In der mathematischen Logik sind die Axiome von Peano, auch bekannt als die Dedekind-Peano Axiome oder die Postulate von Peano, eine Reihe von Axiomen für die vom italienischen Mathematiker des 19. Jahrhunderts Giuseppe Peano präsentierten natürlichen Zahlen. Diese Axiome sind fast unverändert in mehreren metamathematical Untersuchungen, einschließlich der Forschung in grundsätzliche Fragen der Konsistenz und Vollständigkeit der Zahlentheorie verwendet worden.

Das Bedürfnis nach dem Formalismus in der Arithmetik wurde bis zur Arbeit von Hermann Grassmann nicht gut geschätzt, der in den 1860er Jahren gezeigt hat, dass viele Tatsachen in der Arithmetik aus grundlegenderen Tatsachen über die Nachfolger-Operation und Induktion abgeleitet werden konnten. 1881 hat Charles Sanders Peirce einen axiomatization der Arithmetik der natürlichen Zahl zur Verfügung gestellt. 1888 hat Richard Dedekind eine Sammlung von Axiomen über die Zahlen vorgeschlagen, und 1889 hat Peano eine genauer formulierte Version von ihnen als eine Sammlung von Axiomen in seinem Buch, Den Grundsätzen der Arithmetik veröffentlicht, die durch eine neue Methode präsentiert ist.

Die Peano Axiome enthalten drei Typen von Behauptungen. Das erste Axiom behauptet die Existenz von mindestens einem Mitglied des Satzes "Zahl". Die folgenden vier sind allgemeine Behauptungen über die Gleichheit; in modernen Behandlungen werden diese häufig als Axiome der "zu Grunde liegenden Logik" betrachtet. Die folgenden drei Axiome sind Behauptungen der ersten Ordnung über natürliche Zahlen, die die grundsätzlichen Eigenschaften der Nachfolger-Operation ausdrücken. Das neunte, endgültige Axiom ist eine zweite Ordnungsbehauptung des Grundsatzes der mathematischen Induktion über die natürlichen Zahlen. Ein schwächeres System der ersten Ordnung genannt die Arithmetik von Peano wird durch das ausführliche Hinzufügen der Hinzufügungs- und Multiplikationsoperationssymbole und das Ersetzen des Induktionsaxioms der zweiten Ordnung mit einem Axiom-Diagramm der ersten Ordnung erhalten.

Die Axiome

Als Peano seine Axiome formuliert hat, war die Sprache der mathematischen Logik in seinem Säuglingsalter. Das System der logischen Notation, die er geschaffen hat, um die Axiome zu präsentieren, hat sich nicht erwiesen, populär zu sein, obwohl es die Entstehung der modernen Notation für die Satz-Mitgliedschaft war (, der vom ε von Peano ist) und Implikation (, der von Peano ist, hat 'C' umgekehrt.) hat Peano eine klare Unterscheidung zwischen mathematischem und logischen Symbolen aufrechterhalten, der in der Mathematik noch nicht üblich war; solch eine Trennung war zuerst in Begriffsschrift von Gottlob Frege, veröffentlicht 1879 eingeführt worden. Peano hat die Arbeit von Frege nicht gewusst und hat unabhängig seinen logischen Apparat erfrischt, der auf der Arbeit von Boole und Schröder gestützt ist.

Die Peano Axiome definieren die arithmetischen Eigenschaften von natürlichen Zahlen, gewöhnlich vertreten als ein Satz N, oder Die Unterschrift (nichtlogische Symbole einer formellen Sprache) für die Axiome schließt ein unveränderliches Symbol 0 und ein unäres Funktionssymbol S. ein

Wie man

annimmt, ist unveränderlicher 0 eine natürliche Zahl:

1. 0 ist eine natürliche Zahl.

Die folgenden vier Axiome beschreiben die Gleichheitsbeziehung.

1. Für alle natürlichen Zahlen x und y, wenn x = y, dann y = x. D. h. Gleichheit ist symmetrisch.
2. Für alle natürlichen Zahlen x, y und z, wenn x = y und y = z, dann x = z. D. h. Gleichheit ist transitiv.
3. Für den ganzen a und b, wenn einer natürlichen Zahl und = b zu sein, dann ist b auch eine natürliche Zahl. D. h. die natürlichen Zahlen werden unter der Gleichheit geschlossen.

Die restlichen Axiome definieren die arithmetischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen. Wie man annimmt, werden die naturals unter einer einzeln geschätzten "Nachfolger"-Funktion S. geschlossen

Die ursprüngliche Formulierung von Peano der Axiome hat 1 statt 0 als die "erste" natürliche Zahl verwendet. Diese Wahl ist willkürlich, weil Axiom 1 unveränderlichen 0 mit keinen zusätzlichen Eigenschaften dotiert. Jedoch, weil 0 die zusätzliche Identität in der Arithmetik, den modernsten Formulierungen des Axiom-Anfangs von Peano von 0 ist. Axiome 1 und 6 definieren eine unäre Darstellung der natürlichen Zahlen: Die Nummer 1 kann als S (0), 2 als S (S (0)) definiert werden (der auch S (1) ist), und, im Allgemeinen, jede natürliche Zahl n als S (0). Die folgenden zwei Axiome definieren die Eigenschaften dieser Darstellung.

1. Für alle natürlichen Zahlen M und n, wenn S (m) = S (n), dann M = n. D. h. S ist eine Einspritzung.

Axiome 1, 6, 7 und 8 deuten an, dass der Satz von natürlichen Zahlen die verschiedenen Elemente 0, S (0), S (S (0)) und so weiter enthält; d. h. es ist informell bekannt, dass {0, S (0), S (S (0)), …}  N, so dass jedes "gewollte" Element in N. ist (Ist es auch bekannt, dass der Satz von natürlichen Zahlen unendlich ist, weil es eine unendliche Teilmenge enthält.), Um zu zeigen, dass N = {0, S (0), S (S (0)), …}, es dass N  {0, S (0), S (S (0)), …} gezeigt werden muss; d. h. es muss gezeigt werden, dass jede natürliche Zahl in {0, S (0), S (S (0)), …} eingeschlossen wird, so dass der Satz von natürlichen Zahlen keine "unerwünschten" Elemente (zum Beispiel die Nummer 1.7) enthält. Um zu tun, verlangt das jedoch ein zusätzliches Axiom, das manchmal das Axiom der Induktion genannt wird. Dieses Axiom stellt eine Methode zur Verfügung, um über den Satz aller natürlichen Zahlen vernünftig zu urteilen.

Wenn K ein solcher Satz dass ist:

• 0 ist in K und
• für jede natürliche Zahl n, wenn n in K ist, dann ist S (n) in K,

dann enthält K jede natürliche Zahl.

</li>

</ol>

Das Induktionsaxiom wird manchmal in der folgenden Form festgesetzt:

• φ (0), ist und wahr
• für jede natürliche Zahl n, wenn φ (n) wahr ist, dann ist φ (S (n)), wahr

dann ist φ (n) für jede natürliche Zahl n wahr.

</li></ol>

In der ursprünglichen Formulierung von Peano ist das Induktionsaxiom ein Axiom der zweiten Ordnung. Es ist jetzt üblich, diesen Grundsatz der zweiten Ordnung durch ein schwächeres Induktionsschema der ersten Ordnung zu ersetzen. Es gibt wichtige Unterschiede zwischen den Formulierungen der zweiten Ordnung und ersten Ordnung, wie besprochen, in den Abteilungsmodellen unten. Ohne das Axiom der Induktion geben die restlichen Axiome von Peano eine Theorie eines injective, aber nicht surjective unäre Funktion, die ohne Logik der zweiten Ordnung ausgedrückt werden kann.

Arithmetik

Die Peano Axiome können mit den Operationen der Hinzufügung und Multiplikation und der üblichen ganzen (geradlinigen) Einrichtung auf N vermehrt werden. Die jeweiligen Funktionen und Beziehungen werden in der Logik der zweiten Ordnung gebaut und werden gezeigt, das einzigartige Verwenden der Axiome von Peano zu sein.

Hinzufügung

Hinzufügung ist die Funktion +: N × N  N (geschrieben in der üblichen klammerlosen Darstellung, Elemente von N zu anderen Elementen von N kartografisch darstellend), definiert rekursiv als:

:

+ 0 &= a, \\

+ S (b) &= S (+ b).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Zum Beispiel,

:a + 1 = + S (0) = S (+ 0) = S (a).

Die Struktur (N, +) ist eine Ersatzhalbgruppe mit dem Identitätselement 0. (N, +) ist auch ein cancellative Magma, und so embeddable in einer Gruppe. Die kleinste Gruppe, die N einbettet, ist die ganzen Zahlen.

Multiplikation

Gegebene Hinzufügung, Multiplikation ist die Funktion ·: N × N  N definiert rekursiv als:

:

ein \cdot 0 &= 0, \\

ein \cdot S (b) &= + (ein \cdot b).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Es ist leicht, dass zu sehen, b gleich 0 Erträgen die multiplicative Identität untergehend:

:a · 1 = a · S (0) = + (a · 0) = + 0 = ein

Außerdem verteilt Multiplikation über die Hinzufügung:

:a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

So, (N, +, 0, ·, 1) ist ein Ersatzhalbring.

Ungleichheit

Die übliche Gesamtbezug-Beziehung : N × kann N wie folgt definiert werden, das Annehmen 0 ist eine natürliche Zahl:

:For der ganze a, b  N, ein  b wenn, und nur wenn dort ein c  N solch dass + c = b besteht.

Diese Beziehung ist unter der Hinzufügung und Multiplikation stabil: für, wenn ein  b, dann:

• + c  b + c, und
• a · c  b · c.

So, die Struktur (N, +, · 1, 0, ) ist ein bestellter Halbring; weil es keine natürliche Zahl zwischen 0 und 1 gibt, ist es ein getrennter bestellter Halbring. Das Axiom der Induktion wird manchmal in der folgenden starken Form festgesetzt, von der -Ordnung Gebrauch zu machen:

:For jedes Prädikat φ, wenn

:* φ (0), ist und wahr

:* für jeden n, k  N, wenn k  n φ einbezieht, ist (k) wahr, dann ist φ (S (n)), wahr

:then für jeden n  N, φ (n) ist wahr.

Diese Form des Induktionsaxioms ist eine einfache Folge der Standardformulierung, aber wird häufig besser angepasst, um über die -Ordnung vernünftig zu urteilen. Zum Beispiel, um zu zeigen, dass die naturals gut bestellt werden — hat jede nichtleere Teilmenge von N kleinstes Element — man kann wie folgt vernünftig urteilen. Lassen Sie einen nichtleeren X  N gegeben werden und nehmen Sie X an hat nicht kleinstes Element.

• Weil 0 kleinstes Element von N ist, muss es dieser 0  X sein.
• Für jeden n  N, denken Sie für jeden k  n, k  X. Dann S (n)  X, für sonst es würde kleinstes Element X sein.

Thus, durch den starken Induktionsgrundsatz, für jeden n  N, n  X. Thus, X  N = , der X widerspricht, eine nichtleere Teilmenge von N. Thus X seiend, hat kleinstes Element.

Modelle

Ein Modell der Axiome von Peano ist ein dreifacher (N, 0, S), wo N ein unendlicher Satz, 0  N und S: N  befriedigt N die Axiome oben. Dedekind hat sich in seinem 1888-Buch erwiesen, Was Zahlen ist, und was sie sollte tun , dass irgendwelche zwei Modelle der Axiome von Peano (einschließlich des Induktionsaxioms der zweiten Ordnung) isomorph sind. Insbesondere in Anbetracht zwei Modelle (N, 0, S) und (N, 0, S) der Axiome von Peano, gibt es einen einzigartigen Homomorphismus f: N  N, befriedigend

:

f (0_A) &= 0_B \\

f (S_A (n)) &= S_B (f (n))

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und es ist eine Bijektion. Die zweite Ordnung Axiome von Peano ist so kategorisch; das ist nicht der Fall mit jeder neuen Darlegung der ersten Ordnung der Axiome von Peano jedoch.

Theorie der ersten Ordnung der Arithmetik

Theorien der ersten Ordnung sind häufig besser als die zweiten Ordnungstheorien für das Modell oder den Beweis theoretische Analyse. Das ganze Axiom von Peano außer dem neunten Axiom (das Induktionsaxiom) ist Behauptungen in der Logik der ersten Ordnung. Die arithmetischen Operationen der Hinzufügung und Multiplikation und der Ordnungsbeziehung können auch mit Axiomen der ersten Ordnung definiert werden. Das Axiom der zweiten Ordnung der Induktion kann in ein schwächeres Induktionsdiagramm der ersten Ordnung umgestaltet werden.

Erste Ordnung axiomatizations der Arithmetik von Peano hat eine wichtige Beschränkung jedoch. In der Logik der zweiten Ordnung ist es möglich, die Hinzufügungs- und Multiplikationsoperationen von der Nachfolger-Operation zu definieren, aber das kann in der einschränkenderen Einstellung der Logik der ersten Ordnung nicht getan werden. Deshalb werden die Hinzufügungs- und Multiplikationsoperationen in die Unterschrift der Arithmetik von Peano direkt eingeschlossen, und Axiome werden eingeschlossen, die die drei Operationen mit einander verbinden.

Die folgende Liste von Axiomen (zusammen mit den üblichen Axiomen der Gleichheit) ist für diesen Zweck genügend:

Zusätzlich zu dieser Liste von numerischen Axiomen enthält Arithmetik von Peano das Induktionsdiagramm, das aus einem zählbar unendlichen Satz von Axiomen besteht. Für jede Formel φ (x, y..., y) auf der Sprache der Arithmetik von Peano, ist das Induktionsaxiom der ersten Ordnung für φ der Satz

:

wo eine Abkürzung für y..., y ist. Das Induktionsdiagramm der ersten Ordnung schließt jedes Beispiel des Induktionsaxioms der ersten Ordnung ein, d. h. es schließt das Induktionsaxiom für jede Formel φ ein.

Dieses Diagramm vermeidet Quantifizierung über Sätze von natürlichen Zahlen, die in der Logik der ersten Ordnung unmöglich ist. Zum Beispiel ist es in der Logik der ersten Ordnung nicht möglich zu sagen, dass jeder Satz von natürlichen Zahlen, die 0 und geschlossen unter dem Nachfolger enthalten, der komplette Satz von natürlichen Zahlen ist. Was ausgedrückt werden kann, ist, dass jeder definierbare Satz von natürlichen Zahlen dieses Eigentum hat. Weil es nicht möglich ist, über definierbare Teilmengen ausführlich mit einem einzelnen Axiom zu messen, schließt das Induktionsdiagramm ein Beispiel des Induktionsaxioms für jede Definition einer Teilmenge des naturals ein.

Gleichwertiger axiomatizations

Es gibt viele verschieden, aber gleichwertig, axiomatizations von der Arithmetik von Peano. Während einige axiomatizations, wie gerade beschriebener derjenige, eine Unterschrift verwenden, die nur Symbole für 0 und der Nachfolger, die Hinzufügung und die Multiplikationsoperationen hat, verwenden andere axiomatizations die Sprache von bestellten Halbringen einschließlich eines zusätzlichen Ordnungsbeziehungssymbols. Ein solcher axiomatization beginnt mit den folgenden Axiomen, die einen getrennten bestellten Halbring beschreiben.

1. . d. h. Hinzufügung ist assoziativ.
2. . d. h. Hinzufügung ist auswechselbar.
3. . d. h. Multiplikation ist assoziativ.
4. . d. h. Multiplikation ist auswechselbar.
5. . d. h., das verteilende Gesetz.
6. . d. h. Null ist das Identitätselement für die Hinzufügung
7. . d. h. man ist das Identitätselement für die Multiplikation.
8. .

. . . . .

1. ..

Die durch diese Axiome definierte Theorie ist als PAPA bekannt; PAPA wird erhalten, indem er das Induktionsdiagramm der ersten Ordnung hinzufügt.

Ein wichtiges Eigentum des PAPAS besteht darin, dass jede Struktur M Zufriedenheit dieser Theorie ein anfängliches Segment (bestellt durch ) isomorph zu N hat. Elemente der M \N sind als Sonderelemente bekannt.

Sondermodelle

Obwohl die üblichen natürlichen Zahlen die Axiome des PAPAS befriedigen, gibt es andere Sondermodelle ebenso; der Kompaktheitslehrsatz deutet an, dass die Existenz von Sonderelementen in der Logik der ersten Ordnung nicht ausgeschlossen werden kann. Der nach oben gerichtete Löwenheim-Skolem Lehrsatz zeigt, dass es Sondermodelle des PAPAS des ganzen unendlichen cardinalities gibt. Das ist nicht der Fall für das Original (zweite Ordnung) Axiome von Peano, die nur ein Modell bis zum Isomorphismus haben. Das illustriert eine Weise, wie der System-PAPA der ersten Ordnung schwächer ist als die zweite Ordnung Axiome von Peano.

Wenn interpretiert, als ein Beweis innerhalb einer Mengenlehre der ersten Ordnung, wie ZFC, zeigt der categoricity Beweis von Dedekind für den PAPA, dass jedes Modell der Mengenlehre ein einzigartiges Modell der Axiome von Peano bis zum Isomorphismus hat, der als ein anfängliches Segment aller anderen Modelle des innerhalb dieses Modells der Mengenlehre enthaltenen PAPAS einbettet. Im Standardmodell der Mengenlehre ist dieses kleinste Modell des PAPAS das Standardmodell des PAPAS; jedoch, in einem Sondermodell der Mengenlehre, kann es ein Sondermodell des PAPAS sein. Diese Situation kann mit keiner Formalisierung der ersten Ordnung der Mengenlehre vermieden werden.

Es ist natürlich zu fragen, ob ein zählbares Sondermodell ausführlich gebaut werden kann. Der Lehrsatz von Tennenbaum, bewiesen 1959, zeigt, dass es kein zählbares Sondermodell des PAPAS gibt, in dem entweder die Hinzufügungs- oder Multiplikationsoperation berechenbar ist. Dieses Ergebnis zeigt, dass es schwierig ist, im Beschreiben der Hinzufügungs- und Multiplikationsoperationen eines zählbaren Sondermodells des PAPAS völlig ausführlich zu sein. Jedoch gibt es nur einen möglichen Ordnungstyp eines zählbaren Sondermodells. ω lassend, der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen, ζ sein, der Ordnungstyp der ganzen Zahlen und η sein, der Ordnungstyp des rationals sein, ist der Ordnungstyp jedes zählbaren Sondermodells des PAPAS ω + ζ\· η, der als eine Kopie der natürlichen Zahlen vergegenwärtigt werden kann, die von einer dichten geradlinigen Einrichtung von Kopien der ganzen Zahlen gefolgt sind.

Mit dem Satz theoretische Modelle

Die Peano Axiome können aus Satz aus theoretischen Aufbauten der natürlichen Zahlen und Axiomen der Mengenlehre wie der ZF abgeleitet werden. Der Standardaufbau des naturals, wegen John von Neumanns, fängt aus einer Definition 0 als der leere Satz, , und ein Maschinenbediener s auf Sätzen definiert als an:

:s (a) = ein .

Der Satz von natürlichen Zahlen N wird als die Kreuzung aller Sätze definiert, die unter s geschlossen sind, die den leeren Satz enthalten. Jede natürliche Zahl ist (als ein Satz) zum Satz von natürlichen Zahlen weniger gleich als es:

:

0 &= \emptyset \\

1 &= s (0) = s (\emptyset) = \emptyset \cup \{\emptyset \} = \{\emptyset \} = \{0 \} \\

2 &= s (1) = s (\{0 \}) = \{0 \} \cup \{\{0 \} \} = \{0, \{0 \} \} = \{0, 1 \} \\

3 &=... = \{0, 1, 2 \}\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und so weiter. Der Satz N zusammen mit 0 und der Nachfolger fungiert s: N  befriedigt N die Axiome von Peano.

Arithmetik von Peano ist equiconsistent mit mehreren schwachen Systemen der Mengenlehre. Ein solches System ist ZFC mit dem Axiom der durch seine Ablehnung ersetzten Unendlichkeit. Ein anderes solches System besteht aus der allgemeinen Mengenlehre (extensionality, Existenz des leeren Satzes und das Axiom von adjunction), vermehrt durch ein Axiom-Diagramm feststellend, dass ein Eigentum, das für den leeren Satz hält und eines adjunction hält, wann auch immer es des Zusatzes hält, für alle Sätze halten muss.

Interpretation in der Kategorie-Theorie

Die Peano Axiome können auch mit der Kategorie-Theorie verstanden werden. Lassen Sie C eine Kategorie mit dem anfänglichen Gegenstand 1 sein, und die Kategorie von spitzen unären Systemen, die Vereinigten Staaten (C) wie folgt zu definieren:

• Die Gegenstände der Vereinigten Staaten (C) sind verdreifacht sich (X, 0, S), wo X ein Gegenstand von C, und 0 ist: 1  X und S: X  X sind C-morphisms.
• Ein morphism φ: (X, 0, S)  (Y, 0, S) ist C-morphism φ: X  Y mit φ 0 = 0 und φ S = S φ.

Dann, wie man sagt, befriedigt C die Dedekind-Peano Axiome, wenn die Vereinigten Staaten (C) einen anfänglichen Gegenstand haben; dieser anfängliche Gegenstand ist als ein Gegenstand der natürlichen Zahl in C bekannt. Wenn (N, 0, S) dieser anfängliche Gegenstand ist, und (X, 0, S) ist jeder andere Gegenstand, dann die einzigartige Karte u: (N, 0, S)  (X, 0, S) ist dass solch

:

u 0 &= 0_X, \\

u (S x) &= S_X (u x).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das ist genau die rekursive Definition 0 und S.

Konsistenz

Als die Axiome von Peano zuerst, Bertrand Russell vorgeschlagen wurden und andere zugegeben haben, dass diese Axiome implizit definiert haben, was wir durch eine "natürliche Zahl" vorhaben. Henri Poincaré war vorsichtiger, sagend, dass sie nur natürliche Zahlen definiert haben, wenn sie entsprochen haben; wenn es einen Beweis gibt, der von gerade diesen Axiomen anfängt und einen Widerspruch solcher als 0 = 1 ableitet, dann sind die Axiome inkonsequent, und definieren nichts. 1900 hat David Hilbert das Problem aufgeworfen, ihre Konsistenz mit nur finitistic Methoden als das zweite von seinen dreiundzwanzig Problemen zu beweisen. 1931 hat Kurt Gödel seinen zweiten Unvollständigkeitslehrsatz bewiesen, der zeigt, dass solch ein Konsistenz-Beweis innerhalb der Arithmetik von Peano selbst nicht formalisiert werden kann.

Obwohl es weit gefordert wird, dass der Lehrsatz von Gödel die Möglichkeit eines finitistic Konsistenz-Beweises für die Arithmetik von Peano ausschließt, hängt das genau ab, was man durch einen finitistic Beweis vorhat. Gödel selbst hat auf die Möglichkeit hingewiesen, einen finitistic Konsistenz-Beweis von Peano arithmetische oder stärkere Systeme zu geben, indem er finitistic Methoden verwendet hat, die nicht formalizable in der Arithmetik von Peano sind, und 1958 Gödel eine Methode veröffentlicht hat, für die Konsistenz der Arithmetik-Verwenden-Typ-Theorie zu beweisen. 1936 hat Gerhard Gentzen einen Beweis der Konsistenz der Axiome von Peano gegeben, das Verwenden transfiniter Induktion bis zu einer Ordnungszahl hat ε genannt. Gentzen hat erklärt:" Das Ziel der vorliegenden Studie ist, die Konsistenz der elementaren Zahlentheorie zu beweisen oder eher die Frage der Konsistenz zu bestimmten grundsätzlichen Grundsätzen zu reduzieren". Der Beweis von Gentzen ist wohl finitistic, da der transfinite Ordnungs-ε in Bezug auf begrenzte Gegenstände verschlüsselt werden kann (zum Beispiel, weil eine Maschine von Turing, die eine passende Ordnung auf den ganzen Zahlen, oder abstrakter als beschreibt, aus den begrenzten Bäumen bestehend, angemessen geradlinig bestellt hat). Ob der Beweis von Gentzen den Anforderungen entspricht, ist vorgesehener Hilbert unklar: Es gibt keine allgemein akzeptierte Definition genau, was durch einen finitistic Beweis gemeint wird, und Hilbert selbst nie eine genaue Definition gegeben hat.

Die große Mehrheit von zeitgenössischen Mathematikern glaubt, dass die Axiome von Peano entsprechen, sich entweder auf der Intuition oder auf der Annahme eines Konsistenz-Beweises wie der Beweis von Gentzen verlassend. Die kleine Anzahl von Mathematikern, die ultrafinitism verteidigen, weist die Axiome von Peano zurück, weil die Axiome einen unendlichen Satz von natürlichen Zahlen verlangen.

Siehe auch

• Fundamente der Mathematik
• Der Konsistenz-Beweis von Gentzen
• Der Lehrsatz von Goodstein
• Lehrsatz des Paris-Harrington
• Arithmetik von Presburger
• Arithmetik von Robinson
• Arithmetik der zweiten Ordnung
• Sondermodell der Arithmetik
• Mit dem Satz theoretische Definition von natürlichen Zahlen
• Der Lehrsatz von Frege

Kommentare

• Martin Davis, 1974. Berechenbarkeit. Zeichen durch Barry Jacobs. Courant Institut für Mathematische Wissenschaften, New Yorker Universität.
• Richard Dedekind, 1888. War sind und war sollen sterben Zahlen? (Was ist, und wie sollten die Zahlen sein?). Braunschweig. Zwei englische Übersetzungen:
• 1963 (1901). Aufsätze auf der Theorie von Zahlen. Beman, W. W., Hrsg. und trans. Dover.
• 1996. In Von Kant zu Hilbert: Ein Quellbuch in den Fundamenten von Mathematik, 2 vols, Ewald, William B., Hrsg.-Presse der Universität Oxford: 787-832.
• Gentzen, G., 1936, Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112: 132-213. Nachgedruckt in der englischen Übersetzung seinen 1969 Gesammelte Arbeiten, M. E. Szabo, Hrsg. Amsterdam: Nordholland.
• K. Gödel, 1931, Über formeller unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, ich. Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98. Sieh Auf Formell Unentscheidbaren Vorschlägen von Principia Mathematica und Related Systems für Details auf englischen Übersetzungen.
• --------1958, "Über eine bisher noch nicht benüzte Erweiterung des finiten Standpunktes," Dialectica 12: 280-87. Nachgedruckt in der englischen Übersetzung 1990. Die gesammelten Arbeiten von Gödel, Vol II. Solomon Feferman u. a. Hrsg.-Presse der Universität Oxford.
• Hermann Grassmann, 1861. Lehrbuch der Arithmetik (Ein Tutorenkurs in der Arithmetik). Berlin.
• Hatcher, William S., 1982. Die Logischen Fundamente der Mathematik. Pergamon. Stammt ab die Axiome von Peano (hat S genannt) von mehreren axiomatischen Mengenlehren und aus der Kategorie-Theorie.
• David Hilbert, 1901, "Mathematische Probleme". Archiv der Mathematik und Physik 3 (1): 44-63, 213-37. Englische Übersetzung durch Maby Winton, 1902, "Mathematische Probleme," Meldung der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft 8: 437-79.
• Kaye, Richard, 1991. Modelle der Arithmetik von Peano. Presse der Universität Oxford. Internationale Standardbuchnummer 0 19 853213 X.

• Nachgedruckt (BEDIENUNGSFELD 3.252-88), (W 4:299-309).
• Paul Shields. (1997), "der Axiomatization von Peirce der Arithmetik", in Houser u. a. Hrsg., Studien in der Logik von Charles S. Peirce.
• Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatische Mengenlehre. Dover. Internationale Standardbuchnummer 0486616304. Leitet die Axiome von Peano von ZFC ab.
• Alfred Tarski, und Givant, Steven, 1987. Eine Formalisierung der Mengenlehre ohne Variablen. AMS Kolloquium-Veröffentlichungen, vol. 41.
• Edmund Landau, 1965 Grundlagen Der Analysis. AMS Chelsea das Veröffentlichen. Leitet die grundlegenden Zahl-Systeme von den Axiomen von Peano ab. Englisches/deutsches Vokabular eingeschlossen. Internationale Standardbuchnummer 978-0828401418
• Enthält Übersetzungen von folgenden zwei Papieren mit dem wertvollen Kommentar:
• Richard Dedekind, 1890, "Brief an Keferstein." Seiten 98-103. Auf p. 100 formuliert er neu und verteidigt seine Axiome von 1888.
• Giuseppe Peano, 1889. Arithmetices principia, nova methodo exposita (Die Grundsätze der Arithmetik, die durch eine neue Methode präsentiert ist), Seiten 83-97. Ein Exzerpt der Abhandlung, wo Peano zuerst seine Axiome präsentiert hat, und rekursiv arithmetische Operationen definiert hat.

Links

• Internetenzyklopädie der Philosophie: "Henri Poincare" - durch Mauro Murzi. Schließt eine Diskussion der Kritik von Poincaré der Axiome von Peano ein.
• Arithmetik der ersten Ordnung, ein Kapitel eines Buches auf den Unvollständigkeitslehrsätzen durch Karl Podnieks.
• Was sind Zahlen, und wie ist ihre Bedeutung?: Kommentar von Dedekind zur Arbeit von Dedekind, Stanley N. Burris, 2001.