In der Mathematik, mehr spezifisch algebraischen Topologie, ist die grundsätzliche Gruppe (definiert von Henri Poincaré in seinem Artikel Analysis Situs, veröffentlicht 1895) eine Gruppe, die zu jedem gegebenen angespitzten topologischen Raum vereinigt ist, der eine Weise zur Verfügung stellt zu bestimmen, wenn zwei Pfade, anfangend und an einem festen Grundpunkt endend, unaufhörlich in einander deformiert werden können. Intuitiv registriert es Information über die grundlegende Gestalt oder Löcher des topologischen Raums. Die grundsätzliche Gruppe ist erst und von den homotopy Gruppen am einfachsten.

Grundsätzliche Gruppen können mit der Theorie studiert werden, Räume zu bedecken, da eine grundsätzliche Gruppe mit der Gruppe von Deck-Transformationen des verbundenen universalen Bedeckungsraums zusammenfällt. Sein abelianisation kann mit der ersten Homologie-Gruppe des Raums identifiziert werden. Wenn der topologische Raum homeomorphic zu einem simplicial Komplex ist, kann seine grundsätzliche Gruppe ausführlich in Bezug auf Generatoren und Beziehungen beschrieben werden.

Historisch ist das Konzept der grundsätzlichen Gruppe zuerst in der Theorie von Oberflächen von Riemann, in der Arbeit von Bernhard Riemann, Henri Poincaré und Felix Klein erschienen, wo es die monodromy Eigenschaften von komplizierten Funktionen, sowie Versorgung einer ganzen topologischen Klassifikation von geschlossenen Oberflächen beschreibt.

Intuition

Fangen Sie mit einem Raum an (z.B eine Oberfläche), und ein Punkt darin und alle Schleifen sowohl das Starten als auch Ende an diesem Punkt — Pfade, die an diesem Punkt anfangen, wandern ringsherum und kehren schließlich zum Startpunkt zurück. Zwei Schleifen können zusammen auf eine offensichtliche Weise verbunden werden: Reisen entlang der ersten Schleife, dann entlang dem zweiten.

Zwei Schleifen werden gleichwertig betrachtet, wenn man in anderen ohne das Brechen deformiert werden kann. Der Satz aller dieser Schleifen mit dieser Methode sich zu verbinden und diese Gleichwertigkeit zwischen ihnen ist die grundsätzliche Gruppe.

Definition

Lassen Sie X ein topologischer Raum sein, und x ein Punkt X sein zu lassen. Wir interessieren uns für den folgenden Satz von dauernden Funktionen genannt Schleifen mit dem Grundpunkt x.

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Jetzt ist die grundsätzliche Gruppe X mit dem Grundpunkt x dieser Satz modulo homotopy

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ausgestattet mit der Gruppenmultiplikation, die durch (f  g) (t) definiert ist: = f (2t) wenn 0  t  1/2 und (f  g) (t): = g (2t − 1) wenn 1/2  t  1. So folgt die Schleife f  g zuerst der Schleife f mit "zweimal der Geschwindigkeit" und folgt dann g mit zweimal der Geschwindigkeit. Das Produkt von zwei homotopy Klassen von Schleifen [f] und [g] wird dann als [f  g] definiert, und es kann gezeigt werden, dass dieses Produkt von der Wahl von Vertretern nicht abhängt.

Mit dem obengenannten Produkt bildet der Satz aller homotopy Klassen von Schleifen mit dem Grundpunkt x die grundsätzliche Gruppe X am Punkt x und wird angezeigt

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oder einfach π (X, x). Das Identitätselement ist die unveränderliche Karte am basepoint, und das Gegenteil einer Schleife f ist die Schleife g definiert durch g (t) = f (1 − t). D. h. g folgt f umgekehrt.

Obwohl die grundsätzliche Gruppe im Allgemeinen von der Wahl des Grundpunkts abhängt, stellt es sich heraus, dass, bis zum Isomorphismus, diese Wahl keinen Unterschied macht, so lange der Raum X Pfad-verbunden ist. Für Pfad-verbundene Räume, deshalb, können wir π (X) statt π (X, x) ohne Zweideutigkeit schreiben, wann auch immer wir uns über die Isomorphismus-Klasse nur sorgen.

Beispiele

Triviale grundsätzliche Gruppe.

Im Euklidischen Raum R oder jeder konvexen Teilmenge von R gibt es nur eine homotopy Klasse von Schleifen, und die grundsätzliche Gruppe ist deshalb die triviale Gruppe mit einem Element. Wie man sagt, wird ein Pfad-verbundener Raum mit einer trivialen grundsätzlichen Gruppe einfach verbunden.

Unendliche zyklische grundsätzliche Gruppe.

Der Kreis. Jede homotopy Klasse besteht aus allen Schleifen, welcher Wind um den Kreis eine gegebene Zahl von Zeiten (der positiv oder, abhängig von der Richtung des Windens negativ sein kann). Das Produkt einer Schleife der Winde um die M Zeiten und ein anderer, dass Winde um n Zeiten eine Schleife der Winde um die M + n Zeiten sind. So ist die grundsätzliche Gruppe des Kreises zu, die zusätzliche Gruppe von ganzen Zahlen isomorph. Diese Tatsache kann verwendet werden, um Beweise von Brouwer befestigter Punkt-Lehrsatz und der Borsuk-Ulam Lehrsatz in der Dimension 2 zu geben.

Da die grundsätzliche Gruppe ein homotopy invariant ist, ist die Theorie der krummen Zahl für das komplizierte Flugzeug minus ein Punkt dasselbe bezüglich des Kreises.

Freie Gruppen der höheren Reihe: Graphen.

Verschieden von den Homologie-Gruppen und höher homotopy Gruppen hat zu einem topologischen Raum verkehrt, die grundsätzliche Gruppe braucht nicht abelian zu sein. Zum Beispiel ist die grundsätzliche Gruppe der Zahl acht die freie Gruppe auf zwei Briefen. Mehr allgemein ist die grundsätzliche Gruppe jedes Graphen eine freie Gruppe. Wenn der Graph G verbunden wird, dann ist die Reihe der freien Gruppe 1 &minus gleich; χ (G): ein minus die Eigenschaft von Euler von G.

Knoten-Theorie. Ein etwas hoch entwickelteres Beispiel eines Raums mit einer non-abelian grundsätzlichen Gruppe ist die Ergänzung eines Klee-Knotens in R.

Functoriality

Wenn f: X  Y sind eine dauernde Karte, x  X und y  Y mit f (x) = y, dann kann jede Schleife in X mit dem Grundpunkt x mit f zusammengesetzt werden, um eine Schleife in Y mit dem Grundpunkt y nachzugeben. Diese Operation ist mit der homotopy Gleichwertigkeitsbeziehung und mit der Zusammensetzung von Schleifen vereinbar. Der resultierende Gruppenhomomorphismus, genannt den veranlassten Homomorphismus, wird als π (f) oder, allgemeiner, geschrieben

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Wir erhalten so einen functor von der Kategorie von topologischen Räumen mit dem Grundpunkt zur Kategorie von Gruppen.

Es stellt sich heraus, dass dieser functor Karten nicht unterscheiden kann, die homotopic hinsichtlich des Grundpunkts sind: wenn f und g: X  Y sind dauernde Karten mit f (x) = g (x) = y, und f und g sind homotopic hinsichtlich {x}, dann f = g. Demzufolge haben zwei homotopy gleichwertige Pfad-verbundene Räume isomorphe grundsätzliche Gruppen:

:

Als ein wichtiger spezieller Fall, wenn X dann Pfad-verbunden ist, geben irgendwelche zwei basepoints isomorphe grundsätzliche Gruppen mit dem Isomorphismus, der durch eine Wahl des Pfads zwischen dem gegebenen basepoints gegeben ist.

Die grundsätzliche Gruppe functor bringt Produkte in Produkte und coproducts zu coproducts. D. h. wenn X und Y verbundener Pfad, dann sind

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und

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(In der letzten Formel, zeigt die Keil-Summe von topologischen Räumen, und * das freie Produkt von Gruppen an.) Beide Formeln verallgemeinern zu willkürlichen Produkten. Außerdem ist die letzte Formel ein spezieller Fall des Seifert-van Kampen Lehrsatzes, der feststellt, dass die grundsätzliche Gruppe functor pushouts entlang Einschließungen zu pushouts nimmt.

Fibrations

Eine Generalisation eines Produktes von Räumen wird durch einen fibration, gegeben

:

Hier ist der Gesamtraum E eine Art "gedrehtes Produkt" des Grundraums B und der Faser F.

Im Allgemeinen die grundsätzlichen Gruppen von B, E und F

sind Begriffe in einer langen genauen Folge, die höher homotopy Gruppen einschließt. Wenn alle Räume verbunden werden, hat das die folgenden Folgen für die grundsätzlichen Gruppen:

• π (B) und π (E) sind isomorph, wenn F einfach verbunden wird
• π (B) und π (F) sind isomorph, wenn E contractible ist

Der Letztere wird häufig auf die Situation E = Pfad-Raum von B, F = Schleife-Raum von B oder B = das Klassifizieren von Raum-BG einer topologischen Gruppe G, E = universales G-Bündel EG angewandt.

Beziehung zur ersten Homologie-Gruppe

Die grundsätzlichen Gruppen eines topologischen Raums X sind mit seiner ersten einzigartigen Homologie-Gruppe verbunden, weil eine Schleife auch ein einzigartiger 1 Zyklus ist. Die homotopy Klasse jeder Schleife an einem Grundpunkt x zur Homologie-Klasse der Schleife kartografisch darzustellen, gibt einen Homomorphismus von der grundsätzlichen Gruppe π (X, x) zur Homologie-Gruppe H (X). Wenn X Pfad-verbunden ist, dann ist dieser Homomorphismus surjective, und sein Kern ist die Umschalter-Untergruppe von π (X, x), und H (X) ist deshalb zum abelianization von π (X, x) isomorph. Das ist ein spezieller Fall des Lehrsatzes von Hurewicz der algebraischen Topologie.

Universaler Bedeckungsraum

Wenn X ein topologischer Raum ist, der Pfad verbunden, lokal Pfad verbunden und lokal einfach verbunden ist, dann hat es einen einfach verbundenen universalen Bedeckungsraum, auf dem die grundsätzliche Gruppe π (X, x) frei auf Deck-Transformationen mit dem Quotient-Raum X handelt. Dieser Raum kann analog zur grundsätzlichen Gruppe durch die Einnahme von Paaren (x, γ), gebaut werden

wo x ein Punkt in X ist und γ eine homotopy Klasse von Pfaden von x bis x ist und die Handlung von π (X, x) durch die Verkettung von Pfaden ist. Es wird als ein Bedeckungsraum einzigartig bestimmt.

Beispiele

Lassen Sie G ein verbundener, einfach verbundene Kompaktlüge-Gruppe, zum Beispiel die spezielle einheitliche Gruppe SU sein, und Γ eine begrenzte Untergruppe von G sein lassen. Dann der homogene Raum X = hat G/Γ grundsätzliche Gruppe Γ, der auf die richtige Multiplikation auf dem universalen Bedeckungsraum G handelt. Unter den vielen Varianten dieses Aufbaus wird einer der wichtigsten durch lokal symmetrische Räume X = Γ\\G/K, wo gegeben

• G ist ein nur verbundener nichtkompakter, verbunden Liegen Gruppe (häufig halbeinfach),
• K ist eine maximale Kompaktuntergruppe von G

• Γ ist eine getrennte zählbare Untergruppe ohne Verdrehungen von G.

In diesem Fall ist die grundsätzliche Gruppe Γ und der universale Bedeckungsraum, der G/K wirklich contractible (durch die Zergliederung von Cartan für Lüge-Gruppen) ist.

Als ein Beispiel nehmen G = SL(R), K = SO und Γ jede Kongruenz-Untergruppe ohne Verdrehungen der Modulgruppe SL (Z).

Ein noch einfacheres Beispiel wird durch G = R angeführt (so dass K trivial ist), und Γ = Z: in diesem Fall X=R/Z = S.

Von der ausführlichen Verwirklichung folgt es auch dem der universale Bedeckungsraum eines Pfads hat in Verbindung gestanden topologische Gruppe ist H wieder verbundene topologische Gruppe eines Pfads G. Außerdem ist die Bedeckungskarte ein dauernder offener Homomorphismus von G auf H mit dem Kern Γ, eine geschlossene getrennte normale Untergruppe von G:

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Da G eine verbundene Gruppe mit einer dauernden Handlung durch die Konjugation auf einer getrennten Gruppe Γ ist, muss es trivial handeln, so dass Γ eine Untergruppe des Zentrums von G sein muss. In besonderem π (H) = ist Γ eine Gruppe von Abelian; das kann auch direkt leicht gesehen werden, ohne Bedeckung von Räumen zu verwenden. Die Gruppe G wird die universale Bedeckungsgruppe von H genannt.

Wie die universale Bedeckungsgruppe vorschlägt, gibt es eine Analogie zwischen der grundsätzlichen Gruppe einer topologischen Gruppe und dem Zentrum einer Gruppe;

das wird am Gitter sorgfältig ausgearbeitet, Gruppen zu bedecken.

Gruppe des Rand-Pfads eines simplicial Komplexes

Wenn X ein verbundener simplicial Komplex ist, wird ein Rand-Pfad in X definiert, um eine Kette von Scheitelpunkten zu sein, die durch Ränder in X verbunden sind. Zwei Rand-Pfade

werden gesagt, mit dem Rand gleichwertig zu sein, wenn man bei anderem durch die aufeinander folgende Schaltung zwischen einem Rand und den zwei entgegengesetzten Rändern eines Dreiecks in X erhalten werden kann. Wenn v ein fester Scheitelpunkt in X ist, ist eine Rand-Schleife an v ein Starten des Rand-Pfads und Ende an v. Die Gruppe des Rand-Pfads E (X, v) wird definiert, um der Satz von Klassen der Rand-Gleichwertigkeit von Rand-Schleifen an v, mit dem Produkt und Gegenteil zu sein, das durch die Verkettung und Umkehrung von Rand-Schleifen definiert ist.

Die Gruppe des Rand-Pfads ist natürlich isomorpher

zu π (| X, v), die grundsätzliche Gruppe der geometrischen Realisierung |X X. Da es nur vom 2-Skelette-abhängt, sind X X (d. h. die Scheitelpunkte, Ränder und Dreiecke X), die Gruppen π (| X, v) und π (| X, v) isomorph.

Die Gruppe des Rand-Pfads kann ausführlich in Bezug auf Generatoren und Beziehungen beschrieben werden. Wenn T ein maximaler Überspannen-Baum im 1 Skelett X ist, dann ist E (X, v) zur Gruppe mit Generatoren (die orientierten Rand-Pfade X nicht das Auftreten in T) und Beziehungen (die Rand-Gleichwertigkeiten entsprechend Dreiecken in X) kanonisch isomorph. Ein ähnliches Ergebnis hält, ob T durch einen einfach verbundenen insbesondere Contractible-Subkomplex X ersetzt wird. Das gibt häufig einen praktischen davon weg, grundsätzliche Gruppen zu schätzen, und kann verwendet werden, um zu zeigen, dass jede begrenzt präsentierte Gruppe als die grundsätzliche Gruppe eines begrenzten simplicial Komplexes entsteht. Es ist auch eine der klassischen Methoden, die für topologische Oberflächen verwendet sind, die von ihren grundsätzlichen Gruppen klassifiziert werden.

Der universale Bedeckungsraum eines begrenzten hat in Verbindung gestanden simplicial Komplex X kann auch direkt als ein simplicial kompliziertes Verwenden Rand-Pfade beschrieben werden. Seine Scheitelpunkte sind Paare (w, γ), wo w ein Scheitelpunkt X ist und γ eine Klasse der Rand-Gleichwertigkeit von Pfaden von v bis w ist. Die k-simplices, die (w, γ) enthalten, entsprechen natürlich zum k-simplices, der w enthält. Jeder neue Scheitelpunkt u des K-Simplexes gibt einen Rand wu und folglich, durch die Verkettung, ein neuer Pfad γ von v bis u. Die Punkte (w, γ) und (u, γ) sind die Scheitelpunkte des "transportierten" Simplexes im universalen Bedeckungsraum. Die Gruppe des Rand-Pfads handelt natürlich auf die Verkettung, die simplicial Struktur bewahrend, und der Quotient-Raum ist gerade X.

Es ist wohl bekannt, dass diese Methode auch verwendet werden kann, um die grundsätzliche Gruppe eines willkürlichen topologischen Raums zu schätzen. Das war zweifellos Čech und Leray bekannt und ist ausführlich als eine Bemerkung in einem Vortrag davon erschienen; verschiedene andere Autoren wie L. Calabi, W-T. Wu und N. Berikashvili haben auch Beweise veröffentlicht. Im einfachsten Fall eines Kompaktraums X mit einer begrenzten offenen Bedeckung, in der alle nichtleeren begrenzten Kreuzungen von offenen Sätzen in der Bedeckung contractible sind, kann die grundsätzliche Gruppe mit der Gruppe des Rand-Pfads des simplicial Komplexes entsprechend dem Nerv der Bedeckung identifiziert werden.

Durchführbarkeit

• Jede Gruppe kann als die grundsätzliche Gruppe eines verbundenen CW-Komplexes der Dimension 2 (oder höher) begriffen werden. Wie bemerkt, oben aber können nur freie Gruppen als grundsätzliche Gruppen von 1-dimensionalen CW-Komplexen (d. h. Graphen) vorkommen.
• Jede begrenzt präsentierte Gruppe kann als die grundsätzliche Gruppe einer kompakten, verbundenen, glatten Sammelleitung der Dimension 4 (oder höher) begriffen werden. Aber es gibt strenge Beschränkungen, auf denen Gruppen als grundsätzliche Gruppen von niedrig-dimensionalen Sammelleitungen vorkommen. Zum Beispiel kann keine freie abelian Gruppe der Reihe 4 oder höher als die grundsätzliche Gruppe einer Sammelleitung der Dimension 3 oder weniger begriffen werden.

Zusammenhängende Konzepte

Die grundsätzliche Gruppe misst die 1-dimensionale Loch-Struktur eines Raums. Um "hoch-dimensionale Löcher" zu studieren, werden die homotopy Gruppen verwendet. Die Elemente der n-ten homotopy Gruppe X sind homotopy Klassen, Karten von S bis X (zu basepoint-bewahren).

Der Satz von Schleifen an einem besonderen Grundpunkt kann ohne Bewertung homotopic Schleifen als gleichwertig studiert werden. Dieser größere Gegenstand ist der Schleife-Raum.

Für topologische Gruppen kann eine verschiedene Gruppenmultiplikation dem Satz von Schleifen im Raum, mit der pointwise Multiplikation aber nicht Verkettung zugeteilt werden. Die resultierende Gruppe ist die Schleife-Gruppe.

Grundsätzlicher groupoid

Anstatt einen Punkt auszusuchen und die Schleifen als gestützt an diesem Punkt bis zu homotopy zu betrachten, kann man auch alle Pfade im Raum bis zu homotopy denken (den anfänglichen und endgültigen Punkt befestigend). Das gibt nicht eine Gruppe, aber einen groupoid, den grundsätzlichen groupoid des Raums nach.

Mehr allgemein kann man den grundsätzlichen groupoid auf einem Satz von Grundpunkten denken, die gemäß der Geometrie der Situation gewählt sind; zum Beispiel, im Fall vom Kreis, der als die Vereinigung von zwei verbundenen offenen Sätzen vertreten werden kann, deren Kreuzung zwei Bestandteile hat, kann man einen Grundpunkt in jedem Bestandteil wählen. Die Ausstellung dieser Theorie wurde 1968, 1988 Ausgaben des Buches jetzt verfügbar als Topologie und groupoids gegeben, der auch verwandte Rechnungen einschließt, Räume und Bahn-Räume zu bedecken.

Siehe auch

• Gruppe von Homotopy, Generalisation der grundsätzlichen Gruppe

Es gibt auch ähnliche Begriffe der grundsätzlichen Gruppe für algebraische Varianten (die étale grundsätzliche Gruppe) und für orbifolds (die orbifold grundsätzliche Gruppe).

• Ronald Brown, Topologie und groupoids, Booksurge (2006). Internationale Standardbuchnummer 1-4196-2722-8
• Joseph J. Rotman, Eine Einführung in die Algebraische Topologie, den Springer-Verlag, die internationale Standardbuchnummer 0-387-96678-1
• Isadore Singer und John A. Thorpe, Vortrag-Zeichen auf der Elementaren Geometrie und der Topologie, dem Springer-Verlag (1967) internationale Standardbuchnummer 0-387-90202-3
• Allen Hatcher, Algebraische Topologie, Universität von Cambridge Presse (2002) internationale Standardbuchnummer 0-521-79540-0
• Peter Hilton und Shaun Wylie, Homologie-Theorie, Universität von Cambridge Presse (1967) [Warnung: Diese Autoren verwenden contrahomology für cohomology]
• Richard Maunder, Algebraische Topologie, Dover (1996) internationale Standardbuchnummer 0486691314
• Deane Montgomery und Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Zwischenwissenschaftsherausgeber (1955)
• James Munkres, Topologie, Prentice Hall (2000) internationale Standardbuchnummer 0131816292
• Herbert Seifert und William Threlfall, Ein Lehrbuch der Topologie (übersetzt aus dem Deutsch durch Wofgang Heil), Akademische Presse (1980), internationale Standardbuchnummer 0126348502
• Edwin Spanier, Algebraische Topologie, Springer-Verlag (1966) internationale Standardbuchnummer 0-387-94426-5
• André Weil, Auf getrennten Untergruppen von Lüge-Gruppen, Ann. Mathematik. 72 (1960), 369-384.

Referenzen

Links

• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets und der Lehrsatz von van Kampen (Eine elementare Diskussion des grundsätzlichen groupoid eines topologischen Raums und des grundsätzlichen groupoid eines Simplicial-Satzes).
• Zeichentrickfilme, um in die grundsätzliche Gruppe durch Nicolas Delanoue einzuführen