In der Mathematik, mehr spezifisch algebraischen Topologie, ist eine Bedeckungskarte eine dauernde Surjective-Funktion p von einem topologischen Raum, C, zu einem topologischen Raum, X, solch, dass jeder Punkt in X eine Nachbarschaft gleichmäßig durch p bedecken ließ. Das bedeutet, dass für jeden Punkt x in X, dort ein befohlenes Paar vereinigt wird, (K, U), wo U eine Nachbarschaft von x ist, und wo K eine Sammlung von zusammenhanglosen offenen Sätzen in C ist, von denen jeder homeomorphically, über p, zu U (wie gezeigt, im Image) kartografisch dargestellt wird. Insbesondere das bedeutet, dass jede Bedeckungskarte notwendigerweise ein lokaler homeomorphism ist. Laut dieser Definition wird C einen Bedeckungsraum von X. genannt

Bedeckung von Räumen spielt eine wichtige Rolle in homotopy Theorie, harmonischer Analyse, Geometrie von Riemannian und Differenzialtopologie. In der Riemannian Geometrie zum Beispiel ist Implikation eine Generalisation des Begriffs, Karten zu bedecken. Bedeckende Räume werden auch mit der Studie von homotopy Gruppen und, insbesondere der grundsätzlichen Gruppe tief verflochten. Eine wichtige Anwendung kommt aus dem Ergebnis, dass, wenn X ein "genug guter" topologischer Raum ist, es eine Bijektion von der Sammlung aller Isomorphismus-Klassen von verbundenen Bedeckungen X und Untergruppen der grundsätzlichen Gruppe X gibt.

Formelle Definition

Lassen Sie X ein topologischer Raum sein. Ein Bedeckungsraum X ist ein Raum C zusammen mit einem dauernden surjective Karte

:

solch, dass für jeden x  X, dort eine offene Nachbarschaft U von x, solch besteht, dass p (U) (das umgekehrte Image von U unter p) eine zusammenhanglose Vereinigung von offenen Sätzen in C ist, von denen jeder homeomorphically auf U durch p kartografisch dargestellt wird.

Die Karte p wird die Bedeckungskarte genannt: Der Raum X wird häufig den Grundraum der Bedeckung genannt, und der Raum wird C den Gesamtraum der Bedeckung genannt. Für jeden Punkt x in der Basis ist das umgekehrte Image von x in C notwendigerweise ein getrennter Raum genannt die Faser über x.

Die spezielle offene Nachbarschaft U in der Definition gegebenen x wird gleichmäßig bedeckte Nachbarschaft genannt. Die gleichmäßig bedeckte Nachbarschaft bildet einen offenen Deckel des Raums X. Die Homeomorphic-Kopien in C einer gleichmäßig bedeckten Nachbarschaft U werden die Platten über U genannt. Ein allgemein Bilder C als, "über" X mit p schwankend, der "abwärts", den Platten über U kartografisch darstellt, der über einander und über U und der Faser über x horizontal wird aufschobert, der aus jenen Punkten von C besteht, die "vertikal oben" x liegen. Insbesondere bedeckende Karten sind lokal trivial. Das bedeutet, dass lokal jede Bedeckungskarte zu einem Vorsprung im Sinn 'isomorph' ist, dass es einen homeomorphism vom Vorimage einer gleichmäßig bedeckten Nachbarschaft U, zu U X F gibt, wo F die Faser ist, die lokale trivialization Bedingung befriedigend. D. h. wenn wir diesen homeomorphism auf U planen (und so die Zusammensetzung des Vorsprungs mit diesem homeomorphism eine Karte vom Vorimage von U zu U sein wird), wird die abgeleitete Zusammensetzung p gleichkommen.

Alternative Definitionen

Viele Autoren erlegen einige Konnektivitätsbedingungen den Räumen X und C in der Definition einer Bedeckungskarte auf. Insbesondere viele Autoren verlangen, dass beide Räume Pfad-verbunden und lokal Pfad-verbunden sind. Das kann sich nützlich erweisen, weil viele Lehrsätze nur halten, wenn die fraglichen Räume diese Eigenschaften haben. Einige Autoren lassen die Annahme von surjectivity weg, weil, wenn X verbunden wird und C dann surjectivity der Bedeckungskarte nichtleer ist, wirklich folgt aus den anderen Axiomen.

Beispiele

Denken Sie den Einheitskreis. Die Karte mit

:

ist ein Deckel, wo jeder Punkt dessen ungeheuer häufig bedeckt wird.

Als ein anderes Beispiel, nehmen Sie das komplizierte Flugzeug mit dem Ursprung entfernt (angezeigt durch), und picken Sie eine ganze Nichtnullzahl auf. Dann gegeben durch

:

ist ein Deckel. Hier hat jede Faser Elemente. Die Karte verlässt den Einheitskreis invariant, und die Beschränkung dieser Karte dazu ist ein facher Deckel des Kreises allein.

Tatsächlich, und sind die einzigen verbundenen Bedeckungsräume des Kreises. Um das zu beweisen, bemerken wir zuerst, dass die grundsätzliche Gruppe des Kreises zur zusätzlichen Gruppe von ganzen Zahlen isomorph ist. Wie folgt von der Ähnlichkeit zwischen Gleichwertigkeitsklassen von verbundenen Bedeckungen und conjugacy Klassen von Untergruppen der grundsätzlichen Gruppe des Grundraums, der unten besprochen ist, wird eine verbundene Bedeckung durch eine Untergruppe dessen bestimmt, wo der veranlasste Homomorphismus ist. Die Gruppe ist abelian, und es hat nur zwei Arten von Untergruppen: Die triviale Untergruppe (der unendlichen Untergruppe-Index darin hat) und die Untergruppen dafür, wo Index darin hat. Jede der Untergruppen dessen wird durch die Bedeckung begriffen, da man überprüfen kann, dass eine ganze Zahl zu und folglich kartografisch darstellt. Die triviale Untergruppe dessen wird durch die Bedeckung begriffen, da einfach verbunden wird und triviale grundsätzliche Gruppe und folglich, die triviale Untergruppe dessen hat. Da der Gesamtraum der Bedeckungen ist und der Gesamtraum der Bedeckung ist, zeigt das, dass jeder verbundene Deckel dessen ist entweder oder.

Ein weiteres Beispiel, aus der Physik entstehend (sieh Quant-Mechanik), ist die spezielle orthogonale Gruppe von Folgen dessen, der die "doppelte" Bedeckungsgruppe von einheitlichen Folgen (in der Quant-Mechanik hat, die als die Gruppe von spinor Folgen handelt). Beide Gruppen haben identische Lüge-Algebra, aber wird einfach nur verbunden.

Eigenschaften

Allgemeine lokale Eigenschaften: Jeder Deckel p: C  X ist ein lokaler homeomorphism (d. h. zu jedem dort besteht ein offener Satz in C, der c und einem offenen Satz B in X solch dass die Beschränkung von p zu Erträge ein homeomorphism zwischen A und B enthält). Das deutet dass C und X Anteil alle lokalen Eigenschaften an. Wenn X einfach verbunden wird und C verbunden wird, dann hält das allgemein ebenso, und die Bedeckung p ist ein homeomorphism.

Homeomorphism der Fasern: Für jeden x in X ist die Faser über x eine getrennte Teilmenge von C. Auf jedem verbundenen Bestandteil X sind die Fasern homeomorphic.

Wenn X verbunden wird, gibt es einen getrennten Raum F solch, dass für jeden x in X die Faser über x homeomorphic zu F ist und außerdem für jeden x in X es eine Nachbarschaft U von solchem x gibt, dass sein volles Vorimage p (U) homeomorphic zu U x F ist. Insbesondere der cardinality der Faser über x ist dem cardinality von F gleich, und es wird den Grad des Deckels p genannt: C  X. So, wenn jede Faser n Elemente hat, sprechen wir von einem n-fold Bedeckung (für den Fall n = 1, die Bedeckung ist trivial; wenn n = 2, die Bedeckung ein doppelter Deckel ist; wenn n = 3, die Bedeckung ein dreifacher Deckel und so weiter ist).

Das sich hebende Eigentum: Wenn p: C  X ist ein Deckel, und γ ist ein Pfad in X (d. h. eine dauernde Karte vom Einheitszwischenraum [0,1] in X) und ist ein Punkt, "über" γ (0) (d. h. p (c) = γ (0)) liegend, dann dort besteht ein einzigartiger Pfad Γ in C, der über γ (d. h. p o Γ = γ) und mit Γ (0) = c liegt. Die Kurve Γ wird das Heben von γ genannt. Wenn x und y zwei Punkte in X verbunden durch einen Pfad sind, dann stattet dieser Pfad eine Bijektion zwischen der Faser über x und der Faser über y über das sich hebende Eigentum aus.

Ein allgemeineres sich hebendes Eigentum wird wie folgt beschrieben:

Lässt p: C  X, ein Deckel sein und f eine dauernde Karte von Z bis X sein zu lassen, wo Z Pfad verbunden und lokal verbundener Pfad ist. Lassen Sie z in Z ein Grundpunkt sein, x = f (z) lassen und c in C in der Faser über x sein lassen, der dass p (c) =x solch ist.

Dann dort besteht ein Heben von f (d. h. eine dauernde Karte g: Z → C solch dass p o g = f und g (z) =c) wenn, und nur wenn für den veranlassten Homomorphismus am Niveau der grundsätzlichen Gruppen wir haben

: ()

Außerdem, wenn solch ein Heben g f besteht, ist es einzigartig.

Insbesondere wenn, wie man annimmt, der Raum Z einfach verbunden wird (so dass π (Z, z) = 1), ist Bedingung () automatisch zufrieden, und jede dauernde Karte von Z bis X kann gehoben werden. Da der Einheitszwischenraum [0,1] einfach verbunden wird, ist das sich hebende Eigentum für Pfade ein spezieller Fall des sich hebenden Eigentums für angegebene Karten.

Wenn p: C  X ist eine Bedeckung und c ∈ C und x ∈ X sind dass p (c) = x, dann der veranlasste Homomorphismus p solch: π (C, c)  π (X, x) ist injective und der veranlasste Homomorphismus p: π (C, c)  π (X, x) sind Isomorphismus für den ganzen n ≥ 2. Beide dieser Behauptungen können aus dem sich hebenden Eigentum für dauernde Karten abgeleitet werden. Surjectivity von p für n ≥ 2 folgt aus der Tatsache das für n ≥ 2 wird der Bereich S einfach verbunden, und folglich kann jede dauernde Karte von S bis X zu C. gehoben werden

Gleichwertigkeit: Lässt p: C → X und p: C → X, zwei Bedeckungen sein. Man sagt, dass die zwei Bedeckungen p und p gleichwertig sind, wenn dort ein homeomorphism p besteht: C → C und solch dass p = p o p. Gleichwertigkeitsklassen von Bedeckungen entsprechen conjugacy Klassen von Untergruppen der grundsätzlichen Gruppe X, wie besprochen, unten. Wenn p: C → C ist eine Bedeckung (aber nicht ein homeomorphism) und p = p o p, dann sagt man, dass p p beherrscht.

Da Bedeckungen lokaler homeomorphisms sind, ist eine Bedeckung einer topologischen N-Sammelleitung eine N-Sammelleitung. Jedoch kann ein durch eine N-Sammelleitung bedeckter Raum eine Non-Hausdorff-Sammelleitung sein. Ein Beispiel wird angeführt, indem es C das Flugzeug mit dem Ursprung sein

lässt

gelöscht und X der erhaltene Quotient-Raum, indem es jeden Punkt (x, y) mit (2x, y/2) identifiziert wird. Wenn p:C  X die Quotient-Karte dann ist, ist es eine Bedeckung, da die Handlung von Z auf C, der durch f (x, y) = (2x, y/2) erzeugt ist, richtig diskontinuierlich ist. Die Punkte p (1,0) und p (0,1) haben zusammenhanglose Nachbarschaft in X. nicht

Jeder Bedeckungsraum einer Differentiable-Sammelleitung kann mit einer (natürlichen) differentiable Struktur ausgestattet werden, die p (die fragliche Bedeckungskarte) in einen lokalen diffeomorphism - eine Karte mit der unveränderlichen Reihe n dreht.

Universale Deckel

Ein verbundener Bedeckungsraum ist ein universaler Deckel, wenn er einfach verbunden wird. Der Name universaler Deckel kommt aus dem folgenden wichtigen Eigentum: Wenn kartografisch darzustellen, ein universaler Deckel des Raums ist und kartografisch darzustellen, jeder Deckel des Raums ist, wo der Bedeckungsraum verbunden wird, dann dort besteht eine solche Bedeckungskarte dass. Das kann als ausgedrückt werden

Die Karte ist im folgenden Sinn einzigartig: Wenn wir einen Punkt im Raum und einen Punkt im Raum mit und einen Punkt im Raum damit befestigen, dann dort besteht eine einzigartige solche Bedeckungskarte dass und.

Wenn der Raum einen universalen Deckel dann hat, dass universaler Deckel im Wesentlichen einzigartig ist: Wenn die mappings und zwei universale Deckel des Raums dann sind, dort besteht ein solcher homeomorphism dass.

Der Raum hat einen universalen Deckel, wenn es verbunden, lokal Pfad-verbunden und halblokal einfach verbunden wird. Der universale Deckel des Raums kann als ein bestimmter Raum von Pfaden im Raum gebaut werden.

Das Beispiel, das oben angeführt ist, ist ein universaler Deckel. Die Karte von der Einheit quaternions zu Folgen des 3D-Raums, der in quaternions und Raumfolge beschrieben ist, ist auch ein universaler Deckel.

Wenn der Raum eine zusätzliche Struktur trägt, dann erbt sein universaler Deckel normalerweise diese Struktur:

• wenn der Raum eine Sammelleitung ist, dann auch ist sein universaler Deckel
• wenn der Raum eine Oberfläche von Riemann ist, dann auch ist sein universaler Deckel, und ist eine Holomorphic-Karte
• wenn der Raum eine Sammelleitung von Lorentzian ist, dann so ist sein universaler Deckel. Nehmen Sie außerdem an, dass die Teilmenge eine zusammenhanglose Vereinigung von offenen Sätzen ist, von denen jeder diffeomorphic mit dadurch ist, kartografisch darzustellen. Wenn der Raum eine geschlossene Zeitmäßigkurve enthält, dann ist der Raum zeitmäßig multiplizieren verbunden (nicht kann Zeitmäßighomotopic zu einem Punkt sein, weil dieser Punkt nicht kausal wohl erzogen sein würde), sein universales (diffeomorphic) Deckel ist einfach verbunden zeitmäßig (enthält es a nicht).
• wenn eine Lüge-Gruppe ist (als in den zwei Beispielen oben), dann auch ist sein universaler Deckel, und kartografisch darzustellen, ist ein Homomorphismus von Lüge-Gruppen. In diesem Fall wird der universale Deckel auch die universale Bedeckungsgruppe genannt. Das hat besondere Anwendung auf die Darstellungstheorie und Quant-Mechanik, da gewöhnliche Darstellungen der universalen Bedeckungsgruppe projektive Darstellungen der ursprünglichen (klassischen) Gruppe sind.

Der universale Deckel ist zuerst in der Theorie von analytischen Funktionen als das natürliche Gebiet einer analytischen Verlängerung entstanden.

G-Bedeckungen

Lassen Sie G eine getrennte Gruppe sein, die dem topologischen Raum X folgt. Es ist natürlich zu fragen, unter welchen Bedingungen der Vorsprung, von X bis den Bahn-Raum, X/G, eine Bedeckungskarte ist. Das ist nicht immer wahr, seitdem die Handlung Punkte befestigt haben kann. Ein Beispiel dafür ist die zyklische Gruppe des Auftrags 2, der einem Produkt durch die Drehungshandlung folgt, wo das Nichtidentitätselement darauf handelt. So ist die Studie der Beziehung zwischen den grundsätzlichen Gruppen X und X/G nicht so aufrichtig.

Jedoch folgt die Gruppe G wirklich dem grundsätzlichen groupoid X, und so wird die Studie am besten durch das Betrachten von Gruppen behandelt, die groupoids und die entsprechende Bahn groupoids folgen. Die Theorie dafür wird im Kapitel 11 des Buches Topologie und groupoids abgesetzt, der auf unten verwiesen ist. Das Hauptergebnis besteht darin, dass für diskontinuierliche Handlungen einer Gruppe G auf einem Raum von Hausdorff X, der einen universalen Deckel, dann der grundsätzliche groupoid des Bahn-Raums zulässt, ist X/G zur Bahn groupoid des grundsätzlichen groupoid X, d. h. des Quotienten davon groupoid durch die Handlung der Gruppe G isomorph. Das führt zu ausführlicher Berechnung zum Beispiel der grundsätzlichen Gruppe des symmetrischen Quadrats eines Raums.

Deck-Transformationsgruppe, regelmäßige Deckel

Eine Deck-Transformation oder automorphism eines Deckels p: C  X ist ein homeomorphism f: C  C solch dass p o f = p. Der Satz aller Deck-Transformationen von p bildet eine Gruppe unter der Zusammensetzung, die Deck-Transformationsgruppe Aut (p). Deck-Transformationen werden auch genannt, Transformationen bedeckend. Jede Deck-Transformation permutiert die Elemente jeder Faser. Das definiert eine Gruppenhandlung der Deck-Transformationsgruppe auf jeder Faser. Bemerken Sie, dass durch das einzigartige sich hebende Eigentum, wenn f nicht ist, die Identität und C verbundener Pfad sind, dann hat f keine festen Punkte.

Nehmen Sie jetzt p an: C  X ist eine Bedeckungskarte, und C (und deshalb auch X) wird verbunden und lokal verbundener Pfad. Die Handlung von Aut (p) auf jeder Faser ist frei. Wenn diese Handlung auf einer Faser transitiv ist, dann ist es auf allen Fasern transitiv, und wir nennen den Deckel regelmäßig. Jeder solcher regelmäßige Deckel ist ein HauptG-Bündel, wo G = Aut (p) als eine getrennte topologische Gruppe betrachtet wird.

Jeder universale Deckel p: D  X ist mit der Deck-Transformationsgruppe regelmäßig, die zur grundsätzlichen Gruppe isomorph ist.

Das Beispiel p: C  C mit p (z) = z ist von oben ein regelmäßiger Deckel. Die Deck-Transformationen sind Multiplikationen mit den n-ten Wurzeln der Einheit, und die Deck-Transformationsgruppe ist deshalb zur zyklischen Gruppe C isomorph.

Ein anderes Beispiel: Damit ist von oben regelmäßig. Hier hat man eine Hierarchie von Deck-Transformationsgruppen. Tatsächlich ist C eine Untergruppe von C, dafür.

Handlung von Monodromy

Nehmen Sie wieder p an: C  X ist eine Bedeckungskarte, und C (und deshalb auch X) wird verbunden und lokal verbundener Pfad. Wenn x in X ist und c der Faser über x gehört (d. h. p (c) = x), und γ: [0,1] ist X ein Pfad mit γ (0) = γ (1) =x, dann dieser Pfad Heben zu einem einzigartigen Pfad in C mit dem Startpunkt c. Der Endpunkt dieses gehobenen Pfads braucht nicht c zu sein, aber es muss in der Faser über x liegen. Es stellt sich heraus, dass dieses Ende hinweist, nur hängt von der Klasse von γ in der grundsätzlichen Gruppe, und auf diese Mode ab, wie wir eine richtige Gruppenhandlung auf der Faser über x erhalten. Das ist als die monodromy Handlung bekannt.

Also gibt es zwei Handlungen auf der Faser über x: Aut (p) handelt links und Taten rechts. Diese zwei Handlungen sind im folgenden Sinn vereinbar:

:f. (c.γ) = (f.c).γ\

für den ganzen f in Aut (p), c in p (x) und γ darin.

Wenn p ein universaler Deckel ist, dann kann Aut (p) mit der entgegengesetzten Gruppe dessen natürlich identifiziert werden, so dass die linke Handlung der entgegengesetzten Gruppe dessen mit der Handlung von Aut (p) auf der Faser über x zusammenfällt. Bemerken Sie, dass Aut (p) und in diesem Fall natürlich isomorph sind (wie eine Gruppe immer zu seinem Gegenteil durch natürlich isomorph ist).

Wenn p ein regelmäßiger Deckel ist, dann ist Aut (p) zu einem Quotienten dessen natürlich isomorph.

Im Allgemeinen (für gute Räume) ist Aut (p) zum Quotienten des normalizer im zu Ende, wo natürlich isomorph.

Mehr auf der Gruppenstruktur

Lässt p: C → X, eine Bedeckungskarte sein, wo sowohl X als auch C Pfad-verbunden sind. Lassen Sie x ∈ X, ein basepoint X sein und c &isin zu lassen; C, eines seiner Vorimages in C sein, der p (c) = x ist.

Es gibt einen veranlassten Homomorphismus von grundsätzlichen Gruppen p: π (C, c)  π (X, x), der injective durch das sich hebende Eigentum von Bedeckungen ist. Spezifisch, wenn γ ein geschlossener Regelkreis an solchem c ist, dass p ([γ]) = 1, der p o γ ist, in X ungültig-homotopic ist, dann denken Sie eine Null-homotopy von p o γ als eine Karte f: D → X vom 2-Scheiben-D bis X solch, dass die Beschränkung von f zur Grenze S D p o γ gleich ist. Durch das sich hebende Eigentum hebt sich die Karte f zu einer dauernden Karte g: D → C solch, dass die Beschränkung von f zur Grenze S D γ gleich ist. Deshalb ist γ in C, so dass der Kern von p ungültig-homotopic: π (C, c)  π (X, x) ist trivial und so p: π (C, c)  π (X, x) ist ein injective Homomorphismus.

Deshalb π (C, c) ist zur Untergruppe p (π (C, c)) &pi isomorph; (X, x). Wenn c ∈ C ist ein anderes Vorimage von x in C dann die Untergruppen p (π (C, c)) und p (π (C, c)) sind in &pi verbunden; (X, x) durch das P-Image einer Kurve in C, der c zu c in Verbindung steht. So eine Bedeckungskarte p: C → X definiert eine conjugacy Klasse von Untergruppen von π (X, x), und man kann zeigen, dass gleichwertige Deckel X dieselbe conjugacy Klasse von Untergruppen von π (X, x) definieren.

Für eine Bedeckung p: C → X, wie man auch sehen kann, ist die Gruppe p (π (C, c)) gleich

:

\mbox, der c\in C \} </Mathematik>, {durchgeht}

der Satz von homotopy Klassen jener geschlossenen Kurven &gamma; gestützt an x, dessen Heben γ in C, an c anfangend, Kurven an c geschlossen wird. Wenn X und C Pfad-verbunden sind, ist der Grad des Deckels p (d. h. der cardinality jeder Faser von p) dem Index [π (X, x) :p (π (C, c))] der Untergruppe p (π (C, c)) in &pi gleich; (X, x).

Ein Schlüsselergebnis der bedeckenden Raumtheorie sagt, dass für einen "genug guten" Raum X (nämlich, wenn X Pfad-verbunden, lokal Pfad-verbunden und halblokal einfach verbunden ist) es tatsächlich eine Bijektion zwischen Gleichwertigkeitsklassen von Pfad-verbundenen Deckel X und den conjugacy Klassen von Untergruppen der grundsätzlichen Gruppe π (X, x) gibt. Der Hauptschritt im Beweis dieses Ergebnisses gründet die Existenz eines universalen Deckels, der ein Deckel entsprechend der trivialen Untergruppe &pi ist; (X, x). Sobald die Existenz eines universalen Deckels C X, wenn H &le gegründet wird; π (X, x) ist eine willkürliche Untergruppe, der RaumC/H ist die Bedeckung X entsprechend H. Man muss auch überprüfen, dass zwei Deckel von C entsprechend demselben (conjugacy Klasse) Untergruppe von π (X, x) gleichwertig sind. Verbundene Zellkomplexe und verbundene Sammelleitungen sind Beispiele von "genug guten" Räumen.

Lassen Sie N (Γ) der normalizer von Γ in π (X, x) sein. Die Deck-Transformationsgruppe Aut (p) ist zur Quotient-Gruppe N isomorph (&Gamma;) /&Gamma;. wenn p eine universale Bedeckung ist, dann ist Γ die triviale Gruppe, und Aut (p) ist zu π (X) isomorph.

Lassen Sie uns dieses Argument umkehren. Lassen Sie N eine normale Untergruppe von π (X, x) sein. Durch die obengenannten Argumente definiert das eine (regelmäßige) Bedeckung p: C &rarr; X. Lassen Sie c in C in der Faser von x sein. Dann für jeden anderen c in der Faser von x gibt es genau eine Deck-Transformation, die c zu c nimmt. Diese Deck-Transformation entspricht einer Kurve g in C, der c zu c in Verbindung steht.

Beziehungen mit groupoids

Eine der Weisen, den algebraischen Inhalt der Theorie auszudrücken, Räume zu bedecken, verwendet groupoids und den grundsätzlichen groupoid. Der letzte functor gibt eine Gleichwertigkeit von Kategorien

zwischen der Kategorie, Räume eines vernünftig netten Raums X und der Kategorie von groupoid Bedeckung morphisms davon zu bedecken. So wird eine besondere Art der Karte von Räumen durch eine besondere Art von morphism von groupoids gut modelliert. Die Kategorie, morphisms eines groupoid G zu bedecken, ist auch zur Kategorie von Handlungen von G auf Sätzen gleichwertig, und das erlaubt die Wiederherstellung von traditionelleren Klassifikationen von Bedeckungen. Beweise dieser Tatsachen werden im Buch `Topologie gegeben, und Groupoids hat unten Verweise angebracht.

Beziehungen mit dem Klassifizieren von Räumen und Gruppe cohomology

Wenn X ein verbundener Zellkomplex mit homotopy Gruppen π (X) =0 für den ganzen n &ge ist; 2 dann ist der universale Bedeckungsraum T X contractible, wie folgt davon, den Lehrsatz von Whitehead auf T anzuwenden. In diesem Fall X ist ein Klassifizieren-Raum oder K (G, 1) für G = π (X).

Außerdem, für jeden n &ge; 0 haben die Gruppe von ZellN-Ketten C (T) (d. h. eine freie abelian Gruppe mit der Basis, die durch N-Zellen in T gegeben ist) auch, eine natürliche ZG-Modul-Struktur. Hier für eine N-Zelle σ in T und für g in G die Zelle g &sigma; ist genau das Übersetzen &sigma; durch eine Bedeckungstransformation von T entsprechend g. Außerdem C ist (T) ein freies ZG-Modul mit der freien ZG-Basis, die von Vertretern von G-Bahnen von N-Zellen in T gegeben ist. In diesem Fall der topologische Standardkettenkomplex

:

wo &epsilon; ist die Zunahme-Karte, ist eine freie ZG-Entschlossenheit von Z (wo Z mit der trivialen ZG-Modul-Struktur, g M = M für jeden g &isin ausgestattet wird; G und jede M  Z).

Diese Entschlossenheit kann verwendet werden, um Gruppe cohomology von G mit willkürlichen Koeffizienten zu schätzen.

Generalisationen

Als eine homotopy Theorie arbeitet der Begriff, Räume zu bedecken, gut, wenn die Deck-Transformationsgruppe, oder gleichwertig getrennt ist, wenn der Raum lokal Pfad-verbunden ist. Jedoch, wenn die Deck-Transformationsgruppe eine topologische Gruppe ist, deren Topologie nicht getrennt ist, entstehen Schwierigkeiten. Einige Fortschritte sind für kompliziertere Räume wie der hawaiische Ohrring gemacht worden; sieh die Verweisungen dort für die weitere Information.

Anwendungen

Eine wichtige praktische Anwendung, Räume zu bedecken, kommt in Karten auf SO (3), die Folge-Gruppe vor. Diese Gruppe kommt weit in der Technik wegen 3-dimensionaler Folgen vor, die in der Navigation, Seefahrtstechnik und Raumfahrttechnik unter vielem anderem Gebrauch schwer verwenden werden. Topologisch, SO (3) ist der echte projektive Raum-RP, mit der grundsätzlichen Gruppe Z/2 und nur (nichttrivialer) Bedeckungsraum der Hyperbereich S, der die Gruppendrehung (3), und vertreten durch die Einheit quaternions ist. So sind quaternions eine bevorzugte Methode, um Raumfolgen zu vertreten - sieh quaternions und Raumfolge.

Jedoch ist es häufig wünschenswert, Folgen durch eine Reihe drei Zahlen zu vertreten, die als Winkel von Euler (in zahlreichen Varianten) bekannt sind, sowohl weil das begrifflich einfacher ist, als auch weil man eine Kombination von drei Tragrahmen bauen kann, um Folgen in drei Dimensionen zu erzeugen. Topologisch entspricht das einer Karte vom 3-Ringe-T von drei Winkeln zum echten projektiven Raum-RP von Folgen, und die resultierende Karte hat Schönheitsfehler wegen dieser Karte, die unfähig ist, eine Bedeckungskarte zu sein. Spezifisch wird der Misserfolg der Karte, ein lokaler homeomorphism an bestimmten Punkten zu sein, Tragrahmen-Schloss genannt, und wird im Zeichentrickfilm am Recht - an einigen Punkten demonstriert (wenn die Äxte coplanar sind), ist die Reihe der Karte 2, aber nicht 3, bedeutend, dass nur 2 Dimensionen von Folgen von diesem Punkt durch das Ändern der Winkel begriffen werden können. Das verursacht Probleme in Anwendungen, und wird durch den Begriff eines Bedeckungsraums formalisiert.

Siehe auch

• Gitter von Bethe ist der universale Deckel eines Graphen von Cayley
• Graphen, einen Bedeckungsraum für einen ungeleiteten Graphen und seinen speziellen Fall der zweiteilige doppelte Deckel bedeckend.
• Bedeckung der Gruppe
• Verbindung von Galois

Referenzen

• Sieh Kapitel 1 für eine einfache Rezension.
• Sieh Abschnitt 1.3
• Sieh Kapitel 5.
• Sieh Kapitel 10.
• Kategorien und groupoids, P.J. Higgins, herunterladbarer Nachdruck von van Nostrand Notes in der Mathematik, 1971, die sich mit Anwendungen von groupoids in der Gruppentheorie und Topologie befassen.