In der Mathematik ist der Lehrsatz von Minkowski die Behauptung, dass jeder konvexe Satz in R, der in Bezug auf den Ursprung und mit dem Volumen symmetrisch ist, das größer ist als 2 d (L), einen Nichtnullgitter-Punkt enthält. Der Lehrsatz wurde von Hermann Minkowski 1889 bewiesen und ist das Fundament des Zweigs der Zahlentheorie genannt die Geometrie von Zahlen geworden.

Formulierung

Nehmen Sie an, dass L ein Gitter der Determinante d (L) im n-dimensional echten Vektorraum R ist und S eine konvexe Teilmenge von R ist, der in Bezug auf den Ursprung symmetrisch ist, bedeutend, dass, wenn x in S dann −x ist, auch in S ist.

Der Lehrsatz von Minkowski stellt dass fest, wenn das Volumen von S ausschließlich größer ist als 2 d (L), dann muss S mindestens einen Gitter-Punkt außer dem Ursprung enthalten.

Beispiel

Das einfachste Beispiel eines Gitters ist der Satz Z von allen Punkten mit Koeffizienten der ganzen Zahl; seine Determinante ist 1. Für n = 2 behauptet der Lehrsatz, dass eine konvexe Zahl im Flugzeug, das über den Ursprung und mit dem Gebiet symmetrisch ist, das größer ist als 4, mindestens einen Gitter-Punkt zusätzlich zum Ursprung einschließt. Das gebundene Gebiet ist scharf: Wenn S das Interieur des Quadrats mit Scheitelpunkten ist (±1, ±1) dann ist S symmetrisch und konvex, hat Gebiet 4, aber das einzige Gitter spitzt an, dass es enthält, ist der Ursprung. Diese Beobachtung verallgemeinert zu jeder Dimension n.

Beweis

Das folgende Argument beweist den Lehrsatz von Minkowski für den speziellen Fall von L=Z. Es kann zu willkürlichen Gittern in willkürlichen Dimensionen verallgemeinert werden.

Denken Sie die Karte. Intuitiv schneidet diese Karte das Flugzeug in 2 um 2 Quadrate, schobert dann die Quadrate aufeinander auf. Klar hat Gebiet  4. Nehmen Sie an, dass f injective waren, was die Stücke von S bedeutet, der durch den Quadratstapel auf eine nichtüberlappende Weise ausgeschnitten ist. Da f lokal Bereichsbewahrung ist, würde dieses nichtüberlappende Eigentum es Bereichsbewahrung für alle S machen, so würde das Gebiet von f (S) dasselbe als dieser von S sein, der größer ist als 4. Das ist nicht der Fall, so ist f nicht injective, und für ein Paar von Punkten in S. Außerdem wissen wir aus der Definition von f, dass für einige ganze Zahlen i und j, wo ich und j nicht beide Null sind.

Dann, da S über den Ursprung symmetrisch ist, ist auch ein Punkt in S. Da S, das Liniensegment dazwischen konvex ist und völlig in S liegt, und insbesondere der Mittelpunkt dieses Segmentes in S liegt. Mit anderen Worten,

liegt in S. (ich, j) ist ein Gitter-Punkt, und ist nicht der Ursprung, da ich und j nicht sowohl Null sind, als auch so haben wir den Punkt gefunden, suchen wir.

Anwendungen

Eine Folgeerscheinung dieses Lehrsatzes ist die Tatsache dass jede Klasse in der idealen Klassengruppe

eines numerischen Feldes enthält K ein integriertes Ideal der Norm, die nicht einen gebundenen bestimmten überschreitet, je nachdem K, genannt Minkowski gebunden hat.

Siehe auch

• Der Lehrsatz der Auswahl
• Der Einheitslehrsatz von Dirichlet

Referenzen

• J. W. S. Cassels. Eine Einführung in die Geometrie von Zahlen. Springer-Klassiker in der Mathematik, Springer-Verlag 1997 (Nachdruck von 1959- und 1971-Ausgaben des Springers-Verlag).
• John Horton Conway und N. J. A. Sloane, Bereich-Verpackung, Gitter und Gruppen, Springer-Verlag, New York, 3. Hrsg., 1998.
• (Neu veröffentlicht 1964 durch Dover.)
• Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometrische und Analytische Zahlentheorie. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
• C. G. Lekkerkerker. Geometrie von Zahlen. Wolters-Noordhoff, das Nördliche Holland, Wiley. 1969.
• Wolfgang M. Schmidt. Annäherung von Diophantine. Vortrag-Zeichen in der Mathematik 785. Springer. (1980 [1996 mit geringen Korrekturen])
• Wolfgang M. Schmidt. Annäherungen von Diophantine und Gleichungen von Diophantine, Vortrag-Zeichen in der Mathematik, Springer Verlag 2000.
• Rolf Schneider, Konvexe Körper: die Theorie von Brunn-Minkowski, Universität von Cambridge Presse, Cambridge, 1993.
• Stevenhagen, Peter. Zahl-Ringe.