In der Geometrie ist ein Dodekaeder (Griechisch , von , dōdeka "zwölf" + ἕδρα hédra "Basis", "Sitz" oder "Gesicht") jedes Polyeder mit zwölf flachen Gesichtern, aber gewöhnlich wird ein regelmäßiges Dodekaeder gemeint: ein Platonischer Festkörper. Es wird aus 12 regelmäßigen fünfeckigen Gesichtern mit drei Sitzung an jedem Scheitelpunkt zusammengesetzt, und wird durch das Symbol von Schläfli {5,3} vertreten. Es hat 20 Scheitelpunkte und 30 Ränder. Sein Doppelpolyeder ist das Ikosaeder, mit dem Symbol von Schläfli {3,5}.

Eine Vielzahl anderer (nichtregelmäßiger) Polyeder hat auch 12 Seiten, aber wird andere Namen gegeben. Andere dodecahedra schließen den sechseckigen bipyramid und das rhombische Dodekaeder ein.

Dimensionen

Wenn die Rand-Länge eines regelmäßigen Dodekaeders a, der Radius eines umschriebenen Bereichs ist (derjenige, der sich berührt, das Dodekaeder an allen Scheitelpunkten) ist

:

und der Radius eines eingeschriebenen Bereichs (Tangente zu jedem der Gesichter des Dodekaeders) ist

:

während der midradius, der die Mitte jedes Randes berührt, ist

:

Diese Mengen können auch als ausgedrückt werden

:::

wo φ das goldene Verhältnis ist.

Bemerken Sie, dass, in Anbetracht eines regelmäßigen fünfeckigen Dodekaeders der Rand-Länge ein, r der Radius eines Umgrenzen-Bereichs über einen Würfel der Rand-Länge φ ist, und r der apothem eines regelmäßigen Pentagons der Rand-Länge φ ist.

Gebiet und Volumen

Die Fläche A und der Band V eines regelmäßigen Dodekaeders der Rand-Länge zu sein:

::

Orthogonale Vorsprünge

Das Dodekaeder hat zwei spezielle orthogonale Vorsprünge, in den Mittelpunkt gestellt, auf Scheitelpunkten und fünfeckigen Gesichtern, entsprechen Sie dem A und H Coxeter Flugzeuge.

Kartesianische Koordinaten

Die folgenden Kartesianischen Koordinaten definieren die Scheitelpunkte eines am Ursprung in den Mittelpunkt gestellten Dodekaeders:

:(±1, ±1, ±1)

: (0, ±1/φ, ±φ)

:(±1/φ, ±φ, 0)

:(±φ, 0, ±1/φ)

wo das goldene Verhältnis (auch schriftlicher τ)  1.618 ist. Die Rand-Länge ist. Bereich enthaltend, hat einen Radius 3.

Eigenschaften

• Der zweiflächige Winkel eines Dodekaeders ist 2 arctan (φ) oder etwa 116.5650512 Grade.
• Wenn das ursprüngliche Dodekaeder Rand-Länge 1 hat, hat sein Doppelikosaeder Rand-Länge, das goldene Verhältnis.
• Wenn die fünf Platonischen Festkörper mit demselben Volumen gebaut werden, hat das Dodekaeder die kürzesten Ränder.
• Es hat 43,380 Netze.
• Die Karte färbende Zahl Gesichter eines regelmäßigen Dodekaeders ist 4.
• Die Entfernung zwischen den Scheitelpunkten auf demselben durch einen Rand nicht verbundenen Gesicht ist φ.

Geometrische Beziehungen

Das regelmäßige Dodekaeder ist in einem unendlichen Satz von gestutztem trapezohedra dritt, der durch das Beschneiden der zwei axialen Scheitelpunkte eines fünfeckigen trapezohedron gebaut werden kann.

Die stellations des Dodekaeders setzen drei der vier Kepler-Poinsot Polyeder zusammen.

Ein berichtigtes Dodekaeder bildet einen icosidodecahedron.

Das regelmäßige Dodekaeder hat 120 symmetries, die Gruppe Ein × Z bildend.

Ikosaeder gegen das Dodekaeder

Wenn ein Dodekaeder in einem Bereich eingeschrieben wird, besetzt es mehr vom Volumen des Bereichs (66.49 %) als ein Ikosaeder, das in demselben Bereich (60.54 %) eingeschrieben ist.

Ein regelmäßiges Dodekaeder mit der Rand-Länge 1 hat mehr als dreieinhalbmal das Volumen eines Ikosaeders mit denselben Länge-Rändern (7.663... im Vergleich zu 2.181...).

Ein regelmäßiges Dodekaeder hat weniger Gesichter als ein Ikosaeder, aber mehr Scheitelpunkte.

Zusammenhängende Polyeder

Das Dodekaeder kann durch eine Stutzungsfolge in seinen Doppel-, das Ikosaeder umgestaltet werden:

Das regelmäßige Dodekaeder ist ein Mitglied einer Folge von sonst ungleichförmigen Polyedern und tilings, der aus dem Pentagon mit Gesichtskonfigurationen (V3.3.3.3.n) zusammengesetzt ist. (Für n > 6 besteht die Folge aus tilings des Hyperbelflugzeugs.) Diese gesichtstransitiven Zahlen haben (n32) Rotationssymmetrie.

Scheitelpunkt-Einordnung

Das Dodekaeder teilt seine Scheitelpunkt-Einordnung mit vier nichtkonvexen gleichförmigen Polyedern und drei gleichförmigen Polyeder-Zusammensetzungen.

Fünf Würfel, die innerhalb, mit ihren Rändern als Diagonalen der Gesichter des Dodekaeders, und zusammen passend sind, setzen diese die regelmäßige polyedrische Zusammensetzung von fünf Würfeln zusammen. Da zwei tetrahedra auf abwechselnden Würfel-Scheitelpunkten passen können, können fünf und zehn tetrahedra auch ein Dodekaeder einfügen.

Stellations

Die 3 stellations des Dodekaeders sind alle regelmäßigen (nichtkonvexen) Polyeder: (Kepler-Poinsot Polyeder)

Anderer dodecahedra

Der Begriff Dodekaeder wird auch für andere Polyeder mit zwölf Gesichtern, am meisten namentlich das rhombische Dodekaeder gebraucht, das zum cuboctahedron (Archimedean fest) Doppel-ist und in der Natur als eine Kristallform vorkommt. Das Platonische feste Dodekaeder kann ein fünfeckiges Dodekaeder oder ein regelmäßiges Dodekaeder genannt werden, um es zu unterscheiden. Der pyritohedron ist ein unregelmäßiges fünfeckiges Dodekaeder.

Andere topologisch verschiedene dodecahedra schließen ein:

• Gleichförmige Polyeder:
• #Pentagonal Antiprisma - 10 gleichseitige Dreiecke, 2 Pentagon
• #Decagonal Prisma - 10 Quadrate, 2 Zehnecke
• Festkörper von Johnson (regelmäßig hat gelegen):
• #Pentagonal Kuppel - 5 Dreiecke, 5 Quadrate, 1 Pentagon, 1 Zehneck
• #Snub disphenoid - 12 Dreiecke
• #Elongated Quadrat dipyramid - 8 Dreiecke und 4 Quadrate
• #Metabidiminished Ikosaeder - 10 Dreiecke und 2 Pentagon
• Kongruenter Nichtstammkunde hat gelegen: (gesichtstransitiver)
• #Hexagonal bipyramid - 12 gleichschenklige Dreiecke, die des sechseckigen Prismas Doppel-

sind

• #Hexagonal trapezohedron - 12 Flugdrachen, die des sechseckigen Antiprismas Doppel-

sind

• #Triakis Tetraeder - 12 gleichschenklige Dreiecke, die des gestutzten Tetraeders Doppel-

sind

• #Rhombic Dodekaeder (erwähnt oben) - 12 Rhomben, die von cuboctahedron Doppel-

sind

• Anderer Nichtstammkunde hat gelegen:
• #Hendecagonal Pyramide - 11 gleichschenklige Dreiecke und 1 hendecagon
• #Trapezo-rhombic Dodekaeder - 6 Rhomben, 6 Trapezoide - Doppel-von dreieckigem orthobicupola
• #Rhombo-hexagonal Dodekaeder oder Verlängertes Dodekaeder - 8 Rhomben und 4 gleichseitige Sechsecke.

Insgesamt gibt es 6,384,634 topologisch verschiedene dodecahedra.

Geschichte und Gebrauch

Gegenstände von Dodecahedral haben einige praktische Anwendungen gefunden, und haben auch eine Rolle in den bildenden Künsten und in der Philosophie gespielt.

Der Dialog von Plato Timaeus (c. 360 B.C.) vereinigt die anderen vier platonischen Festkörper mit den vier klassischen Elementen, dass hinzufügend, "es gibt eine fünfte Zahl (der aus zwölf Pentagon gemacht wird), das Dodekaeder — dieser Gott, der als ein Modell für die twelvefold Abteilung des Tierkreises verwendet ist." Aristoteles hat verlangt, dass der Himmel aus einem fünften Element, aithêr gemacht wurde (Narkoseäther in Latein, Äther auf Amerikanischem Englisch), aber er hatte kein Interesse am Zusammenbringen davon mit dem fünften Festkörper von Plato.

Ein paar Jahrhunderte später wurden kleine, hohle römische Bronzedodecahedra gemacht und sind in verschiedenen römischen Ruinen in Europa gefunden worden. Ihr Zweck ist nicht sicher.

In der Kunst des 20. Jahrhunderts erscheinen dodecahedra in der Arbeit von M.C. Escher, wie seine Steindruck-Reptilien (1943), und in seiner Schwerkraft. In der Malerei von Salvador Dalí Das Sakrament des Letzten Abendessens (1955) ist das Zimmer ein hohles Dodekaeder.

In modernen Rolle spielenden Spielen wird das Dodekaeder häufig verwendet, weil ein zwölfseitiger, einer der allgemeineren polyedrischen Würfel stirbt. Einige Quasikristalle haben Dodecahedral-Gestalt (sieh Zahl). Wie man auch sagt, stellen einige regelmäßige Kristalle wie Granat und Diamant "dodecahedral" Gewohnheit aus, aber diese Behauptung bezieht sich wirklich auf die rhombische Dodekaeder-Gestalt.

Der populäre Rätsel-Spielmegawildfang ist in Form eines Dodekaeders.

Im Roman der Kinder Die Gespenst-Zahlstelle erscheint das Dodekaeder als ein Charakter im Land der Mathematik. Jedes seiner Gesichter trägt einen verschiedenen Ausdruck — z.B glücklich, böse, traurig — den er zur Vorderseite, wie erforderlich, dreht, um seine Stimmung zu vergleichen.

Dodekaeder ist der Name des avantgardistischen schwarzen Metallbandes von den Niederlanden.

Gestalt des Weltalls

Verschiedene Modelle sind für die globale Geometrie des Weltalls vorgeschlagen worden. Zusätzlich zur primitiven Geometrie schließen diese Vorschläge den Raum von Poincaré dodecahedral, ein positiv gekrümmter Raum ein, der aus einem Dodekaeder besteht, dessen entgegengesetzte Gesichter (einer kleinen Drehung) entsprechen. Das wurde von Jean-Pierre Luminet und Kollegen 2003 vorgeschlagen, und eine optimale Orientierung auf dem Himmel für das Modell wurde 2008 geschätzt.

In der 1954-Novelle von Bertrand Russell "der ALBTRAUM DES MATHEMATIKERS: Die Vision von Professor Squarepunt," hat die Nummer 5 gesagt: "Ich bin die Zahl von Fingern auf einer Hand. Ich mache Pentagon und Pentagramme. Und aber für mich konnte dodecahedra nicht bestehen; und wie jeder weiß, ist das Weltall ein Dodekaeder. Also, aber für mich konnte es kein Weltall geben."

Als ein Graph

Das Skelett des Dodekaeders — der Scheitelpunkte und Ränder — bildet einen Graphen. Der hohe Grad der Symmetrie des Vielecks wird in den Eigenschaften dieses Graphen wiederholt, der mit der Entfernung transitiv, mit der Entfernung regelmäßig, und symmetrisch ist. Die automorphism Gruppe hat Auftrag 120. Die Scheitelpunkte können mit 3 Farben gefärbt werden, wie die Ränder kann, und das Diameter 5 ist.

Der dodecahedral Graph ist Hamiltonian — es gibt einen Zyklus, der alle Scheitelpunkte enthält. Tatsächlich ist dieser Name auf ein mathematisches Spiel erfunden 1857 von William Rowan Hamilton, dem icosian Spiel zurückzuführen. Der Gegenstand des Spiels war, einen Zyklus von Hamiltonian entlang den Rändern eines Dodekaeders zu finden.

Siehe auch

• Gestutztes Dodekaeder
• Stumpfes Dodekaeder
• Dodekaeder von Pentakis
• 120-Zellen-: Ein regelmäßiger polychoron (4D polytope), wessen Oberfläche aus 120 dodecahedral Zellen besteht.

Links

• Editable druckfähiges Netz eines Dodekaeders mit der interaktiven 3D-Ansicht
• Die gleichförmigen Polyeder
• Origami-Polyeder - Modelle, die mit dem Modulorigami gemacht sind
• Dodekaeder - 3. Modell, das in Ihrem Browser arbeitet
• Polyeder der virtuellen Realität die Enzyklopädie von Polyedern
• VRML Modelle
• #Regular Dodekaeder regelmäßiger
• #Rhombic Dodekaeder quasiregelmäßiger
• #Decagonal Prisma mit dem Scheitelpunkt transitiver
• #Pentagonal Antiprisma mit dem Scheitelpunkt transitiver
• #Hexagonal dipyramid gesichtstransitiver
• #Triakis Tetraeder gesichtstransitiver
• #hexagonal trapezohedron gesichtstransitiver
• #Pentagonal Kuppel regelmäßige Gesichter
• K.J.M. MacLean, eine geometrische Analyse der fünf platonischen Festkörper und anderen halbregelmäßigen Polyeder
• Dodekaeder 3D-Vergegenwärtigung