In der Mathematik, besonders in der Mengenlehre, ist ein Satz A eine Teilmenge eines Satzes B, oder gleichwertig ist B eine Obermenge von A, wenn A innerhalb von B "enthalten" wird. A und B kann zusammenfallen. Die Beziehung eines Satzes, der eine Teilmenge von einem anderen ist, wird Einschließung oder manchmal Eindämmung genannt.

Definitionen

Wenn A und B Sätze sind und jedes Element von A auch ein Element von B, dann ist:

:* A ist eine Teilmenge (oder wird in eingeschlossen) B, angezeigt durch,

:or gleichwertig

:* B ist eine Obermenge (oder schließt ein) A, angezeigt durch

Wenn A eine Teilmenge von B ist, aber A ist B nicht gleich (d. h. dort mindestens ein Element von B besteht, der nicht in A enthalten ist), dann

:* A ist auch ein richtiger (oder streng) Teilmenge von B; das wird als geschrieben

:* B ist eine richtige Obermenge von A; das wird als geschrieben

Für jeden Satz S ist die Einschließungsbeziehung  eine teilweise Ordnung auf dem Satz aller Teilmengen von S (der Macht-Satz von S).

Die Symbole  und 

Einige Autoren verwenden die Symbole  und , "um Teilmenge" und "Obermenge" beziehungsweise, statt der Symbole  und , aber mit derselben Bedeutung anzuzeigen. Also zum Beispiel, für diese Autoren, trifft es auf jeden Satz dass Ein  A zu.

Andere Autoren ziehen es vor, die Symbole  und  zu verwenden, um richtige Teilmenge und Obermenge, beziehungsweise, im Platz von  und  anzuzeigen. Dieser Gebrauch macht  und  analog den Ungleichheitssymbolen , und) ist zu etwas Sammlung von durch die Einschließung bestellten Sätzen isomorph. Die Ordinalzahlen sind ein einfaches Beispiel — wenn jeder Ordnungsn mit dem Satz [n] aller Ordnungszahlen weniger identifiziert wird als oder gleich n, dann ein  b wenn und nur wenn [ein]  [b].

Für den Macht-Satz eines Satzes S die Einschließung ist teilweise Ordnung (bis zu einem Ordnungsisomorphismus) das Kartesianische Produkt von k = |S (der cardinality von S) Kopien der teilweisen Ordnung auf {0,1} für der 0 < 1. Das kann durch das Aufzählen S = {s, s, …, s} und das Verbinden mit jeder Teilmenge T  S illustriert werden (der mit jedem Element 2 sagen soll), das K-Tupel, von von dem {0,1} die Ith-Koordinate 1 ist, wenn, und nur wenn s ein Mitglied von T ist.

Siehe auch

• Eindämmungsordnung