Im Euklidischen Raum ist ein Gegenstand konvex, wenn für jedes Paar von Punkten innerhalb des Gegenstands jeder Punkt auf dem Segment der Gerade, das sich ihnen anschließt, auch innerhalb des Gegenstands ist. Zum Beispiel ist ein fester Würfel konvex, aber irgendetwas, was hohl ist oder eine Beule darin, zum Beispiel, eine halbmondförmige Gestalt hat, ist nicht konvex.

Der Begriff kann zu anderen Räumen, wie beschrieben, unten verallgemeinert werden.

In Vektorräumen

Lassen Sie S ein Vektorraum über die reellen Zahlen, oder, mehr allgemein, ein bestelltes Feld sein. Das schließt Euklidische Räume ein. Wie man sagt, ist ein Satz C in S wenn, für den ganzen x und y in C und den ganzen t im Zwischenraum [0,1], der Punkt konvex

: (1 − t) x + t y

ist in C. Mit anderen Worten ist jeder Punkt auf dem Liniensegment, das x und y in Verbindung steht, in C. Das deutet an, dass ein konvexer Satz in einem echten oder komplizierten topologischen Vektorraum, so verbundener Pfad-verbunden ist.

Ein Satz C wird absolut konvex genannt, wenn es konvex und erwogen ist.

Die konvexen Teilmengen von R (der Satz von reellen Zahlen) sind einfach die Zwischenräume von R.

Einige Beispiele von konvexen Teilmengen des Euklidischen Flugzeugs sind feste regelmäßige Vielecke, feste Dreiecke und Kreuzungen von festen Dreiecken.

Einige Beispiele von konvexen Teilmengen eines Euklidischen 3-dimensionalen Raums sind die Festkörper von Archimedean und die Platonischen Festkörper. Die Kepler-Poinsot Polyeder sind Beispiele von nichtkonvexen Sätzen.

Eigenschaften

Wenn ein konvexer Satz, für irgendwelchen in, und irgendwelche nichtnegativen solche Zahlen dass, dann der Vektor ist

ist darin. Ein Vektor dieses Typs ist als eine konvexe Kombination dessen bekannt.

Kreuzungen und Vereinigungen

Die Sammlung von konvexen Teilmengen eines Vektorraums hat die folgenden Eigenschaften:

1. Der leere Satz und der ganze Vektorraum sind konvex.
2. Die Kreuzung jeder Sammlung von konvexen Sätzen ist konvex.
3. Die Vereinigung einer nichtabnehmenden Folge von konvexen Teilmengen ist ein konvexer Satz.

Für das vorhergehende Eigentum von Vereinigungen von nichtabnehmenden Folgen von konvexen Sätzen war die Beschränkung zu verschachtelten Sätzen wichtig: Die Vereinigung von zwei konvexen Sätzen braucht nicht konvex zu sein.

Konvexe Rümpfe

Jede Teilmenge des Vektorraums wird innerhalb eines kleinsten konvexen Satzes enthalten (hat den konvexen Rumpf von A genannt), nämlich die Kreuzung aller konvexen Sätze, die A enthalten.

Der Maschinenbediener des konvexen Rumpfs Conv hat die charakteristischen Eigenschaften eines Rumpf-Maschinenbedieners:

:

Die Operation des konvexen Rumpfs ist für den Satz von konvexen Sätzen erforderlich, um ein Gitter zu bilden, in dem die "Verbindungslinie"-Operation der konvexe Rumpf der Vereinigung von zwei konvexen Sätzen ist

: Conv (S) Conv (T) = Conv (S  T) = Conv (Conv (S)  Conv (T)).

Die Kreuzung jeder Sammlung von konvexen Sätzen ist selbst, so die konvexen Teilmengen (echt oder kompliziert) Vektorraum-Form ein ganzes Gitter konvex.

Hinzufügung von Minkowski

• In einem echten Vektorraum, der Summe von Minkowski von zwei (nichtleeren) Sätzen S und S wird definiert, um der Satz S + S gebildet durch die Hinzufügung von Vektoren zu sein, die von den Summand-Sätzen mit dem Element klug

sind

: S + S = {x + x: x  S und x  S\.

Mehr allgemein ist die Summe von Minkowski einer begrenzten Familie von (nichtleeren) Sätzen S der Satz, der durch die mit dem Element kluge Hinzufügung von Vektoren gebildet ist

:  S = { x: x  S\.

Für die Hinzufügung von Minkowski ist die Null {0} untergegangen, nur den Nullvektoren 0 enthaltend, hat spezielle Wichtigkeit: Für jede nichtleere Teilmenge S eines Vektorraums

: S + {0} = S;

in der algebraischen Fachsprache ist der Nullvektor 0 das Identitätselement der Hinzufügung von Minkowski (auf der Sammlung von nichtleeren Sätzen).

Konvexe Rümpfe von Summen von Minkowski

Hinzufügung von Minkowski benimmt sich gut in Bezug auf die Operation, konvexe Rümpfe, wie gezeigt, durch den folgenden Vorschlag zu nehmen:

• Für alle Teilmengen S und S eines echten Vektorraums ist der konvexe Rumpf ihrer Summe von Minkowski die Summe von Minkowski ihrer konvexen Rümpfe

: Conv (S + S) = Conv (S) + Conv (S).

Dieses Ergebnis hält mehr allgemein für jede begrenzte Sammlung von nichtleeren Sätzen

: Conv ( S) =  Conv (S).

In der mathematischen Fachsprache tauschen die Operationen der Summierung von Minkowski und konvexe Rümpfe zu bilden, Operationen ein.

Geschlossene konvexe Sätze

Geschlossene konvexe Sätze können als die Kreuzungen von geschlossenen Halbräumen charakterisiert werden (Sätze des Punkts im Raum, die auf und zu einer Seite eines Hyperflugzeugs liegen). Nach dem, was gerade gesagt worden ist, ist es klar, dass solche Kreuzungen konvex sind, und sie auch Sätze geschlossen werden. Um das gegenteilige, d. h. zu beweisen, kann jeder konvexe Satz als solche Kreuzung vertreten werden, man braucht den Unterstützen-Hyperflugzeug-Lehrsatz in der Form, die für einen gegebenen konvexen Satz C und Punkt P außerhalb dessen geschlossen hat, gibt es einen geschlossenen Halbraum H, der C und nicht P enthält. Der Unterstützen-Hyperflugzeug-Lehrsatz ist ein spezieller Fall des Hahn-Banach Lehrsatzes der Funktionsanalyse.

Die Summe von Minkowski von zwei konvexen Kompaktsätzen wird geschlossen, wie die Summe eines konvexen Kompaktsatzes und eines geschlossenen konvexen Satzes ist.

Generalisationen und Erweiterungen für die Konvexität

Der Begriff der Konvexität im Euklidischen Raum kann durch das Ändern der Definition in einigen oder anderen Aspekten verallgemeinert werden. Die gemeinsame Bezeichnung "hat verallgemeinert Konvexität" wird verwendet, weil die resultierenden Gegenstände bestimmte Eigenschaften von konvexen Sätzen behalten.

Sternkonvexe Sätze

Lassen Sie C ein Satz in einem echten oder komplizierten Vektorraum sein. C ist konvexer Stern, wenn dort in solchem C besteht, dass das Liniensegment von zu jedem Punkt y in C in C enthalten wird. Folglich ist ein nichtleerer konvexer Satz immer sternkonvex, aber ein sternkonvexer Satz ist nicht immer konvex.

Orthogonale Konvexität

Ein Beispiel der verallgemeinerten Konvexität ist orthogonale Konvexität.

Ein Satz S im Euklidischen Raum wird orthogonal konvex oder ortho-konvex genannt, wenn eine Segment-Parallele zu einigen der Koordinatenäxte, die zwei Punkte von S verbinden, völlig innerhalb von S liegt. Es ist leicht zu beweisen, dass eine Kreuzung jeder Sammlung von Orthoconvex-Sätzen orthoconvex ist. Einige andere Eigenschaften von konvexen Sätzen sind ebenso gültig.

Nicht Euklidische Geometrie

Die Definition eines konvexen Satzes und eines konvexen Rumpfs streckt sich natürlich bis zu die Geometrie aus, die durch das Definieren eines geodätisch konvexen Satzes nicht Euklidisch ist, um diejenige zu sein, die den geodesics enthält, der sich irgendwelchen zwei Punkten beim Satz anschließt.

Ordnungstopologie

Konvexität kann für einen mit der Ordnungstopologie ausgestatteten Raum mit dem Gesamtbezug erweitert werden

Lassen. Der Subraum ist ein konvexer Satz wenn für jedes Paar von solchen Punkten dass

Konvexitätsräume

Der Begriff der Konvexität kann zu anderen Gegenständen verallgemeinert werden, wenn bestimmte Eigenschaften der Konvexität als Axiome ausgewählt werden.

In Anbetracht eines Satzes X eine Konvexität sind mehr als X eine Sammlung von Teilmengen von X Zufriedenheit der folgenden Axiome:

1. Der leere Satz und X ist in
2. Die Kreuzung jeder Sammlung davon ist darin.
3. Die Vereinigung einer Kette (in Bezug auf die Einschließungsbeziehung) Elemente dessen ist darin.

Die Elemente dessen werden konvexe Sätze und das Paar (X) genannt, wird einen Konvexitätsraum genannt. Für die gewöhnliche Konvexität halten die ersten zwei Axiome, und der dritte ist trivial.

Für eine alternative Definition der abstrakten Konvexität, die zur getrennten Geometrie mehr passend ist, sieh die konvexe mit antimatroids vereinigte Geometrie.

Siehe auch

• Konvexe Funktion
• Holomorphically konvexer Rumpf
• Pseudokonvexität
• Konvexer metrischer Raum
• Konkaver Satz
• Der Lehrsatz von Helly
• Der Lehrsatz von Carathéodory (konvexer Rumpf)
• Theorie von Choquet
• Shapley-Folkman Lemma

Außenverbindungen

• Vorträge auf Konvexen Sätzen, bemerkt durch Niels Lauritzen, an der Aarhus Universität, März 2010.