In der Mathematik ist ein symplectomorphism ein Isomorphismus in der Kategorie von Symplectic-Sammelleitungen.

Formelle Definition

Ein diffeomorphism zwischen zwei Symplectic-Sammelleitungen wird symplectomorphism, wenn genannt

wo das Hemmnis dessen ist. Die symplectic diffeomorphisms von dazu sind (pseudo-) Gruppe, genannt die symplectomorphism Gruppe (sieh unten).

Die unendlich kleine Version von symplectomorphisms gibt die symplectic Vektorfelder. Ein Vektorfeld wird symplectic, wenn genannt

Außerdem ist symplectic, iff der Fluss dessen ist symplectic für jeden.

Diese Vektorfelder bauen eine Liegen-Subalgebra dessen.

Beispiele von symplectomorphisms schließen die kanonischen Transformationen der klassischen Mechanik und theoretischen Physik, der Fluss ein, der zu jeder Funktion von Hamiltonian, der Karte auf Kotangens-Bündeln vereinigt ist, die durch jeden diffeomorphism von Sammelleitungen und die coadjoint Handlung eines Elements von Lie Group auf einer coadjoint Bahn veranlasst sind.

Flüsse

Jede glatte Funktion auf einer Symplectic-Sammelleitung, führt definitionsgemäß, zu einem Vektorfeld von Hamiltonian und dem Satz der ganzen Form eine Subalgebra der Lüge-Algebra von symplectic Vektorfeldern. Die Integration des Flusses eines symplectic Vektorfeldes ist ein symplectomorphism. Da symplectomorphisms den symplectic 2-Formen- und folglich den symplectic-volumeform bewahren, folgt der Lehrsatz von Liouville in der Mechanik von Hamiltonian. Symplectomorphisms, die aus Vektorfeldern von Hamiltonian entstehen, sind als Hamiltonian symplectomorphisms bekannt.

Da der Fluss eines Vektorfeldes von Hamiltonian auch H bewahrt. In der Physik wird das als das Gesetz der Bewahrung der Energie interpretiert.

Wenn die erste Zahl von Betti einer verbundenen Symplectic-Sammelleitung Null, symplectic ist und Vektorfelder von Hamiltonian zusammenfallen, so fallen die Begriffe von Hamiltonian isotopy und symplectic isotopy symplectomorphisms zusammen.

Wir können zeigen, dass die Gleichungen für einen geodätischen formuliert werden können, als Hamiltonian fließt.

Die Gruppe von (Hamiltonian) symplectomorphisms

Die symplectomorphisms von einer Sammelleitung zurück auf sich bilden eine unendlich-dimensionale Pseudogruppe. Die entsprechende Lüge-Algebra besteht aus symplectic Vektorfeldern.

Hamiltonian symplectomorphisms bilden eine Untergruppe, deren Liegen, wird Algebra durch die Vektorfelder von Hamiltonian gegeben. Der Letztere ist zur Lüge-Algebra von glattem isomorph

Funktionen auf der Sammelleitung in Bezug auf die Klammer von Poisson, modulo die Konstanten.

Gruppen von Hamiltonian diffeomorphisms sind durch einen Lehrsatz von Banyaga einfach. Sie ließen natürliche Geometrie durch die Norm von Hofer geben. Der homotopy Typ der symplectomorphism Gruppe für bestimmte einfache symplectic vier Sammelleitungen, wie das Produkt von Bereichen, kann mit der Theorie von Gromov von Pseudoholomorphic-Kurven geschätzt werden.

Vergleich mit der Geometrie von Riemannian

Verschieden von Riemannian-Sammelleitungen, symplectic Sammelleitungen sind nicht sehr starr: Der Lehrsatz von Darboux zeigt, dass alle symplectic Sammelleitungen derselben Dimension lokal isomorph sind. Im Gegensatz müssen Isometrien in der Geometrie von Riemannian den Krümmungstensor von Riemann bewahren, der so ein lokaler invariant der Sammelleitung von Riemannian ist. Außerdem definiert jede Funktion H auf einer Symplectic-Sammelleitung ein Vektorfeld von Hamiltonian X, der exponentiates zu einer Ein-Parameter-Gruppe von Hamiltonian diffeomorphisms. Hieraus folgt dass die Gruppe von symplectomorphisms immer sehr groß, und insbesondere unendlich-dimensional ist. Andererseits ist die Gruppe von Isometrien einer Sammelleitung von Riemannian immer eine (endlich-dimensionale) Lüge-Gruppe. Außerdem sind Sammelleitungen von Riemannian mit großen Symmetrie-Gruppen ganz besonder, und eine allgemeine Sammelleitung von Riemannian hat keinen nichttrivialen symmetries.

Quantizations

Darstellungen von endlich-dimensionalen Untergruppen der Gruppe von symplectomorphisms (nach - Deformierungen, im Allgemeinen) auf Räumen von Hilbert werden quantizations genannt. Wenn die Lüge-Gruppe von Hamiltonian definierte diejenige ist, wird es "quantization durch die Energie" genannt. Der entsprechende Maschinenbediener von der Lüge-Algebra bis die Lüge-Algebra von dauernden geradlinigen Maschinenbedienern wird auch manchmal den quantization genannt; das ist eine allgemeinere Weise, darauf in der Physik zu schauen. Sieh Weyl quantization, geometrischen quantization, Nichtersatzgeometrie.

Vermutung von Arnold

Eine berühmte Vermutung von Vladimir Arnold verbindet die minimale Zahl von festen Punkten für einen ƒ von Hamiltonian symplectomorphism auf der M, im Falle dass M eine geschlossene Sammelleitung zur Morsezeichen-Theorie ist. Genauer stellt die Vermutung fest, dass ƒ mindestens so viele feste Punkte hat wie die Zahl von kritischen Punkten, die eine glatte Funktion auf der M haben muss (verstanden bezüglich eines allgemeinen Falls, Morsezeichen-Funktionen, für die das eine bestimmte begrenzte Zahl ist, die mindestens 2 ist).

Es ist bekannt, dass das aus der Vermutung von Arnold-Givental genannt nach Arnold und Alexander Givental folgen würde, der eine Behauptung auf Subsammelleitungen von Lagrangian ist. Es wird in vielen Fällen durch den Aufbau der symplectic Homologie von Floer bewiesen.

Siehe auch

• . Sieh Abschnitt 3.2.

Gruppen von Symplectomorphism: