jeden, dort eine solche natürliche Zahl besteht, dass für alle und alles wir haben, wo das Supremum alle übernommen wird. Klar läuft zu gleichförmig zusammen, wenn, und nur wenn zu 0 neigt.

Wie man

sagt, ist die Folge mit der Grenze lokal gleichförmig konvergent, wenn für jeden in einem metrischen Raum, dort ein solcher besteht, der gleichförmig darauf zusammenläuft.

Zeichen

Bemerken Sie, dass das Austauschen der Ordnung "dort besteht" und "für alle" in der Definition oben auf eine zur pointwise Konvergenz der Folge gleichwertige Behauptung hinausläuft. Dieser Begriff kann wie folgt definiert werden: Die Folge (f) läuft pointwise mit der Grenze wenn und nur wenn zusammen

:for jeder und jeder, dort besteht eine natürliche Zahl N solch, dass für alle man für jede natürliche Zahl hat. Dann läuft pointwise zur Funktion zusammen, die durch wenn definiert ist und. Diese Konvergenz ist nicht gleichförmig: Zum Beispiel dafür, dort besteht nicht wie erforderlich, durch die Definition. Das ist, weil das Lösen dafür gibt. Das hängt sowie davon ab. Bemerken Sie auch, dass es unmöglich ist zu finden, dass ein dafür gebundener passender nicht abhängt, weil für jeden Nichtnullwert dessen, ohne Grenzen wächst, wie zu 1 neigt.

Generalisationen

Man kann das Konzept zu Funktionen S  M aufrichtig erweitern, wo (M, d) ein metrischer Raum, durch das Ersetzen |f (x) &minus ist; f (x) | mit d (f (x), f (x)).

Die allgemeinste Einstellung ist die gleichförmige Konvergenz von Netzen von Funktionen S  X, wo X ein gleichförmiger Raum ist. Wir sagen, dass das Netz (f) gleichförmig mit der Grenze f zusammenläuft: S  X wenn und nur wenn

:for jede Umgebung V in X, dort besteht ein α, solch dass für jeden x in S und jeden α  α: (f (x), f (x)) ist in V.

Der obengenannte erwähnte Lehrsatz, feststellend, dass die gleichförmige Grenze von dauernden Funktionen dauernd ist, bleibt richtig in diesen Einstellungen.

Definition in einer hyperechten Einstellung

Gleichförmige Konvergenz lässt eine vereinfachte Definition in einer hyperechten Einstellung zu. So läuft eine Folge zu f gleichförmig zusammen, wenn für den ganzen x im Gebiet von f* und dem ganzen unendlichen n, ungeheuer in der Nähe davon ist (sieh Mikrokontinuität für eine ähnliche Definition der gleichförmigen Kontinuität).

Beispiele

In Anbetracht eines topologischen Raums X können wir den Raum von begrenzten echten oder Komplex-geschätzten Funktionen mehr als X mit der gleichförmigen Norm-Topologie ausstatten. Dann bedeutet gleichförmige Konvergenz einfach Konvergenz in der gleichförmigen Norm-Topologie.

Die Folge damit läuft pointwise, aber nicht gleichförmig zusammen:

:

In diesem Beispiel kann man leicht sehen, dass pointwise Konvergenz differentiability oder Kontinuität nicht bewahrt. Während jede Funktion der Folge das heißt glatt ist, dass für den ganzen n, die Grenze nicht sogar dauernd ist.

Exponentialfunktion

Wie man

zeigen kann, ist die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion auf jeder begrenzten Teilmenge S davon gleichförmig konvergent, die Weierstrass M Test zu verwenden.

Hier ist die Reihe:

::

Jede begrenzte Teilmenge ist eine Teilmenge von einer Scheibe des Radius R, in den Mittelpunkt gestellt auf den Ursprung im komplizierten Flugzeug. Die Weierstrass M Test verlangt, dass wir finden, dass ein oberer zu den Begriffen der Reihe mit dem Unabhängigen der Position in der Scheibe gebunden hat:

::

Das ist trivial:

::::

Wenn konvergent ist, dann behauptet die M Test, dass die ursprüngliche Reihe gleichförmig konvergent ist.

Der Verhältnis-Test kann hier verwendet werden:

::

was bedeutet, dass die Reihe konvergent ist.

So läuft die ursprüngliche Reihe gleichförmig für alle, und seitdem zusammen, die Reihe ist auch auf S gleichförmig konvergent.

Eigenschaften

• Jede gleichförmig konvergente Folge ist lokal gleichförmig konvergent.
• Jede lokal gleichförmig konvergente Folge ist kompakt konvergent.
• Für lokal kompakte Räume fallen lokale gleichförmige Konvergenz und Kompaktkonvergenz zusammen.
• Eine Folge von dauernden Funktionen auf metrischen Räumen, mit dem Image metrischer Raum, der abgeschlossen ist, ist gleichförmig konvergent, wenn, und nur wenn es gleichförmig Cauchy ist.

Anwendungen

Zur Kontinuität

Wenn ein echter Zwischenraum ist (oder tatsächlich jeder topologische Raum), können wir über die Kontinuität der Funktionen sprechen und. Der folgende ist das wichtigere Ergebnis über die gleichförmige Konvergenz:

: Gleichförmiger Konvergenz-Lehrsatz. Wenn eine Folge von dauernden Funktionen ist, die gleichförmig zur Funktion auf einem Zwischenraum zusammenläuft, dann auf ebenso dauernd ist.

Dieser Lehrsatz wird durch den "Trick" bewiesen, und ist das archetypische Beispiel dieses Tricks: Eine gegebene Ungleichheit zu beweisen (

Dieser Lehrsatz ist wichtig, seitdem pointwise Konvergenz von dauernden Funktionen ist nicht genug, um Kontinuität der Grenze-Funktion zu versichern, weil das Image illustriert.

Genauer stellt dieser Lehrsatz fest, dass die gleichförmige Grenze gleichförmig dauernder Funktionen gleichförmig dauernd ist; für einen lokal kompakten Raum ist Kontinuität zur lokalen gleichförmigen Kontinuität gleichwertig, und so ist die gleichförmige Grenze von dauernden Funktionen dauernd.

Zu differentiability

Wenn ein Zwischenraum ist und alle Funktionen differentiable sind und zu einer Grenze zusammenlaufen, ist es häufig wünschenswert, die Grenze-Funktion durch die Einnahme der Grenze der Ableitungen dessen zu unterscheiden. Das ist jedoch im Allgemeinen nicht möglich: Selbst wenn die Konvergenz gleichförmig ist, braucht die Grenze-Funktion nicht differentiable zu sein, und selbst wenn es differentiable ist, braucht die Ableitung der Grenze-Funktion nicht der Grenze der Ableitungen gleich zu sein. Ziehen Sie zum Beispiel mit der gleichförmigen Grenze 0 in Betracht, aber die Ableitungen nähern sich 0 nicht. Die genaue Behauptung, die diese Situation bedeckt, ist wie folgt:

: Wenn gleichförmig zu zusammenläuft, und wenn differentiable ganz zu sein, und wenn die Ableitungen gleichförmig zu g zusammenlaufen, dann differentiable ist und seine Ableitung g ist.

Zu integrability

Ähnlich will man häufig Integrale und Grenze-Prozesse austauschen. Für den integrierten Riemann kann das getan werden, wenn gleichförmige Konvergenz angenommen wird:

: Wenn eine Folge von Riemann integrable Funktionen ist, die gleichförmig mit der Grenze zusammenlaufen, dann ist Riemann integrable, und sein Integral kann als die Grenze der Integrale geschätzt werden.

Viel stärkere Lehrsätze in dieser Beziehung, die nicht viel mehr verlangen als pointwise Konvergenz, können erhalten werden, wenn man den Riemann integriert verlässt und Lebesgue integriert stattdessen verwendet.

: Wenn ein Kompaktzwischenraum (oder im Allgemeinen ein topologischer Kompaktraum) ist, und eine Eintönigkeitserhöhungsfolge (Bedeutung für den ganzen n und x) dauernder Funktionen mit einer Pointwise-Grenze ist, die auch dauernd ist, dann ist die Konvergenz (der Lehrsatz von Dini) notwendigerweise gleichförmig. Gleichförmige Konvergenz wird auch versichert, wenn ein Kompaktzwischenraum ist und eine equicontinuous Folge ist, die pointwise zusammenläuft.

Fast gleichförmige Konvergenz

Wenn das Gebiet der Funktionen ein Maß-Raum dann ist, kann der zusammenhängende Begriff fast der gleichförmigen Konvergenz definiert werden. Wir sagen, dass eine Folge von Funktionen fast gleichförmig auf E zusammenläuft, wenn es eine messbare Teilmenge F E mit dem willkürlich kleinen solchem Maß gibt, dass die Folge gleichförmig auf der Ergänzung E \F zusammenläuft.

Bemerken Sie, dass fast die gleichförmige Konvergenz einer Folge nicht bedeutet, dass die Folge gleichförmig fast überall zusammenläuft, wie aus dem Namen abgeleitet werden könnte.

Der Lehrsatz von Egorov versichert, dass auf einem begrenzten Maß-Raum eine Folge von Funktionen, die fast überall auch zusammenläuft, fast gleichförmig auf demselben Satz zusammenläuft.

Fast gleichförmige Konvergenz bezieht fast überall Konvergenz und Konvergenz im Maß ein.

Siehe auch

• Weisen der Konvergenz (kommentierter Index)

Referenzen

• Konrad Knopp; Schwarzer und Sohn, London, 1954, nachgedruckt durch Veröffentlichungen von Dover, internationale Standardbuchnummer 0-486-66165-2.
• G. H. Hardy; Verhandlungen des Cambridges Philosophische Gesellschaft, 19, Seiten 148-156 (1918)
• Bourbaki;; internationale Standardbuchnummer 0 387 19374 X
• Walter Rudin, 3. Hrsg., McGraw-Hügel, 1976.
• Gerald Folland, Echte Analyse: Moderne Techniken und Ihre Anwendungen, die Zweite Ausgabe, John Wiley & Sons, Inc., 1999, internationale Standardbuchnummer 0-471-31716-0.

Links

• Grafische Beispiele der gleichförmigen Konvergenz der Reihe von Fourier von der Universität Colorados