In der Mengenlehre ist die Vereinigung (angezeigt als ) einer Sammlung von Sätzen der Satz aller verschiedenen Elemente in der Sammlung. Die Vereinigung einer Sammlung von Sätzen gibt einen Satz.

Definition

Die Vereinigung von zwei Sätzen A und B ist die Sammlung von Punkten, die in A oder in B (oder in beiden) sind:

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Ein einfaches Beispiel:

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Ein anderes typisches Beispiel:

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Andere kompliziertere Operationen können einschließlich der Vereinigung getan werden, wenn der Satz zum Beispiel durch ein Eigentum aber nicht einen begrenzten definiert wird oder unendliche Enumeration von Elementen angenommen hat. Als ein Beispiel konnte ein Satz durch ein Eigentum oder algebraische Gleichung definiert werden, die einen Lösungssatz, wenn aufgelöst, genannt wird. Ein Beispiel eines in einer Vereinigung verwendeten Eigentums würde der folgende sein:

: = {ist x eine gerade Zahl, x> 1 }\

: B = {ist x eine ungerade Zahl, x> 1 }\

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Wenn wir uns dann auf ein einzelnes Element durch die Variable "x" beziehen sollen, dann können wir sagen, dass x ein Mitglied der Vereinigung ist, wenn es eine Element-Gegenwart im Satz A oder im Satz B oder beiden ist.

Sätze können Doppelelemente nicht haben, so ist die Vereinigung der Sätze {1, 2, 3} und {2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}. Vielfache Ereignisse von identischen Elementen haben keine Wirkung auf den cardinality eines Satzes oder seines Inhalts. Die Nummer 9 wird in der Vereinigung des Satzes von Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, …} und des Satzes von geraden Zahlen {2, 4, 6, 8, 10, …} nicht enthalten, weil 9 weder erst noch gleich ist.

Algebraische Eigenschaften

Binäre Vereinigung ist eine assoziative Operation; d. h.

:A  (B  C) = (EIN  B)  C.

Die Operationen können in jeder Ordnung durchgeführt werden, und die Parenthesen können ohne Zweideutigkeit weggelassen werden (d. h. jeder des obengenannten kann gleichwertig als Ein  B  C ausgedrückt werden).

Ähnlich ist Vereinigung auswechselbar, so können die Sätze in jeder Ordnung geschrieben werden.

Der leere Satz ist ein Identitätselement für die Operation der Vereinigung.

D. h. Ein   = A, für jeden Satz A.

In Bezug auf die Definitionen folgen diese Tatsachen aus analogen Tatsachen über die logische Trennung.

Zusammen mit der Kreuzung und Ergänzung macht Vereinigung jeden Macht-Satz in eine Algebra von Boolean.

Zum Beispiel verteilen Vereinigung und Kreuzung über einander, und alle drei Operationen werden in den Gesetzen von De Morgan verbunden.

Die ersetzende Vereinigung mit dem symmetrischen Unterschied gibt einen Ring von Boolean statt einer Algebra von Boolean.

Formen

Begrenzte Vereinigungen

Mehr allgemein kann man die Vereinigung von mehreren Sätzen sofort nehmen.

Die Vereinigung von A, B, und C enthält zum Beispiel alle Elemente von A, alle Elemente von B und alle Elemente von C und nichts anderem.

Formell ist x ein Element Eines  B  C, wenn, und nur wenn x in A, B, oder C ist.

Vereinigung ist eine assoziative Operation, sie ist darin egal, welche Ordnungsvereinigungen genommen werden. In der Mathematik hat eine begrenzte Vereinigung jede auf einer begrenzten Zahl von Sätzen ausgeführte Vereinigung vor: Es deutet nicht an, dass die Vereinigung untergegangen ist, ist ein begrenzter Satz.

Willkürliche Vereinigungen

Der allgemeinste Begriff ist die Vereinigung einer willkürlichen Sammlung von Sätzen.

Wenn M ein Satz ist, dessen Elemente selbst Sätze sind, dann ist x ein Element der Vereinigung der M, wenn, und nur wenn für mindestens ein Element der M x ein Element von A ist.

In Symbolen:

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Dass diese Vereinigung der M ein Satz ist, egal wie groß ein Satz M sich sein könnte, ist der Inhalt des Axioms der Vereinigung in der axiomatischen Mengenlehre.

Diese Idee ordnet die obengenannten Paragrafen, darin zum Beispiel unter, Ein  B  C ist die Vereinigung der Sammlung {A, B, C}.

Außerdem, wenn M die leere Sammlung ist, dann ist die Vereinigung der M der leere Satz.

Die Analogie zwischen begrenzten Vereinigungen und logischer Trennung streckt sich bis zu eine zwischen willkürlichen Vereinigungen und existenzieller Quantifizierung aus.

Die Notation für das Gesamtkonzept kann sich beträchtlich wie der folgende ändern:

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der sich auf die Vereinigung der Sammlung {A bezieht: Ich bin in I\.

Hier bin ich ein Index-Satz, und A ist ein Satz für jeden ich in mir.

Im Fall, dass der Index-Satz ich der Satz von natürlichen Zahlen bin, ist die Notation dieser von unendlichen Reihen analog:

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Wenn Formatierung schwierig ist, kann das auch "Ein  Ein  Ein  geschrieben werden ···".

(Dieses letzte Beispiel, eine Vereinigung von zählbar vielen Sätzen, ist in der Analyse sehr üblich; weil ein Beispiel den Artikel über σ-algebras sieht.)

Wann auch immer das Symbol "" gelegt wird, vor anderen Symbolen statt zwischen ihnen ist es einer größeren Größe.

Kreuzung verteilt über die infinitary Vereinigung, im Sinn das

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Vereinigung von Infinitary kann mit der infinitary Kreuzung verbunden werden, um das Gesetz zu bekommen

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Siehe auch

• Naive Mengenlehre
• Symmetrischer Unterschied
• Zusammenhanglose Vereinigung
• Kreuzung (Mengenlehre)
• Ergänzung (Mengenlehre)
• Cardinality
• Wiederholte binäre Operation

Referenzen

Außenverbindungen

• Unendliche Vereinigung und Kreuzung an von den Axiomen der Mengenlehre formell bewiesenen Gesetzen von De Morgan von ProvenMath.